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江苏省扬州中学09-10学年高二下学期期中考试(数学文)

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江苏省扬州中学 09-10 学年高二下学期期中考试 数学 (文科)
一、填空题:(每题 5 分,共 70 分)
1.集合 A ? {x | 0 ? x ? 2},则 A ? N ? ___________ 2.某人 5 次上班途中所花的时间(单位:分钟)分别为: x ,8,9,10,11。已知这组数据
的平均数为 10,则其方差为 3.给出一个算法:
Read x

If x ? 0

Then

f ?x? ? 4x
Else
f ?x? ? 2x

End If
Pr i n t f ?x?

根据以上算法,可求得 f ??1? ? f ?2? ?

4.“ x ? (0,1) ”是“ x ? ?0,1?”的___________条件

(填:“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)

5 . 设 全 集 U ? {1,2,3,4,5} , 若 A ? B ? {2} , (CU A) ? B ? {4} ,

(CU A) ? (CU B) ? {1,5} ,则 A=_____

6.数列 ?an ? 中, a1

? 1, an?1

?

2an 2 ? an

,试猜想这个数列的一个正确的通项公式:

_____________

7.已知: f (x) ? x2 ? 2x ?1 , g(x) ? kx ? b (k ? 0) ,且 f (g(0)) ? ?1, g( f (0)) ? 2 ,

则实数 k 的值为:___________

8.设 f (x), g(x) 是实数集 R 上的奇函数,{x | f (x) ? 0} ? {x | 4 ? x ?10},

{x | g(x) ? 0} ? {x | 2 ? x ? 5} , 则 集 合 {x | f (x)g(x) ? 0} =
___________
9.函数 y ? 1 ? ax 在区间 ?? ?,1? 上是单调递减函数,则 a 的取值范围是_________
10.若函数 y ? 1 x2 ? 2x ? 4 的定义域、值域都是闭区间[2,2b] ,则 b = 2
11.已知奇函数 f (x) 是定义在 (?2,2) 上的减函数,若 f (m ?1) ? f (2m ?1) ? 0,则实数 m 的
取值范围为___________。
12. ?a ? 2? x2 ? 2?a ? 2? x ?1? 0对一切 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围是_______
13.当 x ? (0,2] 时,函数 f (x) ? ax2 ? 4(a ? 1)x ? 3 在 x ? 2 时取得最大值,则 a 的取值范
围是_________

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14.设 x, y, z ? (0,1) ,且 x ? y ? z ? 2 ,设 u ? xy ? yz ? zx ,则 u 的最大值为________
二、解答题(15、16、 17 题各 14 分;18、19、20 题各 16 分)
? ? 15.已知集合 A 为不等式 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集,B= x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,
(1)求解集合 A;
(2)若 A ? B,求 a 的取值范围。
16.已知函数 f ( x )=x 2+ax+b (1)若对任意的实数 x 都有 f (1+x)=f (1-x) 成立,求实数 a 的值; (2)若 f (x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f (x)在[ 1,+∞)内递增,求实数 a 的范围。
17.已知 f (x) ? x 1? x
(1)画出 f (x) 的草图; (2)由图象指出 f (x) 的单调区间; (3)设 a ? 0,b ? 0, c ? 0, a ? b ? c 证明: f (a) ? f (b) ? f (c)

18.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 上,N

在 AD 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=4 米, N

P

AD=3 米,设 AN 的长为 x 米(x >3)。

(1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 54 平方米,则 AN 的

长应在什么范围内?

D

C

(2) 求当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN

的面积最小?并求出最小面积.

A

B

M

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19 . 对 函 数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 若 存 在 x1, x2 ? R 且 x1 ? x2 , 使 得

f

1 (x)

?

1 a

????

x

A ? x1

?

x

B ? x2

???? (其中

A,B

为常数),则称

f

(x)

?

ax 2

?

bx

?

c(a

?

