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重庆八中2011届高三数学第五次月考 理


重庆八中 2010—2011 学年度(上)高三年级第五次考试 数学试题(理科)

本试题分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。共 150 分,考试时间 120 分钟。

第Ⅰ 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {x | x2 ? x ? 0, x ? R} ,集合 B ? {x | log2 x ? 0} ,则 A 、 B 满足 A. A ? B B. B ? A C. A ? B D. A ? B 且 B ? A ? ?

2.已知单位向量 i, j 满足 (2 j ? i) ? i ,则 i, j 夹角为 A.

??

? ?

?

??

? 6

B.

? 4

C.

? 3

D.

2? 3

3.已知 tan ? ? 2 ,则 A. ?3

cos 2? 的值为 (sin ? ? cos ? ) 2
B. 3 C. ?2 D. 2

x2 y2 ? ? 1 表示椭圆的 4. ?2 ? m ? 1”是方程 “ m ? 2 1? m
A. 充分必要条件 C. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 D. 既不充分也不必要条件

? x ? 4 y ? ?3 ? 5.已知变量 x、y 满足条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则 z ? 2 x ? y 的最小值为 ?x ? 1 ?
A. ?2 B. 3 C. 7 D. 12

6.已知函数 y ? f ( x ? 1) 是定义域为 R 的偶函数,且在 [1, ??) 上单调递增,则不等式

f (2 x ? 1) ? f ( x ? 2) 的解集为
A. {x | x ? 3} C. {x | ? B. {x |

1 ? x ? 3} 3

1 ? x ? 3} 2 1 D. {x | ? x ? 3} 3
-1-

7.由曲线 x2 ? y 2 ?| x | ? | y | 围成的图形的面积等于 A. ? ? 2 B. ? ? 2 C. 2? D. 4?

8.已知正实数 a、b 满足 a ? b ? 1 ,则 A.

1 23

B.

1 24

ab 的最大值为 4a ? 9b 1 C. 25

D.

1 26

x2 y 2 9.已知双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右支上存在一点 P,使得点 P 到双曲线右焦点的距 a b
离等于它到双曲线左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是 A. (1, 2] B. [ 2, ??) C. (1, 2 ? 1] D. [ 2 ? 1, ??)

10.若函数 f ( x) ? (a ? 3) x ? ax3 在区间 [?1,1] 上的最小值等于 ?3 ,则实数 a 的取值范围是 A. (?2, ??) B. [ ?

3 ,12] 2

C. [ ?

3 ,13) 2

D. (?2,12]

第Ⅱ 卷(非选择题,共 100 分)
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡相应位置. 11.函数 y ?

x ?1 的反函数的解析式为 x ?1

. .

12.数列 {an } 满足: a1 ? 0 , an?1 ? an ? n (n ? N ? ) ,则数列 {an } 的通项 an ? 13.经过原点 O 且与函数 f ( x) ? ln x 的图像相切的直线方程为 14.若 cos(? ? .

?

1 ? ) ? ,则 cos(2? ? ) ? 3 3 3
2



15.直线 l : 3x ? y ? 3 ? 0 与抛物线 y ? 4 x 相交于 A、B 两点,与 x 轴相交于点 F,若

??? ? ??? ? ??? ? ? OF ? ?OA ? ?OB (? ? ? ) ,则 ? ?



三、解答题:本大题共 6 小题,共 76 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 设 ?ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,且 A ? (Ⅰ)角 B 的值; (Ⅱ)函数 f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ? B) 在区间 [0,

2? , a ? 2b cos C ,求: 3

?
2

] 上的最大值及对应的 x 值.

-2 -

17. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知平面上的两个定点 O(0,0) , A(0,3) ,动点 M 满足 | AM |? 2 | OM | . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹方程; (Ⅱ)若经过点 A( 3, 2) 的直线 l 被动点 M 的轨迹 E 截得的弦长为 2,求直线 l 的方程.

