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2.2分层抽样与系统抽样


2.2分层抽样与系统抽样
1.分层抽样

某市有大型、中型与小型的商店共 1500家,它们的数目之比为2:11:17, 要了解商店的每日零售额情况,要求抽 取其中的30家进行调查,应当采用怎样 的抽样方法? 由于各类商店的零售额有较大的差别,

因此考虑采用分层抽样的方法。

一、分层抽样 当总体由有明显差别的几部分组成时, 为了使抽取的样本更好地反映总体的情况, 我们经常将总体中各个个体按某种特征分 成若干个互不重叠的几部分,每一部分叫 做层,在各层中按层在总体中所占比例进 行简单随机抽样,这种抽样方法叫做分层 抽样。

例如,某中学高中学生有900名,为了 考察他们的体重状况,打算抽取容量为45 的一个样本。已知高一有400人,高二有 300人。高三有200人,采用分层抽样。 样本容量与总体容量的比是45:900= 1: 20,所以在高一、高二、高三3个层面上 取的学生数分别为20,15,10人。 当有些层面上抽取的学生数用除法算出 的结果不是整数时,可作细微调整。

例如上例中高一、高二、高三的学生 数分别为402,296,202,则三个层面 上用上面方法求得的数目分别为20.1, 14.8,10.1. 每层还是分别按20,15, 10名学生抽取。

在每个层面上抽样时,可以采用简单 随机抽样的方法。

分层抽样的特点:
(1)适用于总体由有明显差别的几部分组 成的情况; (2)抽取的样本更好地反映了总体的情况; (3)是等可能性抽样,每个个体被抽到
n 的可能性都是 N

分层抽样的步骤:
(1)根据已经掌握的信息,将总体分成 若干个互不相交的层; (2)根据总体中的个体数N和样本容量n, n 计算抽样比k= ;
N

(3)确定第i层应该抽取的个体数目ni= Ni×k(Ni为第i层所包含的个体数),使 得各ni之和为n;

(4)在各个层中,按步骤(3)中确定 的数目在各层中随机抽取个体,合在一 起得到容量为n的样本。

例1. 某政府机关有在编人员100人,其中 副处级以上干部10人,一般干部70人,工 人20人。上级机关为了了解政府机构改革 的意见,要从中抽取一个容量为20的样本, 试确定用何种方法抽取,请具体实施操作。

解:因为抽样比k=1:5,应从副处级以上 干部中抽取2人,一般干部中抽取14人, 工人中抽取4人。 因副处级以上干部与工人人数都较少, 他们分别按1~10编号和1~20编号,然后采 用抽签法分别抽取2人和4人; 对一般干部70人采用00,01,……,69 编号,然后用随机数表法抽取14人。

【探究】:某学校为了了解高一年级学生 对教师教学的意见,打算从高一年级500名学生 中抽取50名进行调查,用简单随机抽样获取样本 方便吗? 你能否设计其他抽取样本的方法?
我们按照下面的步骤进行抽样: 第一步:将这500名学生从1开始进行编号;

第二步:确定分段间隔k,对编号进行分段.由于 k=500/50=10,这个间隔可以定为10;
第三步:从号码为1~10的第一个间隔中用简单随机抽样 的方法确定第一个个体编号,假如为6号; 第四步:从第6号开始,每隔10个号码抽取一个,得到 6,16,26,36,…,496.这样就得到一个样本容量为 50的样本.

一.系统抽样的定义: 将总体平均分成几部分,然后按照一定的规 则,从每一部分抽取一个个体作为样本,这种抽 样的方法叫做系统抽样。
【说明】由系统抽样的定义可知系统抽样有以下特证: (1)当总体容量N较大时,采用系统抽样。 (2)将总体平均分成几部分指的是将总体分段,分段的 间隔要求相等,因此,系统抽样又称等距抽样、机械抽 样。 (3)一定的规则通常指的是:在第1段内采用简单随机 抽样确定一个起始编号,在此编号的基础上加上分段间 隔的整倍数即为抽样编号。

二、从容量为N的总体中抽取容量为n的样本,用 系统抽样的一般步骤为: (1)将总体中的N个个体编号.有时可直 接利用个体自身所带的号码,如学号、准考证号、 门牌号等; (2)将编号按间隔k分段(k∈N). (3)在第一段用简单随机抽样确定起始 个体的编号L(L∈N,L≤k)。 (4)按照一定的规则抽取样本,通常是 将起始编号L加上间隔k得到第2个个体编号L+K, 再加上K得到第3个个体编号L+2K,这样继续下 去,直到获取整个样本.

〖说明〗(1)分段间隔的确定:

剔除几个个体,使得总体中剩余的个体数能被样
?N ? 本容量整除.通常取k= ? n ? ? ?

N N 当 是整数时,取k= ; n n N 当 不是整数时,可以先从总体中随机地 n

(2)从系统抽样的步骤可以看出,系统抽样 是把一个问题划分成若干部分分块解决,从而 把复杂问题简单化,体现了数学转化思想。

思考:下列抽样中不是系统抽样的是 ( C ) A、从标有1~15号的15个小球中任选3个作 为样本,按从小号到大号排序,随机确定起点i, 以后为i+5, i+10(超过15则从1再数起)号入样; B、工厂生产的产品,用传送带将产品送入 包装车间前,检验人员从传送带上每隔五分钟抽 一件产品检验; C、搞某一市场调查,规定在商场门口随机 抽一个人进行询问,直到调查到事先规定的调查 人数为止; D、电影院调查观众的某一指标,通知每排 (每排人数相等)座位号为14的观众留下来座谈。

【例题解析】 例1、某校高中三年级的295名学生已经编 号为1,2,……,295,为了了解学生的学习情 况,要按1:5的比例抽取一个样本,用系统抽 样的方法进行抽取,并写出过程。 解:样本容量为295÷5=59.

