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三角函数公式


角α

0 °

30°

45°

60°

90°

120°

135°

150°

180°

27 0°

360°

弧度制

o

π /6

π /4

π /3

π /2

2π /3

3π /4

5π /6

π

3π /2



sinα cosα

o

1/2

√2/2

√3/2

1

√3/2

√2/2

1/2

0

-1

0

1

√3/2

√2/2

1/2

0

-1/2

-√2/ 2

-√3/ 2 -√3/ 3

-1

0

1

tanα

o

√3/3

1

√3

±∞

-√3

-1

0

± ∞

0

sin0=sin0°=0 cos0=cos0°=1 tan0=tan0°=0 tanα ?cotα =1 sinα ?cscα =1 cosα ?secα =1 商的关系 tanα =sinα /cosα cotα =cosα /sinα 平方关系 sinα ²+cosα ²=1 1+tanα ²=secα ² 1+cotα &sup2=cscα ² 以下关系,函数名不变,符号看象限. sin(2kπ +α )=sinα cos(2kπ +α )=cosα tan(2kπ +α )=tanα cot(2kπ +α )=cotα sin(π +α )=-sinα cos(π tan(π cot(π sin(π cos(π +α )=-cosα +α )=tanα +α )=cotα -α )=sinα -α )=-cosα

tan(π -α )=-tanα cot(π -α )=-cotα

sin(2π -α )=-sinα cos(2π -α )=cosα tan(2π -α )=-tanα cot(2π -α )=-cotα 以下关系,奇变偶不变,符号看象限 sin(90°-α )=cosα cos(90°-α )=sinα tan(90°-α )=cotα cot(90°-α )=tanα sin(90°+α )=cosα cos(90°+α )=-sinα tan(90°+α )=-cotα cot(90°+α )=-tanα sin(270°-α )=-cosα cos(270°-α )=-sinα tan(270°-α )=cotα cot(270°-α )=tanα sin(270°+α )=-cosα cos(270°+α )=sinα tan(270°+α )=-cotα cot(270°+α )=-tanα 积化合差公式 sinα ?cosβ =(1/2)*[sin(α +β )+sin(α -β )] cosα ?sinβ =(1/2)*[sin(α +β )-sin(α -β )] cosα ?cosβ =(1/2)*[cos(α +β )+cos(α -β )] sinα ?sinβ =-(1/2)*[cos(α +β )-cos(α -β )] 和差化积公式 sinα +sinβ =2sin[(α +β )/2]?cos[(α -β )/2] sinα -sinβ =2cos[(α +β )/2]?sin[(α -β )/2] cosα +cosβ =2cos[(α +β )/2]?cos[(α -β )/2] cosα -cosβ =-2sin[(α +β )/2]?sin[(α -β )/2] 三倍角公式 sin3α =3sinα -4sinα ³ cos3α =4cosα ³-3cosα 两角和与差的三角函数关系 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ

cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ tan(α +β )=(tanα +tanβ )/(1-tanα ?tanβ ) tan(α -β )=(tanα -tanβ )/(1+tanα ?tanβ ) 正弦二倍角公式 sin2α = 2cosα sinα 推导:sin2A=sin(A+A)=sinAcosA+cosAsinA=2sinAcosA 拓展公式:sin2A=2sinAcosA=2tanAcos2A=2tanA/[1+tan2A] 1+sin2A=(sinA+cosA)^2 余弦二倍角公式 余弦二倍角公式有三组表示形式,三组形式等价: 1.Cos2a=Cos2a-Sin2a=[1-tan2a]/[1+tan2a] 2.Cos2a=1-2Sin2a 3.Cos2a=2Cos2a-1 推导:cos2A=cos(A+A)=cosAcosA-sinAsinA=cos2A-sin2A=2cos2A-1 =1-2sin2A 正切二倍角公式 tan2α =2tanα /[1-tan2α ] 推导:tan2A=tan(A+A)=(tanA+tanA)/(1-tanAtanA)=2tanA/[1-tan2A] 降幂公式 cosA^2=[1+cos2A]/2 sinA^2=[1-cos2A]/2 tanA^2=[1-cos2A]/[1+cos2A] 变式: sin2α =sin^2(α +π /4)-cos^2(α +π /4)=2sin^2(a+π /4)-1=1-2cos^2(α +π /4); cos2α =2sin(α +π /4)cos(α +π /4) 余弦定理: a^2=b^2+c?-2bc cosA b^2=c^2+a^2-2ca cosB c^2=a^2+b^2-2ab cosC