18. (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知函数 f ( x) ? e2 x ? ae x ? x , x ? R . (Ⅰ)当 a ? 3 时,求函数 f ( x ) 的极大值和极小值; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 (0,ln 2) 上是单调递增函数,求实数 a 的取值范围.

19. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 设数列 {an } 的首项 a1 ? 1 , 其前 n 项和 Sn 满足: tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t (t ? 0, n ? 2,3,?) . 3 (Ⅰ)求证:数列 {an } 为等比数列; (Ⅱ)记 {an } 的公比为 f (t ) ,作数列 {bn } ,使 b1 ? 1 , bn ? f (

1 ) (n ? 2,3,?) ,求和: bn ?1

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ?? b2n?1b2n ? b2nb2n?1 .

-3-

20. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知定义域为 (0, ??) 的单调函数 f ( x) 满足:f (m) ? f (n) ? f (m ? n) 对任意 m, n? (0, ??) 均 成立. (Ⅰ)求 f (1) 的值;若 f (a) ? 1 ,求 f ( ) 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 2 f ( x ? 1) ? f (kx) 有且仅有一个根,求实数 k 的取值集合.

1 a

21. (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 3 分, (Ⅱ)小问 9 分. ) 直线

x y x2 y 2 ? ? 0 称 为 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的 “ 特 征 直 线 ” 若 椭 圆 的 离 心 率 , a b a b

e?

3 . 2

(Ⅰ)求椭圆的“特征直线”方程; (Ⅱ)过椭圆 C 上一点 M ( x0 , y0 ) ( x0 ? 0) 作圆 x ? y ? b 的切线,切点为 P、Q,直线 PQ
2 2 2

与椭圆的“特征直线”相交于点 E 、 F , O 为坐标原点,若 OE ? OF 取值范围恰为

??? ??? ? ?

3 (??, ?3) ? [ , ??) ,求椭圆 C 的方程. 16

重庆八中 2010—2011 学年度(上)高三年级第五次考试 数学(理科)参考答案
一、选择题: 1 B 2 C 3 A 4 C 5 B 6 D 7 A 8 C 9 C 10 B

3 提示:10.因为 f (1) ? ?3 ,所以只需 (a ? 3) x ? ax ? ?3 对 x ?[?1,1] 恒成立.

由 (a ? 3) x ? ax ? 3 ? 0 ,得: ax(1 ? x ) ? 3(1 ? x) ? 0 ,因为 x ?[?1,1] ,所以 1 ? x ? 0 ,
3 2

-4-

ax(1 ? x) ? ?3 ,当 x ? ?1 或 x ? 0 时,不等式显然恒成立,当 ?1 ? x ? 0 时, a ?

?3 恒 x(1 ? x)

成立,即 a ? 12 ;当 0 ? x ? 1 时, a ?

3 3 ?3 恒成立,即 a ? ? ,综上, ? ? a ? 12 . 2 2 x(1 ? x)

二、填空题: 11. y ?

? ,如图,过点 A 3 y 作准线 x ? ?1 的垂线,垂足为 M,过 F 作直线 AM 的垂线,垂足为 P,则 P M 1 在 ?APF 中, | AP |?| AF | cos ?FAP ? | AF | ,又 2 F 4 | AP |?| AM | ? | MP |?| AF | ?2 ,所以 | AF |? 4 ,同理可得 | BF |? O B 3 ??? 1 ??? 3 ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 从而 AF ? 3FB ,即 OF ? OA ? 3(OB ? OF ) , OF ? OA ? OB , 4 4
提示:15.易知直线 l 经过抛物线的焦点,且倾斜角为 故? ?

1? x 1? x

12.

n(n ? 1) 2

13. y ?

1 x e

14.

7 9

15.

1 3

A x

1 3 ? 1 ,? ? , ? . 4 4 ? 3

三、解答题: 16. (Ⅰ)由 2a ? b cos C ,得 sin A ? 2sin B cos C ∵ A ? ? ? (B ? C)

…………………………………………2 分

∴ sin( B ? C ) ? 2sin B cos C ,整理得 sin( B ? C ) ? 0 ……………4 分 又由 A ?