确定分段间隔k=5,将编号分段 1~5,6~10,…,291~295; 采用简单随机抽样的方法,从第一组5名 学生中抽出一名学生,如确定编号为3的学生, 依次取出的学生编号为3,8,13,…,288,293 , 这样就得到一个样本容量为59的样本.

例2、从编号为1~50的50枚最新研制 的某种型号的导弹中随机抽取5枚来进行发 射实验,若采用每部分选取的号码间隔一 样的系统抽样方法,则所选取5枚导弹的编 号可能是( B ) A.5,10,15,20,25 B、3,13,23,33,43 C、1, 2, 3, 4, 5 D、2, 4, 6, 16,32

例3:从2005个编号中抽取20个号码入样,采 用系统抽样的方法,则抽样的间隔为 ( C) A.99 B、99.5

C.100

D、100.5

例4:某小礼堂有25排座位,每排20个座位,一次 心理学讲座,礼堂中坐满了学生,会后为了了解 有关情况,留下座位号是15的所有25名学生进行 测试,这里运用的是 系统 抽样方法。

例5:从2004名学生中选取50名组成参观 团,若采用下面的方法选取:先用简单随机抽 样从2004人中剔除4人,剩下的2000个再按系 统抽样的方法进行,则每人入选的机会(C )
A.不全相等 B.均不相等

C.都相等

D.无法确定

练习、在1000个有机会中奖的号码(编号为 000~999)中,在公证部门的监督下,按随机抽 取的方法确定最后两位数为88的号码为中奖号码, 这是运用那种抽样方法确定中奖号码的?依次写 出这10个中奖号码。
系统抽样

088,188,288,388,488,588,688,788, 888,988

※(2008年福建省高考卷)一个总体中有 100个个体,随机编号为0,1,2,…,99,依编号顺序 平均分成10个小组,组号分别为1,2,3,…,10.现 用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本,规 定如果在第1组随机抽取的号码为m,那么在第k 组抽取的号码个位数字与m+k的个位数字相同. 若m=6,则在第7组中抽取的号码是______. 解析:依编号顺序平均分成的10个小组分 别为0~9, 10~19, 20~29, 30~39, 40~49,50~59,60~69,70~79,80~89,90~99.因第 7组抽取的号码个位数字应是3,所以抽取的号码 是63.这个样本的号码依次是 6,18,29,30,41,52,63,74,85,96这10个号.

二、三种抽样方法的比较 (1)简单随机抽样:简单随机抽样是最 基本的抽样方法,其他的各种随机抽样方 法中,大都会以某种形式引用它。 (2)系统抽样:①系统抽样比其他随机抽 样方法更容易施行,可节约抽样成本; ②系统抽样所得样本的代表性和具体的 编号有关,如果编号的个体特征随编号变 化呈现一定的周期性,可能会使系统抽样 的代表性很差;

③系统抽样比简单随机抽样的应用范围更 广,它可以应用到个体有自然编号,但是 总体中个体的数目却在抽样时无法确定的 情况(如生产线上产品的质量检验)。 (3)分层抽样:充分利用了已知的总体信 息,得到的样本比前两种方法有更好的代 表性,并且可得到各层的子样本以估计各 层的信息。

上述三种抽样方法的比较如下表所示:
类别 共同点 各自特点 相互联系 适用范围 简单随机抽 抽样过程 从总体中逐个 总体中的个 体数较少 样 抽取 中每个个 体被抽取 的概率相 将总体均分成 在起始部分 总体中的个 系统抽样 等 几部分,按事 抽样时,采 体数较多 先确定的规则 用简单随机 抽样 在各部分中抽 取 分层抽样 将总体分成几 各层抽样时 总体由差异 层,分层进行 采用简单随 明显的几部 抽取 分组成 机抽样或系 统抽样

例2 选择合适的抽样方法抽样,写出抽样 过程。 (1)有30个篮球,其中甲厂生产的有21 个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样。 (2)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱 21个,另一箱9个。 抽取3个入样。 (3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10个 入样。 (4)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个 入样。

(1)有30个篮球,其中甲厂生产的有21 个,乙厂生产的有9个,抽取10个入样。
解:(1)总体由有差异明显的几个层次组 成,需选用分层抽样法。 (2)有甲厂生产的30个篮球,其中一箱 21个,另一箱9个。 抽取3个入样。

解:(2)总体容量较小,用抽签法。

(3)有甲厂生产的300个篮球,抽取10 个入样。 解:(3)总体容量较大,样本容量较小 宜用随机数表法。 (4)有甲厂生产的300个篮球,抽取30个 入样。 解:(4)总体容量较大,样本容量也较 大,宜用系统抽样法。

练习题:
1. 一批灯泡400只,其中20 W、40 W、60

W的数目之比为4∶3∶1,现用分层抽样
的方法产生一个容量为40的样本,三种灯 泡依次抽取的个数为______________. 20、15、5

2.从总体为.的一批零件中用分层抽样抽取
一个容量为30的样本,若每个零件被抽取

的机率为0.25,则N等于( C ) A.150 B.200
C.120 D.100

3.某工厂生产A、B、C三种不同型号的产 品,产品数量之比依次为2:3:5,现用 分层抽样的方法抽出一个容量为n的样本, 样本中A种型号产品有16件,那么此样本 的容量n= 80 。

4.某校有老师200人,男学生1200人,女学 生1000人,现用分层抽样的方法从所有师 生中抽取一个容量为n的样本,已知从女 学生中抽取的人数为80人,则n= 192 .


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