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13 变化率与导数 导数的计算


y

a b c o d e x

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考向分层突破一 考向分层突破二

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1.有关导数的基本概念
1.有关导数的基本概念 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 称函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率 f?x0+Δx?-f?x0? Δy lim = lim 为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数,记作 Δ x→ 0 Δx→0 Δx Δx f′(x0)或 y′|x=x0,即 f?x0+Δx?-f?x0? Δy f′(x0)=Δ lim =Δ lim . x→0 Δx x→ 0 Δx

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(2)导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y= f(x)上点P(x0,y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间t的导数). 相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
(3)函数 f(x)的导函数 f?x+Δx?-f?x? 称函数 f′(x)=Δ lim 为 f(x)的导函数. x→ 0 Δx

(4)(理)复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导 数间的关系为y′x=y′u?u′x,即y对x的导数等于y对u的导 数与u对x的导数的乘积.
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2.基本初等函数的导数公式

原函数
f(x)=c(c为常数) f(x)=xn(n∈Q*) f(x)=sinx f(x)=cosx f(x)=ax f(x)=ex

导函数
f′(x)=0 f′(x)=nxn-1 f′(x)=cosx f′(x)=-sinx f′(x)=axln_a f′(x)=ex

f(x)=logax f(x)=lnx
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f′(x)= f′(x)=
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1 xlna

1 x

3.导数的运算法则

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导数运算的技巧
(1)要准确地把函数分割为基本函数的和、差、积、商及其复 合运算的形式,再利用运算法则求导数; (2)对于不具备求导法则结构形式的,要适当恒等变形,转化 为较易求导的结构形式,再求导数.但必须注意变形的等价性, 避免不必要的运算失误. (3)(理)求复合函数时,要正确分清函数的复合层次,一般是 从最外层开始,由外向内,一层一层地分析,把复合函数分解 成若干个常见的基本函数,逐步确定复合过程.熟悉复合函数 的求导过程后,不必再设出中间变量.

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考向分层突破一:导数的计算

1.f(x)=x(2013+lnx),若f′(x0)=2 014,则x0=( A.e2 B.1 C.ln 2 D.e
解析:f′(x)=2 013+ln x+x×
1 x

)

=2 014+ln x,

故由f′(x0)=2 014得2 014+ln x0=2 014, 则ln x0=0,解得x0=1. 答案: B

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2.求下列函数的导数: (1)y=x2sin x;
解析: (1)y′=(x2)′sin x+x2(sin x)′=2xsin x+x2cos x;

(2)y=3xex-2x+e; (2)y′=(3xex)′-(2x)′+(e)′=(3x)′ex+3x(ex)′-(2x)′ =3xln 3?ex+3xex-2xln 2=(ln 3+1)?(3e)x-2xln 2;

(3)y=

lnx x2 + 1

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(4)y=(1+sin x)2.

(4)设u=1+sin x, 则y=(1+sin x)2, 由y=u2与u=1+sin x复合而成. ∴y′=f′(u)?u′=2u?cos x =2(1+sin x)?cos x.

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(1)连乘积形式:先展开化为多项式的形式,再求导; (2)分式形式:观察函数的结构特征,先化为整式函数 或较为简单的分式函数,再求导; (3)对数形式:先化为和、差的形式,再求导; (4)根式形式:先化为分数指数幂的形式,再求导; (5)三角形式:先利用三角函数公式转化为和或差的形 式,再求导; (6)复合函数:由外向内,层层求导.

导数计算的方法

[提醒] 求导前应利用代数、三角恒等变形将函 数先化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高 运算速度,减少差错.
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考向分层突破二:导数的几何意义

例1 (1)(2014·全国卷Ⅱ)设曲线y=ax-ln(x+1)在点 (0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3
解析: (1)令f(x)=ax-ln(x+1),则f′(x)=a-
1 x +1

.

由导数的几何意义可得在点(0,0)处的切线的斜率为f′(0)=a-1. 又切线方程为y=2x,则有a-1=2,∴a=3.