0) 为“可分

解函数”。

(1)试判断 f (x) ? x 2 ? 3x ? 2 是否为“可分解函数”,若是,求出 A,B 的值;若不是,说明

理由;

(2)用反证法证明: f (x) ? x 2 ? x ? 1 不是“可分解函数”;

(3)若 f (x) ? ax2 ? ax ? 4(a ? 0) 是“可分解函数”,则求 a 的取值范围,并写出 A,B 关于

a 的相应的表达式。

20.设数列{an}的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N* ,点 (n, Sn ) 在函数 f (x) ? x2 ? x 的图象上. (1)求 a1,a2,a3 值,并求 an 的表达式; (2)将数列{an}依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ),( a2 , a3 ),( a4 , a5 , a6 ),( a7 , a8 ,a9 , a10 );( a11 ),( a12 ,a13 ),( a14 , a15 ,a16 ),( a17 , a18 ,a19 , a20 ); ( a21 ),…,分别计算各个括号内所有项之和,并设由这些和按原来括号的前后顺序构成的 数列为{bn},求 b5 ? b100 的值;

(3)设

An

为数列

? ? ?

an ? an

1

? ? ?

的前

n

项积,是否存在实数

a

,使得不等式

An

an

?1

?

a

?

3 2a



一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

参考答案
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一、填空题:(每题 5 分,共 70 分)

1. {1,2} 2. 2

3. 0 4.充分不必要

5. A ? {2,3}

6.

an

?2 n ?1

7. -2 或-4

8. (4,5) (?5, ?4)

9. ?0,1?

11. ? 1 ? m ? 2 ) 12. (1, 2]

2

3

13. a ? ? 1 14. 4

2

3

二、解答题(15、16、 17 题各 14 分;18、19、20 题各 16 分)

10. 2

? ? 15.已知集合 A 为不等式 x2 ? 5x ? 6 ? 0 的解集,B= x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 ,

(1)求解集合 A;
(2)若 A ? B,求 a 的取值范围。

解:(1)?x | 2 ? x ? 3?

(2)方程 x2 ? 4x ? 3a2 ? 0 的两根为 x1 ? a, x2 ? 3a 。于是,

? ? ①当 a ? 0 时,B= x | x2 ? 4ax ? 3a2 ? 0 =?x | a ? x ? 3a?。

? A ? B,

?

?a ? 2 ??3a ? 3

? 1 ? a ? 2;

②当 a =0 时,B=? ,不可能有 A ? B;

③当 a ? 0 时,B=?x | 3a ? x ? a?。

? A ? B,

?

?3a ? 2 ??a ? 3

此不等式组无解。

综合得,1 ? a ? 2。

16.已知函数 f ( x )=x 2+ax+b (1)若对任意的实数 x 都有 f (1+x)=f (1-x) 成立,求实数 a 的值;
(2)若 f (x)为偶函数,求实数 a 的值; (3)若 f (x)在[ 1,+∞)内递增,求实数 a 的范围。 解:(1)a= -2
(2)a=0 (3)a≥-2
17.已知 f (x) ? x 1? x
(1)画出 f (x) 的草图;
(2)由图象指出 f (x) 的单调区间;

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(3)设 a ? 0,b ? 0, c ? 0, a ? b ? c 证明: f (a) ? f (b) ? f (c)

解:(1) f (x) ? x ? x ?1?1 ? 1? 1

1? x 1? x

x ?1

y

1

x

-1

O

(2)递增区间:(-∞,-1)和(-1,+∞)
(3)证明:函数 f (x) 在区间(0,+∞)上递增, f (a) ? f (b) ? a ? b ? a ? b ? a ? b ? c ? f (c)
1? a 1?b 1? a ?b 1? a ?b 1? a ?b 1?c
或用分析法

18.如图所示,将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛 AMPN,要求 M 在 AB 上,N

在 AD 上,且对角线 MN 过 C 点,已知 AB=4 米,AD=3 米,设 AN 的长为 x 米(x >3)。

(1) 要使矩形 AMPN 的面积大于 54 平方米,则 AN 的长应在什么范围内?

