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高等数学课件微分方程D121微分方程基本概念_图文

第十二章 微分方程

已y?知 ?f(x),求 y— 积分问题 推广
已知含y及其若干阶导数的 ,求方y 程 — 微分方程问题

18.06.2019

高等数学课件

第一节

第十二章

微分方程的基本概念

几何问题 引例
物理问题

微分方程的基本概念

18.06.2019

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引例1. 一曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处的

切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 .

解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:

dy ? 2x



dx

y x?1?2



由①得

(C为任意常数)

由 ② 得 C = 1, 因此所求曲线方程为 y?x2?1.

18.06.2019

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引例2. 列车在平直路上以

的速度行驶, 制动时

获得加速度

求制动后列车的运动规律.

解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 , 即求 s = s (t) .

已知

st?0?0,

由前一式两次积分, 可得 s??0 .2t2? C 1t? C 2
利用后两式可得
因此所求运动规律为 s??0.2t2?20 t

说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才

能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 .

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微分方程的基本概念
含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 . 常微分方程 (本章内容)
分类 偏微分方程
方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 的阶.
一般地 , n 阶常微分方程的形式是
F (x,y,y?,? ,y(n))?0
或 y (n )? f(x ,y ,y ?,? ,y (n ? 1 ))( n 阶显式微分方程)

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微分方程的解 — 使方程成为恒等式的函数.

通解 — 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同.

特解 — 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线.

定解条件 — 确定通解中任意常数的条件.

n 阶方程的初始条件(或初值条件):
y ( x 0 ) ? y 0 , y ? ( x 0 ) ? y 0 ? , ? , y ( n ? 1 ) ( x 0 ) ? y 0 ( n ? 1 )

引例1
通解: 特解:
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dy dx

?

2x

y x?1?2

引例2

d2y dx2

?

? 0.4

st?0?0,

ds dt

t?0 ?20

y?x2 ?C

s?? 0 .2t2?C 1 t?C 2

y?x2 ?1

s??0.2t2?20 t

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例1. 验证函数 是微分方程

(C1,C2为常)数
的解, 并求满足初始条件

x

t?0

?A,

dx dt

t

?

0

?

0

的特解

.

解:

? ? k 2 (C 1 sk it? n C 2ck o t)s 这说明 x ? C 1 ck o t? C s 2 sk it是n 方程的解 .
是两个独立的任意常数, 故它是方程的通解.

利用初始条件易得:

故所求特解为

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x?Acokts
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例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q 且线段 PQ 被 y 轴平分, 求所满足的微分方程 .
解: 如图所示, 点 P(x, y) 处的法线方程为

令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标

y
P

即 yy??2x?0
思考与练习 P263 (习题12-1)

Q o xx

1 ; 2 (3),(4); 3 (2); 4 (2),(3) ; 6

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