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(2)(2014·广东肇庆一模)曲线f(x)= 方程为________.
(2)根据题意可知切点坐标为(0,-1),
( x ? 1)(ex ) '? ex ( x ? 1) ' ( x ? 2)ex f′(x)= ? 2 (x - 1) (x - 1) 2

ex 在x x= 1 0处的切线

故切线的斜率为k=f′(0)=

(0 - 2)e 0 (0 - 1)2

=-2,

则直线的方程为y-(-1)=(-2)(x-0)?2x+y+1=0, 故填2x+y+1=0.

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同类练1.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点 A(1,3),则2a+b的值等于( ) A.2 B.-1C.1 D.-2
解析: 依题意得:y=x3+ax+b的导数y′=3x2+a,
?13 + a + b = 3 ? 2 ?3 ? 1 + a = k ?k + 1 = 3 ?



由此解得k=2,a=-1,b=3 ,2a+b=1,选C. 答案: C

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同类练2.(2014·北京东城一模)曲线y=xex+2x+1在 点(0,1)处的切线方程为_________.
解析: 对函数y=xex+2x+1求导数得y′=(x+1)ex+2, 当x=0时,y′=3, 因此曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为y-1=3x, 即3x-y+1=0. 答案: 3x-y+1=0

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变式练3.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则 a的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2
解析: 设直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)的切点为(x0,y0), 则y0=1+x0,y0=ln(x0+a).

又y′=

1 x+a

,∴y′|x=x0=

1 x0 + a

=1,即x0+a=1.

又y0=ln(x0+a),∴y0=0,则x0=-1,∴a=2.

答案:

B

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变式练4.曲线y=log2x在点(1,0)处的切线与坐标轴所围 成三角形的面积等于________.
解析:
1 依题意得,y′= xln2


1 ln2

曲线y=log2x在点(1,0)处的切线的斜率为 该切线方程是y=
1 ln2



(x-1) ,
1 ), ln 2

该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(1,0)、(0, 因此所求的三角形的面积等于 答案:1 log 2e
2

1 1 1 ?1? = log 2e 2 ln2 2

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拓展练 5.设a∈R,函数f(x)=ex+a·e-x的导函数是f′(x), 且f′(x)是奇函数.若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是 , 2 则切点的横坐标为( ) ln2 ln2 A.ln 2 B.-ln 2 C. D.- 2 2 解析: 函数f(x)=ex+a?e-x的导函数是f′(x)=ex-a?e-x.
3

又f′(x)是奇函数,所以f′(x)=-f′(-x),即ex-a?e-x=-(e-x-a?ex), 则ex(1-a)=e-x(a-1),所以(e2x+1)(1-a)=0,解得a=1.

所以f′(x)=ex-e-x. 令ex-e-x=
3 2

,解得ex=2或ex=- 2 A

1

(舍去,因为ex>0),

所以x=ln 2. 答案:

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拓展练 6.(2014·湖北武汉高三月考)已知曲线f(x)=xn+ 1(n∈N*)与直线x=1交于点P,设曲线y=f(x)在点P处的 切线与x轴交点的横坐标为xn,则log2013x1+log2013x2 +…+log2013x2102的值为_____.
解析:f′(x)=(n+1)xn,k=f′(1)=n+1, 点P(1,1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1), 令y=0,得x=11 n +1

=

n n +1

,即
?

1 xn = n + 1



∴x1?x2?…?x2 012=

1 2 3 ? ? ? 2 3 4

2011 2012 1 ? = 2012 2013 2013

则log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012

1 =log2 013(x1?x2?…?x2 012)=log2 013 2013

=-1. 答案-1

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(1)当曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线垂直于x轴时,函 数在该点处的导数不存在,切线方程是x=x0; (2)注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线.曲线 y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f′(x0)(x- x0);求过某点的切线方程,需先设出切点坐标,再依据已知 点在切线上求解.

导数几何意义的应用,需注意以下两点:

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