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(新)北师大版(高中数学) 必修4 1:2.3.1 数乘向量


第二章 平面向 量 3 从速度的倍数到数乘向量 第1课时 数乘向量 引入课题 实际背 景 一物体作匀速直线运动,一秒钟的位移对应 向量a, 那么在同方向上3秒的位移对应的向量 用3a表示,试画出该向量。 a 3a 引入课题 在物理中位移与速度的关系:s=vt, 力与加速度的关系:f=ma. 其中位移、速度,力、加速度都是向量,而 时间、质量都是数量 想一想 思考题1: 向量a 与向量 3a 有什么关系? 向量-a 与向量-3a有什么关系? (1)向量 a 的方向与3a 的方向相同, 向 量 3a ? ? 3a ? 3 a .a的3倍,即 的长度是 (2)向量 -3a 的方向与 a 的方向相反, 向 量 -3a ? ? ?3a ? 3 a . a的3倍,即 的长度是 想一想 思考题2:已知向量a如何做出a+a+a和(-a )+(-a)+(a)? ? ? a O a A ? a B ? a C ? ?a N M ? ?a ? ?a Q P ???? ??? ? ??? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? OC ? OA ? AB ? BC ? a ? a ? a 即: a ? a ? a ? 3a ???? ? ???? ? 即: OC ? 3a.同理可得: PN ? -3a 知识点1:向量的数乘运算的定义 实数?与向量a的积是一个确定的向量,记为? a,其方向和长度规定如下: (1) | ? a |?| ? || a | ; (2)当?>0,? a与a的方向相同;当? ? 0,? a ? 0. 练习 (1) 根据定义,求作向量3(2a)和(6a) (a为非零向量 ),并进行比较。 (2) 已知向量 a,b,求作向量2(a+b)和2a+2b, 并进行比较。 ? b ? a ? a ? b ? ? 3(2a) ? ? 3(2a) = 6a ? ? a ?b a ? ? 2a ? 2b ? ? ? ? 2(a ? b ) ? 2a ? 2b ? 2b ? 2a 知识点2:向量的数乘运算满足如下运算律: ?,?是实数 ( 1)?(? a) ? (?? ) a (2)(? ? ?) a ? ?a ? ?a (3)?(a ? b) ? ?a ? ?b 特别的: ( - ?) a ? ?( - a) ?(a - b) ? ?a - ?b 知识点2:向量的数乘运算满足如下运算律: 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算 典型例题 例1 计算 (1) - 3a ? 2b ( - - 2a ? 3b) (2)(3c - 2b ? 2a) ( - 2a - 3b ? c) () 1 - 3a ? 2b (- 2a ? 3b ) ()( 2 3c - 2b ? 2a)( - 2a - 3b ? c) ? -3a ? 2a ? 2b ? 3b ? 3c ? c ? 2b ? 3b ? 2a ? 2a ? ?a ? b ? 2c ? b 典型例题 1 D是?ABC 中BC边上一点,且 BD ? BC,设 AB ? a, AC ? b, 3 则AD等于 ( C ) 1 A. (a ? b) 3 1 C . ( 2a ? b) 3 A 1 B. (b ? a) 3 1 D. ( 2b ? a ) B D 3 C 典型例题 例2 如图,平行四边形ABCD的两条对角线相 AB 交于点 AD M,且 量 、D 、 =a, MA =bMB ,试用 表示向 M

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