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11.抛物线的简单几何性质(2)_图文

X

抛物线的简单几何性质 (1)

一、温故知新
定义:在平面 内,与一个定点 F和一条定直 线l(l不经过点 F)的距离相等 的点的轨迹叫 抛物线.
图 l y
O

抛物线的定义及标准方程
形 标准方程
焦点坐标 准线方程

F

x

y2=2px (p>0) y2=-2px (p>0) x2=2py (p>0)

p ( ,0 ) 2 p ( ? ,0 ) 2 p (0, ) 2

p x?? 2 p x? 2 p y?? 2 p y? 2

y
F

l
O

x

y
F
O

l

x

y
l
O F

x

p x2=-2py (0, ? ) (p>0) 2

从哪些方面研究 抛物线y2 =2px(p>0)的几何性质? y 1、范围 由抛物线y2 =2px(p>0)
二、探索新知 有 2 px ? y 2 ? 0

x?0 ?

p?0

o

p F ( ,0 ) 2

x

抛物线在y轴的右侧,当x的值增大时,︱y︱也 增大,这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸。

2、对称性:关于x轴对称 ,没有对称中心
(1)若任意点A(x,y)在抛物线上,
y

即满足y2 = 2px,
关于x轴 对称

A( x, y)

(2)A( x, y)

B ( x, ? y )

o

有 (-y)2 = y2 = 2px 即点B(x,-y) 也在抛物线上,

p F ( ,0 ) 2

x

故 抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.

3、顶点定义:
抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点。
y

抛物线y2 = 2px (p>0)的 顶点(0,0)
o
p F ( ,0 ) 2

x

对比:椭圆两轴,四顶点

4、离心率
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线 的距离之比,叫做抛物线的离心率。

抛物线y2 = 2px (p>0)的离心率e=1.

y

d
P(x,y)

o

p F ( ,0 ) 2

x

|PF|= d

抛物线的图形特点:
2=4x y 1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸, y y2=2x 但它没有渐近线; y2=x 1 P(x,y) 2 2.抛物线只有一条对称轴,没有 y = x
4 3 2 1

2

对称中心;

-2

2

4

6

8

10

-1

3.抛物线只有一个顶点、
-3 -4

-2

o

F(

p ,0 ) 2

x

一个焦点、一条准线;
-5

4.抛物线的离心率是确定的,为1; 思考:抛物线标准方程中的p对抛物线开口大小的影响. P越大,开口越开阔

抛物线上任意一点与焦点的线段 补充(1)焦半径: 叫做抛物线的焦半径。

p 焦半径公式:PF ? x0 ? 2 (2)焦点弦: 抛物线上经过焦点的弦长
焦点弦是由在同一条直线 上的两个焦半径构成的。

y

P ( x0 , y0 )
O

F

x

y

A( x1 , y1 )
F

焦点弦公式: PF ? x1 ? x2 ? P

O

B( x2 , y2 )

x

(3)通径: 过焦点且垂直对称轴的直线, 与抛物线相交于两点,

y

O

F

x

这两点间的线段叫做抛物线的通径。

通径的长度:2P (最短的焦点弦)
利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出 反映抛物线基本特征的草图。

下面请大家得出其余三种标准方程抛物线 的几何性质。(填写学案空白处)

方程
图 形 范围

y2 = 2px
y

y2 = -2px
y

x2 = 2py
y

x2 = -2py
y

l O F x

l

F x

l x l

F

O

O

O

F

x

x≥0 y∈R

x≤0 y∈R

x∈R y≥0

x∈R y≤0
关于y轴对称

对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? y0 2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

p ? ( x1 ? x2 )

p ? y1 ? y2

例1:

1、已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又 知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6, 则抛物线的方程 。
2、过抛物线 y
2

? 4x 的焦点作直线交抛物线于

P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ?两点,若 x
(1)|PQ|= ;

? x ? 6 1 2


(2) PQ中点M到抛物线准线的距离为

定位

1、已知抛物线顶点在原点,焦点在x轴上,又 知此抛物线上一点A(4,m)到焦点的距离为6, 2 则抛物线的方程 。 y ? 8x

p | AF |? 4 ? ? 6 2 p?4

p 焦半径: AF ? x0 ? 2
O

y

A(4, m)
F

x

开口向右

y ? 2 px
2

2、过抛物线 y

2

? 4x 的焦点作直线交抛物线于
1

P ? x1, y1 ? , Q ? x2 , y2 ?两点,若 x

p ?8 (1)|PQ|= x1 ? x2 ?;

