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2016


2016-2017 学年高中数学 第一章 数列 1.3.1.2 等比数列的性质课 后演练提升 北师大版必修 5
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1.设数列{an}为等比数列,则下面四个数列: ①{an};②{pan}(p 为非零常数);③{an·an+1};④{an+an+1},其中是等比数列的有 ________个( A.1 C.3 解析: 对于①,因为 对于②,因为 对于③,因为 ) B.2 D.4
3

a3 n+1 ?an+1?3=q3(常数),所以{a3}是等比数列; ? n 3 =? an ? an ?

pan+1 an+1 = =q(常数),所以{pan}是等比数列; pan an an+1·an+2 an+2 2 = =q (常数),所以{an·an+1}是等比数列; an·an+1 an an+1+an+2 anq+an+1q q?an+an+1? = = =q(常数) an+an+1 an+an+1 an+an+1

对于④,q≠-1 时,因为

∴{an+an+1}是等比数列,若 q=-1,an+an+1=0,不是等比数列,故选 C. 答案: C 2.等比数列{an}中 a5=4,则 a2·a8 等于( A.4 C.16 B.8 D.32 )

解析: ∵{an}是等比数列且 2+8=2×5, ∴a2·a8=a5=16. 答案: C 3.数列{an}为一等比数列,首项为 a1,公比为 q,数列{an}为递增数列,则有( A.|q|<1 B.a1>0,q<1 C.a1>0,q<1 或 a1<0,q<1 D.以上都不对 解析: a1>0,q>1 或 a1<0,0<q<1 时,等比数列{an}递增. 答案: D 4.在等比数列{an}中,an>0,且 a2=1-a1,a4=9-a3,则 a4+a5 的值为( A.16 C.36 B.27 D.81
1
2

)

)

解析: 由已知 a1+a2=1,a3+a4=9,∴q =9. ∴q=3(q=-3 舍),∴a4+a5=(a3+a4)q=27. 答案: B 二、填空题(每小题 5 分,共 10 分) 5.在等比数列{an}中,a3a5a7a9a11=243,则

2

a2 9 的值为________. a11
2 5

解析: 由等比数列的性质知 a3a11=a5a9=a7得 a7=243, ∴a7=3,而 a7a11=a9,∴ 答案: 3 6.已知 1,a1,a2,4 成等差数列,1,b1,b2,b3,4 成等比数列, 则
2

a2 9 =a7=3. a11

a1+a2 的值为________. b2

解析: 方法一:∵a1+a2=1+4=5,

b2 2=1×4=4,且 b2 与 1,4 同号,
∴b2=2,∴

a1+a2 5 = =2.5. b2 2

方法二:设等差数列的公差为 d,等比数列的公比为 q, ∵1+3d=4,∴d=1,∴a1=2,a2=3. ∵q =4.∴q =2.∴b2=q =2. ∴
4 2 2

a1+a2 2+3 = =2.5. b2 2

答案: 2.5 三、解答题(每小题 10 分,共 20 分) 1 7.在等比数列{an}中,已知 a3+a6=36,a4+a7=18,an= ,求 n 的值. 2 解析: 设等比数列{an}的公比为 q. 因为 a4+a7=a3q+a6q=(a3+a6)q, 所以 q=

a4+a7 18 1 = = . a3+a6 36 2
3

因为 a4+a7=18,所以 a4(1+q )=18. 所以 a4=16,所以 an=a4q
n-4

?1?n-4 =16? ? . ?2?

?1?n-4 1 ?1?n-4 1 ?1?5 令 16? ? = ,所以? ? = =? ? . 2 32 ?2? ?2? ?2?
所以 n-4=5,n=9. 8. 有四个实数, 前三个数依次成等比数列, 它们的积是-8, 后三个数依次成等差数列,
2

它们的积为-80,求出这四个数. 解析: 由题意设此四数为 ,b,bq,a,

b q

b =-8 ? ? 则有?2bq=a+b ? ?ab2q=-80

3

a=10 ? ? ,解得?b=-2 ? ?q=-2

a=-8 ? ?b=-2 或? 5 ? ?q=2



4 所以这四个数为 1,-2,4,10 或- ,-2,-5,-8. 5 ? 尖子生题库 ?☆☆☆ 9.(10 分)某市 2010 年新建住房 400 万平方米,其中 250 万平方米是中低价房,预计 今年后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长 8%.另外,每年新建住房中, 中低价房的面积比上一年增加 50 万平方米,那么到哪一年底 (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以 2010 年为累计的第一年)将首次不少于 4 750 万平方米? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%. 解析: (1)设中低价房面积构成数列{an}, 由题意可知, {an}是等差数列, 其中 a1=250,

d=50,
则 Sn=250n+
2

n?n-1?
2

×50=25n +225n,
2

2

令 25n +225n≥4 750,即 n +9n-190≥0, 解得 n≤-19 或 n≥10,而 n 是正整数. ∴n≥10. 故到 2019 年年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米. (2)设新建住房面积构成数列{bn}, 由题意可知,{bn}是等比数列, 其中 b1=400,q=1.08,则 bn=400×(1.08) 由题意可知 an>0.85bn, 即 250+(n-1)×50>400×(1.08)
n-1 n-1



×0.85 满足上述不等式的最小正整数 n=6.

故到 2015 年年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.

3


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