定义域
实数集 R

值域
[-1,1] (正弦函数有界性的体现)

最值和零点
①最大值:当 x=2kπ +(π /2) ,k∈Z 时,y(max)=1 ②最小值:当 x=2kπ +(3π /2),k∈Z 时,y(min)=-1 零值点:(kπ ,0) ,k∈Z

对称性
既是轴对称图形,又是中心对称图形。 1)对称轴:关于直线 x=(π /2)+kπ ,k∈Z 对称 2)中心对称:关于点(kπ ,0),k∈Z 对称

周期性
最小正周期:y=sinx T=2π

奇偶性
奇函数 (其图象关于原点对称)

单调性
在[-π /2+2kπ ,π /2+2kπ ],k∈Z 上是单调递增. 在[π /2+2kπ ,3π /2+2kπ ],k∈Z 上是单调递减. 3 函数及性质编辑 正弦型函数解析式:y=Asin(ω x+φ )+h 各常数值对函数图像的影响: φ (初相位):决定波形与 X 轴位置关系或横向移动距离(左加右减) ω :决定周期(最小正周期 T=2π /|ω |)

A:决定峰值(即纵向拉伸压缩的倍数) h:表示波形在 Y 轴的位置关系或纵向移动距离(上加下减) 作图方法运用“五点法”作图 “五点作图法”即当 ω x+φ 分别取 0,π /2,π ,3π /2,2π 时 y 的值. 单位圆定义 图像中给出了用弧度度量的某个公共角。 逆时针方向的度量是正角而顺时针 的度量是负角。设一个过原点的线,同 x 轴正半部分得到一个角 θ ,并与单位 圆相交。 这个交点的 y 坐标等于 sinθ 。 在这个图形中的三角形确保了这个公式; 半径等于斜边并有长度 1, 所以有了 sinθ =y/1。单位圆可以被认为是通过改变 邻边和对边的长度并保持斜边等于 1 查看无限数目的三角形的一种方式。即 sinθ =AB,与 y 轴正方向一样时正,否则为负

sina 对于大于 2π 或小于 0 的角度, 简单的继续绕单位圆旋转。 在这种方式下, [1] 正弦变成了周期为 2π 的周期函数。 4 诱导公式编辑
sin π /2(90°)-α π /2(90°)+α π (180°)-α π (180°)+α 3π /2(270°)-α 3π /2(270°)+α 2π (360°)-α 2kπ (k*360°)+α cos tα n cot -cot -tα n tα n cot -cot -tα n tα n cot tα n -tα n -cot cot tα n -tα n -cot cot sec csc

cos cos

sin -sin

csc -csc

sec sec

sin -sin

-cos -cos

-sec -sec

csc -csc

-cos -cos

-sin sin

-csc csc

-sec -sec

-sin sin

cos cos

sec sec

-csc csc

助记方法: “奇变偶不变,符号看象限。”(π /2 的奇数倍或偶数倍,“变”就是三 角函数名的改变。)[1]

符号、单调性
1 2 3 4 x+ y+ xy-

sin cos tα n cot

+,+ +,-

+,-,-

-,-,+

-,+ +,+

0 1

1 0

0 -1

-1 0

+,+ +,-

-,+ -,-

+,+ +,-

-,+ -,-

0 -1/0+

+1/00

0 -1/0+

+1/00

sec csc

+,+ +,-

-,+ +,+

-,-,+

+,-,-

1 -1/0+

+1/01

-1 +1/0-

-1/0+ -1

注:1/0 表示不存在,+1/0=1/0+=+∞,1/0-=-1/0=-∞,左边的符号是左趋 近,右边的符号是右趋近,第一个是符号,第二个是单调性

四则运算
sin(α ±β )=sin α cos β ±cos α sin β sin2α =2sin α cos α sin(α +2kπ )=sin α sin(-α )=-sin α sin(π -α )=sin α sin(π /2-α )=cos α sin α =cos(π /2-α ) sin(π +α )=-sin α sin(3π /2-α )=-cos α sin(3π /2+α )=-cos α


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