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嘉兴说题-嘉兴老师


题 目:
(2013年浙江高考理7)设P0是?ABC的边AB上一定点, 1 满足P0 B = AB, 且对于边AB上任一点P恒有 4 PB PC ? P0 B P0C,则 ( ) ( A)?ABC ? 900 (C ) AB ? AC ( B )?BAC ? 900 ( D) AC ? BC

选自2013年浙江卷(理科)第7题,属于中难 度题。足以成为许多学生的“拦路虎”。

命题立意:
本题考查平面向量的数量积运算,本是一道常规 题,但由于涉及动点变化的不等式恒成立或者说最 值问题,致使难度有所增大。 考查了学生对平面向量数量积的定义和几何意义 等基本知识的综合运用能力,以及分析问题,解决 问题的能力。以及对试题提供的信息进行整合并加 以转化,重组的能力;也体现了向量在三角形中的 几何运用,以及向量的代数化手段的重要性,体现 了“化归与转化”,“数形结合”等思想方法。

考查知识点:

?1 平面向量的数量积 ?2 函数的最值或不等式恒成立 问题

评 价:
我认为此题无论是从试题难度、试题背景、命 题立意,还是对数学思维能力的考查等,都很到 位,很有研究价值。主要体现在: 入口宽阔、解法多样;

紧扣概念、体现本质;
立意清晰、背景深刻;

渗透思想、能力到位。

(2013年浙江高考理7)设P0是?ABC的边AB上一定点, 1 满足P0 B = AB, 且对于边AB上任一点P恒有 4 PB PC ? P0 B P0C,则 ( ) ( A)?ABC ? 900 (C ) AB ? AC ( B )?BAC ? 900 ( D) AC ? BC

解题思路1:

分析:因为PB PC ? P0 B P0C意即PB PC的最小值为 P0 B P0C,一种很自然的想法就是根据函数思想,将 PB PC转化为某个变量的函数,利用P在P0处取得最小值 来求解。

解题方法:
解法1:排除法
对于选项A,如图1 , PB PC = PB PC cos ?BPC ? PB
C
2

当点P从点B运动到A的过程中,显然不可能在P0处取得最小值

A P
P 0

B

解题方法:
解法1:排除法
对于选项B,如图2, PB PC = PB PC cos ?BPC ? ? PB PA ? ? PB ( AB ? PB ) ? PB ? AB PB ? ( PB ? ? PB ? AB 2 时, PB PC取得最小值.
2

AB 2

) ?
2

AB 4

2

C

对于选项(C ) AB ? AC, 可以假设?BAC ? 900, 和B选项一样排除掉,故选D.
A P
P 0

B

解题方法:
解法2:

坐标化
y C

不妨设AB ? 4, A(?2, 0), B(2, 0), P 0 (1, 0), P( x, 0), C ( a, b),

PB ? (2 ? x, 0), PC ? (a ? x, b), P0 B ? (1, 0), P0C ? (a ? 1, b),
令f ( x) ? PB PC ? (2 ? x)(a ? x) A
P
P 0

B

x

? x 2 ? (2 ? a) x ? 2a 2+a 当x = ? 1时取得最小值,得a ? 0,? AC ? AB 2 用坐标法解决向量问题显得直接明白,易入手。思维不 转弯,学生易于掌握和运用。

解题方法:
解法3: 基向量法
以BA, BC为基向量,并设BP ? ? BA,
则PB PC = ? BP ( BC ? BP) ? BP ? BP BC ? ? BA ? ? BA BC cos B
2 2 2

1 由已知可得当? = 时,取得最小值, 4 - BA BC cos B 1 ?= ,即 BA =2 BC cos B,c ? 2a cos B 2 4 2 BA

由余弦定理得b ? a, 故选D.

平面内任意两个不共线向量都可作为一组基底,这也是用基本 原解题的理论依据。

解题方法:
解法4: 数量积几何意义
PB PC = PB PC cos ?BPC ? ? PB PH
? ? PB ( HB ? PB ) ?? ( PB ? HB 2 )2 ? AB 4
2

C

? PB ?

HB 2

时, PB PC取得最小值.

A H P
P 0

B

? P0 B ?

HB 2

.又 P0 B ?

AB 4

, ? HB =

AB 2

解决问题的关键是理解数量积的定义,作出垂线是解题的关键

(2013年浙江高考理7)设P0是?ABC的边AB上一定点, 1 满足P0 B = AB, 且对于边AB上任一点P恒有 4 PB PC ? P0 B P0C,则 ( ) ( A)?ABC ? 900 (C ) AB ? AC ( B )?BAC ? 900 ( D) AC ? BC

解题思路2:

在高中阶段涉及到最值的还有均值不等式。

解题方法:
解法5:
均值不等式
C

当P在AH 上时,?CPB为锐角, PB PC ? 0 当P在HB上时,?CPB为钝角, PB PC ? 0
PB PC = PB PC cos ?CPB ? ? PB PH
A

B H P
P 0

PB ? PH ? HB (定值),? PB ? PH 时,取得最小值。

这种方法要求高,但如果想到解决问题比较迅速,一般学生不 容易想到.

(2013年浙江高考理7)设P0是?ABC的边AB上一定点, 1 满足P0 B = AB, 且对于边AB上任一点P恒有 4 PB PC ? P0 B P0C,则 ( ) ( A)?ABC ? 900 (C ) AB ? AC ( B )?BAC ? 900 ( D) AC ? BC

解题思路3:

联想到2012年浙江高考填空题的中点M , 用几何法解决.

解题方法:
解法6: 几何法
如图, 取BC的中点M 则
4 PB PC =( PB ? PC ) 2 ? ( PB ? PC ) 2 ? 4 PM ? CB
2 2

C M

同理可得4P0 B P0C ? 4 P0 M ? CB .A
因为PB PC ? P 0 B PC 0
2 2

2

2

P

B N
P 0

? PM ? P0 M , 即 PM ? P0 M 恒成立,只需要P0 M ? AB

此解法利用积化和差的方法,再结合垂线段最短这一几何性质, 突出从向量的几何意义入手来思考问题。



景:
( )

(2005年浙江高考理10) 已知向量a ? e, e ? 1满足:对任意 t ? R, 恒有 a ? te ? a ? e , 则 ( A)a ? e (C )e ? (a ? e) ( B ) a ? ( a ? e) ( D)( a ? e) ? (a ? e)

(2012年浙江高考理16) 在?ABC中, M 是BC的中点, AM ? 3, , BC ? 10, 则AB AC =

解题思想,方法和规律总结

解决此题我想到了这些方法,全部属于 平面向量中常用的方法,属通性通法,这些方

法中涉及到了化归与转化,数形结合等数学思想。

反思与感悟
在我们教学的过程中,不能盲目的追求数量不顾质量,事实 证明题海战术收效甚微,而更应该去教会学生思考,善于思考, 引导学生多方法,多视角思考问题和发现问题,通过对典型题目 进行“一题多解、一题多变、多题同解”的训练,既能促使学生 沟通知识点间的联系,又培养了学生的思维能力,从中学到了“ 转化策略、数形结合”等基本的数学思想。从而在很大程度上培 养了学生思维的广阔性。更能让学生的思维迁移、发散、开拓和 活跃,提高学生思维的敏捷性和灵活性,从而提高分析与解答数 学题的能力。

感悟
方法的简明源自对知识的深刻理解! 研究是高考复习的唯一源泉!


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