∵ B、C 是 ?ABC 的内角,∴ B ? C (Ⅱ) f ( x) ? sin 2 x ? cos(2 x ? 由0 ? x ?

2? ? ,∴ B ? …………………………. 6 分 3 6

?

3 3 ? ) ? sin 2 x ? cos 2 x ? 3 sin(2 x ? ) ……………9 分 6 2 2 6

?
2

,得

?
6

? 2x ?

?
6 ?

?

∴ ymax ? 3 ,此时 2 x ?

?
6

?
2

7? ……………………………………………………………11 分 6
,x?

?

6

……………………………………………………13 分

2 2 2 2 17. (Ⅰ)设 M ( x, y ) ,由条件 | AM |? 2 | OM | 得: x ? ( y ? 3) ? 2 x ? y ,………3 分

化简整理,得: x ? y ? 2 y ? 3 ? 0 ,即 x ? ( y ? 1) ? 4
2 2 2 2 2 2

……………………………6 分

(Ⅱ)设圆 x ? ( y ? 1) ? 4 的圆心 E 到直线 l 的距离为 d,则 d ? 22 ?12 ? 3 若直线 l 的斜率存在,设其为 k,则 l : y ? 2 ? k ( x ? 3) ,即 kx ? y ? 2 ? 3k ? 0
-5-

?

| 3 ? 3k | k 2 ?1

? 3 ,解得 k ?

3 ,从而 l : x ? 3 y ? 3 ? 0 ……………………………10 分 3

当直线 l 的斜率不存在时,其方程为 x ? 3 ,易验证知满足条件 综上,直线 l 的方程为 x ? 3 或 x ? 3 y ? 3 ? 0 …………………………………………13 分

18. f ?( x) ? 2e2 x ? aex ? 1 (Ⅰ)当 a ? 3 时, f ?( x) ? 2e2 x ? 3e2 x ? 1 ? (2e x ? 1)(e x ? 1)

1 ? e x ? 1 , ? ln 2 ? x ? 0 2 1 x x 令 f ?( x) ? 0 ,得 e ? 或 e ? 1 , x ? ? ln 2 或 x ? 0 2
令 f ?( x) ? 0 ,得 ∴ f ( x ) 在 (??, ? ln 2) , (0, ??) 上递增,在 (ln 2,0) 上递减.

5 ? ln 2 , f ( x)极小值 ? f (0) ? ?2 …….………………....6 分 4 1 x 2x x (Ⅱ)令 f ?( x) ? 2e ? ae ? 1 ? 0 , x ? (0,ln 2) ,即 a ? 2e ? x 对任意 x ? (0,ln 2) 恒 e 1 x 成立,令 t ? e , t ? (1, 2) ,又令 h(t ) ? 2t ? ,易知 h(t ) 在 (1, 2) 上为增函数 t
从而, f ( x) 极大值 ? f (? ln 2) ? ?

? h(t ) ? 3 ,故 a ? 3

……………………….………………………....13 分

19. (Ⅰ)由 S1 ? a1 ? 1, S2 ? 1 ? a2 ,得 3t (1 ? a2 ) ? (2t ? 3) ? 3t ,? a2 ?

2t ? 3 a2 ? ……..…2 分 3t a1

又 3tSn ? (2t ? 3)Sn?1 ? 3t , 3tSn?1 ? (2t ? 3)Sn?2 ? 3t (n ? 3, 4,?) 两式相减,得:

3tan ? (2t ? 3)an?1 ? 0 ,?

an 2t ? 3 (n ? 3, 4,?) ? an?1 3t
2t ? 3 的等比数列 3t
…………………………..…….5 分

综上,数列 {an } 为首项为 1,公比为 (Ⅱ)由 f (t ) ?

2t ? 3 2 1 2 1 2 ? ? ,得 bn ? f ( ) ? ? bn?1 ,所以 {bn } 是首项为 1, ,公差为 3t 3 t 3 bn?1 3

的等差数列, bn ?

