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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习开卷速查必修部分64随机事件的概率


开卷速查(六十四)

随机事件的概率

A 级 基础巩固练 1.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小 球除标注的数字外完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小 球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是( 3 A.10 1 B.5 1 C.10 ) 1 D.12

解析:从五个小球中任取两个共有 10 种,而 1+2=3,2+4=6,1 +5=6,取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的只有 3 种情况,故取 3 出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率为10. 答案:A 2. 从一篮子鸡蛋中任取 1 个, 如果其重量小于 30 克的概率为 0.3, 重量在[30,40]克的概率为 0.5,那么重量不小于 30 克的概率为( A.0.3 B.0.5 C.0.8 D.0.7 )

解析:由互斥事件概率加法公式知:重量在(40,+∞)的概率为 1 -0.3-0.5=0.2,∵0.5+0.2=0.7,∴重量不小于 30 克的概率为 0.7. 答案:D 1 1 3.已知甲、乙两人下棋,和棋的概率为2,乙胜的概率为3,则甲 胜的概率和甲不输的概率分别为( 1 1 A.6,6 )

1 2 1 2 2 1 B.2,3 C.6,3 D.3,2

解析:“甲胜”是“和棋或乙胜”的对立事件,所以“甲胜”的 1 1 1 概率为 1-2-3=6.

设“甲不输”为事件 A, 可看做是“甲胜”与“和棋”这两个互斥 1 1 2 事件的和事件,所以 P(A)=6+2=3.(或设“甲不输”为事件 A,可看 1 2 做是“乙胜”的对立事件,所以 P(A)=1-3=3) 答案:C 4.分别写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是( 1 A.4 1 1 2 B.3 C.2 D.3 )

解析: 从写有数字 1,2,3,4 的 4 张卡片中随机抽取 2 张,有 12,13,14,23,24,34 共 6 种,取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的取法 4 有 12,14,23,34 共 4 种, 取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率是6 2 =3. 答案:D
? ?-1≤x≤2, 5.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组? 表示的平 ?0≤y≤2 ?

面区域为 W,从 W 中随机取点 M(x,y).若 x∈Z,y∈Z,则点 M 位于 第二象限的概率为( 1 A.6 π C.1-12 ) 1 B.3 π D.1-6

解析: 画出平面区域, 列出平面区域内的整数点如下: (-1,0), (- 1,1),(-1,2),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),

共 12 个,其中位于第二象限的有(-1,1),(-1,2),共 2 个,所以所求 1 概率 P=6. 答案:A 6.连续投掷两次骰子得到的点数分别为 m,n,向量 a=(m,n) π? ? 与向量 b=(1,0)的夹角记为 α,则 α∈?0,4?的概率为(
? ?

)

5 5 1 7 A.18 B.12 C.2 D.12 解析:cos〈a,b〉= 2 ∴2< m m2+n2 m m2+n2 π? ? ,∵α∈?0,4?,
? ?

<1,∴n<m.

又满足 n<m 的骰子的点数有(2,1),(3,1),(3,2),…,(6,3),(6,4), (6,5),共 15 个. 15 5 故所求概率为 P=36=12. 答案:B 7. 已知向量 a=(x, -1), b=(3, y ), 其中 x 随机选自集合{-1,1,3}, y 随机选自集合{1,3},那么 a⊥b 的概率是__________. 解析:从集合{-1,1,3}中取一个数为 x 有 3 种取法,同理 y 有 2 1 种取法,满足 a⊥b 的有一种取法(x=1,y=3),故所求的概率 P= 3×2 1 =6. 1 答案:6

8.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组,3 个小组 分别有 39、32、33 个成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况 如图所示.现随机选取一名成员,他至少参加 2 个小组的概率是 __________,他至多参加 2 个小组的概率为__________. 11 7 10 解析: 随机选一名成员, 恰好参加 2 个组的概率 P(A)=60+60+60 7 8 2 =15,恰好参加 3 个组的概率 P(B)=60=15,则他至少参加 2 个组的 7 2 3 概率为 P(A)+P(B)=15+15=5, 至多参加 2 个组的概率为 1-P(B)=1 2 13 -15=15. 3 13 答案:5 15 9.2011 年深圳大运会的一组志愿者全部通晓中文,并且每个志愿 者还都通晓英语、日语和韩语中的一种(但无人通晓两种外语).已知从 1 中任抽一人,其通晓中文和英语的概率为2,通晓中文和日语的概率为 3 10 . 若通晓中文和韩语的人数不超过 3 人.则这组志愿者的人数为 __________. 解析: 设通晓中文和英语的人数为 x, 通晓中文和日语的人数为 y,

?x+y+z=2, ? 通晓中文和韩语的人数为 z,且 x,y,z∈N ,则? y = 3 , x+y+z 10 ? ?0<z≤3,
*

x

1



x=5, ? ? 得?y=3, ? ?z=2, 答案:10

所以这组志愿者的人数为 5+3+2=10.