(2) 求当 AM、AN 的长度是多少时,矩形花坛 AMPN 的面积最小?并求出最小面积.

N

P

D

C

A

B

M

解:(1)设 AN 的长为 x 米(x >3)



|DN| |AN|

?

|DC| |AM|

,∴|AM|=

4x x?3

∴SAMPN=|AN|?|AM|=

4x2 x?3

( x ? 3)

由 SAMPN > 54 得

4x2 x?3

> 54 ,

∵x >3,∴(2x-9)(x-9)> 0

∴3? x? 9 或 x ?9 2

即 AN 长的取值范围是 (3,9) (9,+?) 2

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(2)令 y= 4x2 , 令 t ? x ?3 ?t ? 0? 则 x ? t ? 3
x?3

? ? ? y

?

4?t ? 3?2
t

?

4???t ?

9 t

?

6

? ??

?

4

2

9?6

=48

当且仅当 t ? 9 ?t ? 0? 即 t ? 3 时取等号。
t

此时 AN ? 6, AM ? 8 ,最小面积为 48 m2 . 或用“ ? ”法也可以。

19 . 对 函 数 f (x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) , 若 存 在 x1, x2 ? R 且 x1 ? x2 , 使 得

f

1 (x)

?

1 a

????

x

A ? x1

?

x

B ? x2

???? (其中

A,B

为常数),则称

f

(x)

?

ax 2

?

bx

?

c(a

?

0) 为“可分

解函数”。

(1)试判断 f (x) ? x 2 ? 3x ? 2 是否为“可分解函数”,若是,求出 A,B 的值;若不是,说明

理由;

(2)用反证法证明: f (x) ? x 2 ? x ? 1 不是“可分解函数”;

(3)若 f (x) ? ax2 ? ax ? 4(a ? 0) 是“可分解函数”,则求 a 的取值范围,并写出 A,B 关于

a 的相应的表达式。

答案:(1)因为 1 ?

1

? ?1 ? 1 ,所以 A= -1,B=1

f (x) (x ? 2)( x ? 1) x ? (?2) x ? (?1)

( 2 ) 假 设 f (x) ? x 2 ? x ? 1 是 “ 可 分 解 函 数 ” , 即 存 在 x1, x2 ? R 且 x1 ? x2 , 使 得

f

1 (x)

?

1 a

????

x

A ? x1

?

x

B ? x2

????

=

x2

1 ?x

?1



1 a

????

(A ? B)x ? x2 ? (x1 ?

( Ax2 ? Bx1 ) x2 )x ? x1x2

????

=

x2

1 ?x

?1

,比较得:

?A?B ?0

方程组

? ? ? ?

Ax2 x1

? ?

Bx1 x2 ?

? ?1 ?1

?? x1x2 ? 1

① ②
,但联立方程③④无解,故方程组无解,所以假设不真,原
③ ④

命题成立。

(3)因为

f (x)

?

ax 2

? ax ? 4(a

?

0) 是“可分解函数”,所以

1 f (x)

?

1 a

????

x

A ? x1

?

B x ? x2

????

=

1 a

????

( A ? B)x ? ( Ax2 ? Bx1) x 2 ? (x1 ? x2 )x ? x1x2

????

=

1 a

x2

1 ?x

?

4

a

所以 x2 ? x ? 4 ? 0 有两个不同的实根,所以 ? ? 1 ? 16 ? 0

a

a

解得: a ? 16 或 a ? 0

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?1 ? 1 ? 16

此时方程 x2

?

x?

4 a

?

0 有两个不同的实根为 x1,2

?

a, 2

且 x1

?

?1?

1 ? 16 a
2

< x2

?

?1?

1 ? 16 a
2

?A?B ?0

代入

? ?

Ax2

?

Bx1

?

?1


解得


?

??A ? ? ?

? ??

B

?

a a ?16
a a ?16

20. 设数列{an}的前 n 项和为 Sn ,对一切 n ? N* ,点 (n, Sn ) 在函数 f (x) ? x2 ? x 的图象上.

