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高中数学


高中数学必修五模块检测卷
考试时间:120 分钟 满分:150 分

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1、在等差数列 ?an ? 中, a5 =33, a45 =153,则 201 是该数列的第( A.60 B.61 C.62 ) D.14400 ) D.63 )项

2、在 100 和 500 之间能被 9 整除的所有数之和为( A.12699 B.13266
2

C.13833

3、等比数列 ?an ? 中, a3 , a9 是方程 3x —11x+9=0 的两个根,则 a6 =( A.3 B.

11 6

C.? 3 )

D.以上皆非

4、四个不相等的正数 a, b, c, d 成等差数列,则(

A.

a?d ? bc 2

B.

a?d a?d ? bc C. ? bc 2 2

D.

a?d ? bc 2


5、在 ?ABC中,已知 A ? 30? , C ? 45 ? , a ? 2 ,则 ?ABC的面积等于(

A.

2

B.

3 ?1

C. 2

2

D.

1 ( 3 ? 1) 2
a?b 的取值范围是( c


6、在 ?ABC中, a, b, c 分别是 ?A, ?B, ?C 所对应的边, ?C ? 90 ? ,则

A. (1,2)

B. (1,

2)


C. (1,

2]

D. [1, 2 ]

7、不等式

3x ? 1 ? 1 的解集是( 2? x

? 3 ? 3 3? ? ? A. ? ? x | ? x ? 2? B. ? x | ? x ? 2? C. ? x | x ? 2或x ? ? D. ?x | x ? 2? 4 4 4? ? ? ? ? ?
8、关于 x 的方程 ax2+2x-1=0 至少有一个正的实根,则 a 的取值范围是( A.a≥0 B.-1≤a<0 C.a>0 或-1<a<0 )

D.a≥-1

9、若 ?

? x ? 2, ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的取值范围是 ? y ? 2, x ? y ? 2
1





A.[2 ,6]

B. [2,5]

C. [3,6]

D. [3,5] )

→ → → → 10.在△ABC 中,已知|AB|=4,|AC|=1,S△ABC= 3 ,则AB·AC等于( A.-2 B.2 C.±2 D.±4

二、填空题(共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11、在坐标平面上,不等式组 ?

?y ? x ?1 所表示的平面区域的面积为________________________ ? y ? ?3 | x | ?1

12、数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ? 2n 2 ? n ? 1,则 an =_________________ 13、已知 x ? 4, 函数 y ? ? x ?

1 , 当x ? _______ 时,函数有最_______值是________________ 4? x

14、不等式 ( x ? 2)(3 ? x 2 ) ? 0 的解集是____________________ 15、在下列函数中, ① y ?| x ?

1 x2 ? 2 ;③ y ? log2 x ? logx 2( x ? 0, 且x ? 1) ; | ;② y ? x x2 ?1
x ?x , y ? tan x ? cot x ;⑤ y ? 3 ? 3 ;⑥ y ? x ?

④0 ? x ?

?
2

4 4 ? 2 ;⑦ y ? x ? ? 2 ;⑧ y ? log2 x 2 ? 2 ; x x

其中最小值为 2 的函数是 三、解答题(共 6 小题,共 75 分) 16、 (12 分)解关于 x 的不等式

(填入正确命题的序号)

x?a ? 0 (a ? ?1) ( x ? 1)(x ? 1)

17、 (12 分)在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 2n . (Ⅰ)设 bn ?

an .证明:数列 ?bn ? 是等差数列; 2 n ?1

(Ⅱ)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn .

2

18、 (12 分)已知 a 、 b 、 c 分别是 ?ABC 的三个内角 A 、 B 、 C 所对的边 【Ⅰ】若 ?ABC 面积 S ?ABC ?

3 , c ? 2, A ? 60?, 求 a 、 b 的值; 2

【Ⅱ】若 a ? c cos B ,且 b ? c sin A ,试判断 ?ABC 的形状.

19、 (12 分)某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器,运输安装费用 2 千元,每年投保、动力消耗的费用也为 2 千 元,每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加,第一年为 2 千元,第二年为 3 千元,第三年为 4 千元, 依此类推,即每年增加 1 千元.问这台机器最佳使用年限是多少年?并求出年平均费用的最小值.

20、 (13 分)某村计划建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左.右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道, 沿前侧内墙保留 3 m 宽的空地.当矩形温室的边长各为多少时?蔬菜的种植面积最大?最大种植面 积是多少?

2

3

21、 (14 分)某厂使用两种零件 A、B 装配两种产品 P、Q,该厂的生产能力是月产 P 产品最多有 2500 件,月产 Q 产品最多有 1200 件;而且组装一件 P 产品要 4 个 A、2 个 B,组装一件 Q 产品要 6 个 A、8 个 B,该厂在某个月能 用的 A 零件最多 14000 个;B 零件最多 12000 个.已知 P 产品每件利润 1000 元,Q 产品每件 2000 元,欲使月利润 最大,需要组装 P、Q 产品各多少件?最大利润多少万元?