10.为加强大学生实践、创新能力和团队精神的培养,促进高等 教育教学改革,教育部门主办了全国大学生智能汽车竞赛,该竞赛分 为预赛和决赛两个阶段,参加决赛的队伍按照抽签方式决定出场顺 序.通过预赛,选拔出甲、乙、丙三支队伍参加决赛. (1)求决赛中甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率; (2)求决赛中甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率. 解析:基本事件空间包含的基本事件有:甲乙丙,甲丙乙,乙甲 丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,共 6 个. (1)设“甲、乙两支队伍恰好排在前两位”为事件 A,事件 A 包含 2 1 的基本事件有:甲乙丙,乙甲丙,共 2 个,则 P(A)=6=3. 1 所以甲、乙两支队伍恰好排在前两位的概率为3. (2)设“甲、乙两支队伍出场顺序相邻”为事件 B,事件 B 包含的

4 基本事件有:甲乙丙,乙甲丙,丙甲乙,丙乙甲,共 4 个,则 P(B)=6 2 =3. 2 所以甲、乙两支队伍出场顺序相邻的概率为3. B级 能力提升练

11.将一颗骰子投掷两次,第一次出现的点数记为 a,第二次出现 的点数记为 b,设两条直线 l1:ax+by=2 与 l2:x+2y=2 平行的概率 为 P1,相交的概率为 P2,则点 P(36P1,36P2)与圆 C:x2+y2=1 098 的位 置关系是( ) B.点 P 在圆 C 外 D.不能确定

A.点 P 在圆 C 上 C.点 P 在圆 C 内

a 1 a 1 解析:易知当且仅当b≠2时两条直线相交,而b=2的情况有三种: a=1,b=2,此时两直线重合;a=2,b=4,此时两直线平行;a=3, b=6,此时两直线平行,而投掷两次的所有情况有 36 种,所以两条直 2 1 3 11 线平行的概率 P1=36=18.两条直线相交的概率 P2=1-36=12,∴点 P(2,33),点 P 与圆心(0,0)的距离为 P 在圆 C 内,故选 C. 答案:C 12.设集合 A={1,2},B={1,2,3},分别从集合 A 和 B 中随机取一 个数 a 和 b,确定平面上的一个点 P(a,b),记“点 P(a,b)落在直线 x +y=n 上”为事件 Cn(2≤n≤5,n∈N),若事件 Cn 的概率最大,则 n 的所有可能值为( ) 4+1 089= 1 093< 1 098,故点

A.3 C.2 和 5 解析:P(a,b)的个数为 6 个.

B.4 D.3 和 4

1 落在直线 x+y=2 上的概率 P(C2)=6, 若在直线 x+y=3 上的概率 2 2 P(C3)=6,落在直线 x+y=4 上的概率 P(C4)=6,落在直线 x+y=5 上 1 的概率 P(C5)=6,故选 D. 答案:D

13.如图,A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2,现随机抽取 100 位从 A 地到达火车站的人进行调查,调查结果如下: 所用时间(分钟) 选择 L1 的人数 选择 L2 的人数 10~20 6 0 20~30 12 4 30~40 18 16 40~50 12 16 50~60 12 4

(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率; (2)分别求通过路径 L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段内的频 率; (3)现甲、乙两人分别有 40 分钟和 50 分钟时间用于赶往火车站, 为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过计算说明,他们 应如何选择各自的路径. 解析:(1)由已知共调查了 100 人,其中 40 分钟内不能赶到火车站

的有 12+12+16+4=44 人, 则用频率估计相应的概率为 0.44. (2)选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人, 故由调查结果得频率为: 所用时间(分钟) L1 的频率 L2 的频率 10~20 0.1 0 20~30 0.2 0.1 30~40 0.3 0.4 40~50 0.2 0.4 50~60 0.2 0.1

(3)A1,A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火车站; B1,B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车站. 由(2)知 P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6, P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2), 故甲应选择 L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1), 故乙应选择 L2. 14.某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然 后以每枝 10 元的价格出售.如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处 理. (1)若花店一天购进 17 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于 当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析式; (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表: 日需求量 n 频数 14 10 15 20 16 16 17 16 18 15 19 13 20 10

①假设花店在这 100 天内每天购进 17 枝玫瑰花,求这 100 天的日

利润(单位:元)的平均数; ②若花店一天购进 17 枝玫瑰花,以 100 天记录的各需求量的频率 作为各需求量发生的概率,求当天的利润不少于 75 元的概率. 解析:(1)当日需求量 n≥17 时,利润 y=85. 当日需求量 n<17 时,利润 y=10n-85.

?10n-85,n<17, 所以 y 关于 n 的函数解析式为 y=? ?85,n≥17

(n∈N).

(2)①这 100 天中有 10 天的日利润为 55 元,20 天的日利润为 65 元,16 天的日利润为 75 元,54 天的日利润为 85 元,所以这 100 天的 1 日利润的平均数为100(55×10+65×20+75×16+85×54)=76.4. ②利润不低于 75 元当且仅当日需求量不少于 16 枝,故当天的利 润不少于 75 元的概率为 P=0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7.


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