(1)求 a1,a2,a3 值,并求 an 的表达式;

(2)将数列{an}依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为( a1 ),( a2 , a3 ),( a4 , a5 ,

a6 ),( a7 , a8 ,a9 , a10 );( a11 ),( a12 ,a13 ),( a14 , a15 ,a16 ),( a17 , a18 ,a19 , a20 );

( a21 ),…,分别计算各个括号内所有项之和,并设由这些和按原来括号的前后顺序构成的

数列为{bn},求 b5 ? b100 的值;

(3)设

An

为数列

? ? ?

an ? an

1

? ? ?

的前

n

项积,是否存在实数

a

,使得不等式

An

an

?1

?

a

?

3 2a



一切 n ? N* 都成立?若存在,求出 a 的取值范围;若不存在,请说明理由.

解:(1) 点 (n, Sn ) 在函数 f (x) ? x2 ? x 上, Sn ? n 2 ? n .
所以 a1=S1=2,a2= S2- S1=4,a3= S3- S2=6
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? n ? [(n ?1)2 ? (n ? 1)] ? 2n
检验:当 n ?1 时, a1 ? S1 ? 2 满足 an ? 2n .?an ? 2n(n ? N ?) .
(2)因为 an ? 2n( n ? N* ),所以数列?an? 依次按 1 项、2 项、3 项、4 项循环地分为(2),
(4,6),(8,10,12),(14,16,18,20);(22),(24,26),(28,30,32),(34,36,
38,40);(42),…. 每一次循环记为一组.由于每一个循环含有 4 个括号, 故 b100 是第
25 组中第 4 个括号内各数之和.由分组规律知,由各组第 4 个括号中所有第 1 个数组成的数 列是等差数列,且公差为 20. 同理,由各组第 4 个括号中所有第 2 个数、所有第 3 个数、所 有第 4 个数分别组成的数列也都是等差数列,且公差均为 20. 故各组第 4 个括号中各数之和 构成等差数列,且公差为 80. 注意到第一组中第 4 个括号内各数之和是 68,
所以 b100 ? 68 ? 24 ? 80 ? 1988.又 b5 =22,所以 b5 ? b100 =2010.

(3)因为

an ?1 an

?1?

1 an

,故

An

?

? ?1? ?

1 a1

?? ? ?1 ? ??

1 a2

? ? ?

? ?1? ?

1 an

? ? ?



所以 An

an

?1

?

? ?1? ?

1 a1

?? ? ?1 ? ??

1 a2

? ? ?

? ?1? ?

1 an

? ? ?

2n ?1 .

又 An

an

?1

?

a

?

3 2a

对一切

n?

N*

都成立,即

? 1 ?? 1 ?

?1? ?

a1

? ?

?1? ?

a2

? ?

? 1?

?1? ?

an

? ?

2n ?1 ? a ? 3 对一切 n ? N* 都成立 2a

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g(n)

?

? ?1? ?

1 a1

?? ? ?1 ? ??

1 a2

? ? ?

? ?1? ?

1 an

? ? ?

2n

?1

,则只需 [ g (n)]max

?

a

?

3 2a

即可.

由于

g(n ?1) g(n)

?

? ?1? ?

1 an?1

? ? ?

?

2n ? 3 ? 2n ?1 ? 2n ?1 2n ? 2

2n ? 3 ? 2n ?1

4n2 ? 8n ? 3 ? 1, 4n2 ? 8n ? 4

所以 g(n ?1) ? g(n) ,故 g(n) 是单调递减,于是[g(n)]max ? g(1) ?

3 2

令 3 ? a ? 3 ,即 (a ? 3)(2a ? 3) ? 0 ,解得 ? 3 ? a ? 0 ,或 a ? 3 .

2

2a

a

2

综上所述,使得所给不等式对一切 n ? N* 都成立的实数 a 存在, a 的取值范围是

(? 3 , 0) ( 3, ??) . 2

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