4

参考答案 一、选择题 题号 答案 1 2 B 3 C 4 A 5 B 6 C 7 B 8 D 9 A 10 C

B

二、填空题 11、
3 2

?2 n ? 1 ? 12、 an ? ? ; ?4 n ? 3 n ? 2 ?
13、5; 大;-6 14、 {x | x ? ? 3或 3 ? x ? 2} ; 15、①②④⑤⑦ 三、解答题 16、解:原不等式 ? ( x ? a )( x ? 1( x ? 1) ? 0 . 分情况讨论: (i)当 a ? ?1 时,不等式的解集为 {x | x ? a或 ? 1 ? x ? 1} ; (ii)当 ? 1 ? a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? ?1或 a ? x ? 1} (iii)当 a ? 1 时,不等式的解集为 {x | x ? ?1或 1 ? x ? a} ; 17、 (Ⅰ) an?1 ? 2an ? 2n ,

an ?1 a ? nn ? 1 , bn?1 ? bn ? 1 , n 2 2 ?1

则 bn 为等差数列, b1 ? 1 , bn ? n , an ? n2n?1 . (Ⅱ) S n ? 1? 20 ? 2 ? 21 ? 3 ? 22 ? ? ? (n ? 1) ? 2 n?2 ? n ? 2n?1

2S n ? 1? 21 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? (n ? 1) ? 2n?1 ? n ? 2n
两式相减,得

S n ? n ? 2n ? 1? 20 ? 21 ? 22 ? ? ? 2n?1 ? n ? 2n ? 2n ? 1.

5

18、解:【Ⅰ】? S ?ABC ? 1 bc sin A ? 3 ,? 1 b ? 2 sin 60? ? 3 ,得 b ? 1 2 2 2 2 由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A ? 1 ? 2 ? 2 ? 1? 2 ? cos60? ? 3
2 2 2 2 2

所以 a ?

3
a 2 ? c2 ? b2 ? a2 ? b2 ? c2 , 2ac

【Ⅱ】由余弦定理得: a ? c ?

所以 ?C ? 90?

在 Rt ?ABC 中, sin A ?

a a ,所以 b ? c ? ? a c c

所以 ?ABC 是等腰直角三角形; 19、[解析]设这台机器最佳使用年限是 n 年,则 n 年的保养、维修、更换易损零件的总费用为:

0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? ? ? ? ? 0.1(n ? 1) ?

n 2 ? 3n , 2

? 总费用为: 7 ? 0.2 ? 0.2n ?

n 2 ? 3n n 2 ? 7n ? 7.2 ? , 20 20
n 2 ? 7n 20 ? 0.35 ? ( n ? 7.2 ), n 20 n

? n年的年平均费用为 : y ?

7.2 ?

?

n 7.2 7.2 ? ?2 ? 1.2, 20 n 20
n 7.2 ? 即n ? 12时成立 . ? y min ? 0.35 ? 1.2 ? 1.55(万元) 20 n

等号当且仅当

答:这台机器最佳使用年限是 12 年,年平均费用的最小值为 1.55 万元.

6

20、解:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800.

蔬菜的种植面积

S ? (a ? 4)(b ? 2) ? ab ? 4b ? 2a ? 8 ? 808? 2(a ? 2b).

所以 S ? 808? 4 2ab ? 648 (m2 ).

当且仅当 a ? 2b,即a ? 40(m), b ? 20(m)时, S最大值 ? 648 (m2 ).

答:当矩形温室的左侧边长为 40m,后侧边长为 20m 时,蔬菜的种植面积最大,最大种植面积为 648m .

2

21、解:设分别生产 P、Q 产品 x 件、y 件,则有

?4 x ? 6 y ? 14000 ?2 x ? 8 y ? 12000 ? 依题意有? ?0 ? x ? 2500 ? ?0 ? y ? 1200
设利润 z=1000x+2000y=1000(x+2y) 要使利润最大,只需求 z 的最大值.

y 2x+8y=12000 1200 A(2000,1000)

x 2500 4x+6y=14000

作出可行域如图示(阴影部分及边界) 作出直线 l:1000(x+2y)=0,即 x+2y=0 由于向上平移平移直线 l 时,z 的值增大,所以在点 A 处 z 取得最大值

由?

?2 x ? 3 y ? 7000 ? x ? 2000 解得 ? ,即 A(2000,1000) ?x ? 4 y ? 6000 ? y ? 1000

因此,此时最大利润 zmax=1000(x+2y)=4000000=400(万元). 答:要使月利润最大,需要组装 P、Q 产品 2000 件、1000 件,此时最大利润为 400 万元.

7


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