2n ? 1 3

……………………………….…………………………....9 分

b1b2 ? b2b3 ? b3b4 ? b4b5 ? ?? b2n?1b2n ? b2nb2n?1

-6-

4 ? (b1 ? b3 )b2 ? (b3 ? b5 )b4 ? ? ? (b2n?1 ? b2n?1 )b2n ? ? (b2 ? b4 ? ? ? b2 n ) 3 4 n 5 4n ? 1 4 ?? ? ( ? ) ? ? (2n 2 ? 3n) ……………………….………………………....13 分 3 2 3 3 9
20. (Ⅰ)令 m ? n ? 1,解得 f (1) ? 0 又令 m ? a , n ? …………………………………………………2 分 …………………………………………………5 分

1 1 ,解得 f ( ) ? ?1 a a

(Ⅱ) m ? n , 2 f (n) ? f (n2 ) , 令 得: 所求方程等价于 f [( x ? 1)2 ] ? f (kx) , f ( x ) 是 (0, ??) 又

?( x ? 1) 2 ? kx ? x 2 ? (2 ? k ) x ? 1 ? 0 ? ? 上的单调函数,所以原方程可化为 ? x ? 1 ? 0 ,即 ? x ? ?1 ?kx ? 0 ?kx ? 0 ? ?

….…………8 分

2 若k ? 0, 则原问题为方程 x ? (2 ? k ) x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 上有一个根, 设其两根为 x1 , x2 , 2 则 ? ? (2 ? k ) ? 4 ? 0 ,又注意到 x1 x2 ? 1 ? 0 ,? 只可能是二重正根,由 ? ? 0 解得 k ? 4 或

k ? 0 (矛盾,舍去)
2 若 k ? 0 ,则原问题为方程 x ? (2 ? k ) x ? 1 ? 0 在 (?1, 0) 上有一个根,仍有 x1 x2 ? 1 ? 0 ,

记 g ( x) ? x2 ? (2 ? k ) x ? 1 ,易知 g (0) ? 1 ? 0 ,由根的分布原理,只需 g (?1) ? 0, 即 k ? 0 , 综上, k ? (??,0) ? ?4? ………………………………………………………………………….12 分

21.(Ⅰ) c ?a ?b c( ? 0 , 设 ) 则由 e ?
2 2 2

2 b 1 c 2 a2 ? b 3 c 3 ? ? , a ? 2b ? , , 得 2 ? ? 2 a 2 a a 4 a 2

椭圆的“特征直线”方程为: x ? 2 y ? 0

…………………………………………………….3 分

(Ⅱ)直线 PQ 的方程为 x0 x ? y0 y ? b2 (过程略) ………………………………………….5 分 设 E( x1 , y1 ) , F ( x2 , y2 )

? x0 x ? y0 y ? b 2 b2 b2 联立 ? ,解得 y1 ? ,同理 y2 ? …………………………….7 分 y0 ? 2 x0 y0 ? 2 x0 ?x ? 2 y ? 0

??? ??? ? ? OE ? OF ? x1 x2 ? y1 y2 ? ?3 y1 y2 ?

x2 y 2 3b4 ,? M ( x0 , y0 ) 是椭圆上的点,? 02 ? 0 ? 1 2 2 4b b2 4 x0 ? y0

-7-

??? ??? ? ? 从而 OE ? OF ?

3b 4 3b 4 ? 2 2 4 x0 ? y0 17 x 2 ? b 2 0 4
? ? b2 ?

…………………………………………………….10 分

2 ? 0 ? x0 ? 4b2

17 2 x0 ? b 2 16b ? 4

2

??? ??? 3b2 ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? O E ? O F? 3 2 b OE ? OF ? ? 或 16

由条件,得 b ? 1 ,故椭圆 C 的方程为
2

x2 ? y 2 ? 1 …………………………………………12 分 4

-8-


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