? x2 ? 6

(2) PQ中点M到抛物线准线的距离为 4 ; y | PA | ? | QB | x ? x 1 2 | MC |? x ? ? 3 0 2 A 2 P( x1 , y1 ) | PF | ? | QF | P ? M ( x0 , y0 ) C O | MC | ? x ? 0 2 F 2 x
| PQ | ? ?4 2 几何(形)

? 3 ?1 ? 4

B

Q( x2 , y2 )

坐标(数)

练习1:
1.抛物线 x ? 4 y 上一点 A 的纵坐标为 4,则点 A 与抛物线焦点的距离 为 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 2.抛物线 y=4 x2 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是 7 15 17 ( A ) 16 ( B ) 16 (C) 8 (D)0 3.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为 y 轴,在抛物线上有一点 M (a, ?4) 到焦点 F 的距离为 5,则抛物线的标准方程为 ,a 的值为
2

例2 斜率为1的直线 l 经过抛物线 y ? 4 x的 焦点F,且与抛物线相交于A,B两点,求线 段AB的长。
2
y

解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

A`

A

O
B` B

F

两点间距离公式求|AB| (运算量较大);

法二:设而不求,运用韦达定理,计算出 x1 ? x2
弦长公式 | AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

, x1 x2

法三:设而不求,运用韦达定理,计算出 x1 ? x2 焦点弦长| AB |? x1 ? x2 ? p

法一:直接求 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
两点间距离公式求|AB| (运算量较大);

法二:设而不求,运用韦达定理,计算出 x1 ? x2
弦长公式 | AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 法三:设而不求,运用韦达定理,计算出 x1 ? x2 y 焦点弦长| AB |? x1 ? x2 ? p
A`

, x1 x2

A

联立直线方程与曲线方程, 消元求出一元二次方程,
B`

O
B

F

x

解 由题意可知 焦点F ?1,0?

y
A

由点斜式得直线方程: y ? x ?1
设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

A`

O
B` B

F

x

消去y得 x 2 ? 6 x ? 1 ? 0.

? y2 ? 4x 联立 ? ? y ? x ?1

法三: | AB |? x1 ? x2 ? 2 ? 8 .

由韦达定理得 x1 ? x2 ? 6

所以, 线段 AB的长是 8 .

x1 x2 ? 1

法二: | AB |? 1+k 2 ( x1 ? x2 )2 ? 4 x1 x2 ? 8 .

拓展 问题1:你能说出直线与抛物线还有位置关系? y 平行于x轴 y=a

斜率=0
相离 相切

相 交

x

F

问题 2:已知直线 l:y=kx+1 和抛物 2 线 C:y =4x,试判断当 k 为何值时, l 与 C 有: ① 一个公共点;②两个不同公共点; ③没有公共点.

l:y=kx+1恒过哪个点呢?
y

k=0时,y=1 (0,1)
x

F

K不存在

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序: 把直线方程代入抛物线方程
直线与对称轴 平行 直线与对称轴 k≠0 不平行

y=a(a为常数,k=0) x=b(b为常数,k不存在) 得到一元一次方程

得到一元二次方程 计算判别式

>0
相交

=0
相切

<0
相离

相交(一个交点)

(一个交点) (0个交点) (两个交点)

四、归纳总结
1、范围: 抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它也可 以无限延伸,但没有渐近线; 2、对称性: 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心; 3、顶点:抛物线只有一个顶点,一个焦点,一条准线;

4、离心率:恒等于1; 5、通径: 抛物线的通径为2P, 2p越大,抛物线的张口 越大. p 6、焦半径公式: PF ? x0 ? 2 7、焦点弦公式:PF

? x1 ? x2 ? P

课堂延伸: 抛物线 y

2

? 8x 与直线 y ? kx ? 2

相交于不同的两点A、B,且AB中点横坐标为 x1 ? x2 =4 2,求k的值. k ? 0且? ? 0 解:设A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?
?k ? 0 ? 有两个不同的交点 ? ? 2 2 ? = ( 4 k -8 ) ? 16 k ?0 ? ? k ? 0且 k ? -1 4k ? 8 由韦达定理得 x1 ? x2 ? =4 2 k 解得k ? 2或者k ? ?1(舍去) 所以 k 的值为2。
? y 2 ? 8x 联立 ? ? y =kx ? 2

消去y得 k x ? (4k ? 8) x ? 4 ? 0.
2 2


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