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新人教A数学选修1-2


3.1数系的扩充和 复数的概念(二)

? 复习引入

我们知道,实数与数轴上的点一一 对应,因此,实数可用数轴上的点来表 示.类比实数的几何意义,复数的几何意 义是什么呢?

? 讲授新课 复平面,复数与点的一一对应:

y
b Z:a+bi

O

a

x

? 讲授新课 复平面,复数与点的一一对应:

复数 z=a+bi 可用点Z(a, b)来表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫复平面,x轴叫做 y 实轴,y轴叫做虚轴. Z:a+bi b a x

O

? 讲授新课 复平面,复数与点的一一对应:

复数 z=a+bi 可用点Z(a, b)来表示. 这个建立了直角坐标系来表示复数的 平面叫复平面,x轴叫做 y 实轴,y轴叫做虚轴. Z:a+bi 实轴上的点都表示实数; b
除了原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数.
O

a

x

? 讲授新课 例如 复平面内点的原点 (0,0)表示实数0, 实轴上的点 (2,0)表示实数2, 虚轴上的点 (0,-1)表示纯虚数-i, y 点 (-2 ,3)表示复数 Z:a+bi b -2+3i.
O

a

x

? 讲授新课 每一个复数,有复平面内唯一的一个 点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有唯一的复数和它对应.

? 讲授新课 每一个复数,有复平面内唯一的一个 点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有唯一的复数和它对应.

复数集C和复平面内所有的点所组成 的集合是一一对应的,即

? 讲授新课 每一个复数,有复平面内唯一的一个 点和它对应;反过来,复平面内的每一个 点,有唯一的复数和它对应.

复数集C和复平面内所有的点所组成 的集合是一一对应的,即 复数 z=a+bi
一一对应

复平面内的 点Z(a, b)

? 讲授新课

设复平面内的点Z表示复数z=a+bi, 连结OZ,显然向量 OZ 由点Z唯一确定; 反过来,点Z(相对于原点来说)也可以由 向量 OZ 唯一确定.因此,复数集C与复平 面内的向量所成的集合 y 也是一一对应的(实数0 Z:a+bi b 与零向量对应),即
O

a

x

? 讲授新课 复数 z=a+bi 一一对应 平面向量 OZ

y
b Z:a+bi

O

a

x

? 讲授新课

?复数的模 向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么 z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a| (就是a的绝对值).由模的定义可知:

? 讲授新课

?复数的模 向量 OZ 的模r叫做复数z=a+bi 的模,记作|z|或|a+bi|.如果b=0,那么 z=a+bi是一个实数a,它的模等于|a| (就是a的绝对值).由模的定义可知: |z|=a+bi=r= a 2 ? b 2 (r≥0,r∈R).

? 讲授新课

我们常把复数z=a+bi说成点Z或
说成向量 OZ ,并且规定,相等的向量

表示同一个复数.

? 讲授新课 ? 共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数.

? 讲授新课 ? 共轭复数 当两个复数实部相等,虚部互为相 反数时,这两个复数叫做互为共轭复数. 若z1,z2是共轭复数,那么在复平面 内,它们所对应的点有怎样的位置关系?

课堂练习 1.说出图中复平面内各点所表示的复数 y (每个小正方格 子边长为1):
G C F O D H B

A
E

x

课堂练习 2. 在复平面内,描出下列各复数的点: y ⑴ 2+5i; ⑵ -3+2i; ⑶ 2-4i; ⑷-3-i
O

⑸ 5;
⑹ -3i.

x

课堂练习 2. 在复平面内,描出下列各复数的点: y ⑴ 2+5i; ⑴ ⑵ -3+2i; ⑶ 2-4i; ⑷-3-i



O




⑸ 5;
⑹ -3i.

x



例1. 实数m分别取什么数值时,复数
z=(m2+5m+6)+(m2-2m-15)i是:

①对应点在x轴上方;
②对应点在直线x+y+5=0上.

例2. 若复数 z1 ? 1 ? 2i , z 2 ? 2 ? 3i ,
z 3 ? 3 ? 2i , z4 ? ?2 ? i 在复平面内 对应的点分别为z1 , z 2 , z 3 , z4 , 试判 断这4个点是否在同一个圆上 ?并证 明你的结论.

课堂练习
1. 下列命题,其中正确的个数是( )

(1)互为共轭复数的两个复数的模相等 (2)模相等的两个复数互为共轭复数 (3)若与复数z=a+bi对应的向量在虚轴 上,则a=0,b≠0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

课堂练习
1. 下列命题,其中正确的个数是( B ) (1)互为共轭复数的两个复数的模相等 (2)模相等的两个复数互为共轭复数 (3)若与复数z=a+bi对应的向量在虚轴 上,则a=0,b≠0 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

课堂练习
2. 设z=(2t2 +5t-3)-(t2+2t+2)i(t∈R) 则( )

A. z对应的点在第一象限 B. z一定不为纯虚数 C. z对应的点在实轴下方 D. z一定为实数

课堂练习
2. 设z=(2t2 +5t-3)-(t2+2t+2)i(t∈R) 则( C )

A. z对应的点在第一象限 B. z一定不为纯虚数 C. z对应的点在实轴下方 D. z一定为实数

课堂练习

2 3. 当 ? m ? 1时, 复数z ? ( 3m ? 2) ? ( m ? 1)i 3 在复平面上对应的点位 于 (
A.第一象限 B.第二象限

)

C.第三象限

D.第四象限

课堂练习

2 3. 当 ? m ? 1时, 复数z ? ( 3m ? 2) ? ( m ? 1)i 3 在复平面上对应的点位 于 ( D )
A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

课堂练习
4. 设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)

(m∈R),若z对应的点在x-2y+1=0
上,则m=______________________.

课堂练习
4. 设z=log2(m2-3m-3)+ilog2(m-3)

(m∈R),若z对应的点在x-2y+1=0
上,则m=______________________. 15

课堂练习

5. 设 z ? 3 ? 2i,z ? z 在复平面内对应 的点分别为A和B,O为坐标原点,则 ?AOB的面积为 .

课堂练习

5. 设 z ? 3 ? 2i,z ? z 在复平面内对应 的点分别为A和B,O为坐标原点,则 ?AOB的面积为

6

.

典例讲 评

例2 若复平面内一个正方形的三个顶 点对应的复数分别为z1=1+2i,z2=-2+ i,z3=-1-2i,求这个正方形第四个顶 点对应的复数.
y Z1

z 4=2 -i

Z2 O Z3 Z4 x

课堂练习

6. 若复数z满足|z-3i|=5,求|z+2|
的最大值和最小值.


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