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第七章第2讲知能训练轻松闯关


行胜于言

? ?x-3y+6≥0, 1.(2016· 长春模拟)不等式组? 表示的平面区域是( ?x-y+2<0 ?

)

解析:选 B.x-3y+6≥0 表示直线 x-3y+6=0 以及该直线下方的区域,x-y+2<0 表 示直线 x-y+2=0 上方的区域,故选 B. y≤-x+2, ? ? 2.(2016· 泰安模拟)不等式组?y≤x-1, 所表示的平面区域的面积为( ? ?y≥0 A.1 1 C. 3 解析:选 D. 1 B. 2 1 D. 4

)

? ?y=-x+2, 1 作出不等式组对应的区域为△BCD,由题意知 xB=1,xC=2.由? 得 yD= , 2 ?y=x-1, ?

1 1 1 所以 S△BCD= ×(xC-xB)× = . 2 2 4

行胜于言

x-y-2≤0, ? ? 3.(2016· 大连双基测试)设变量 x,y 满足约束条件?3x+y-6≥0,则 z=-2x+y 的最 ? ?y≤3, 小值为( ) A.-7 B.-6 C.-1 D.2 解析:选 A.可行域如图,平移直线 y=2x 至过点(5,3)时,z 取得最小值-7.

4.(2016· 江西省八所中学联考)已知 O 为坐标原点,点 M 的坐标为(-2,1),在平面区 x≥0, ? ? 域?x+y≤2,上取一点 N,则使|MN|取得最小值时,点 N 的坐标是( ? ?y≥0

)

A.(0,0) B.(0,1) C.(0,2) D.(2,0) 解析:选 B.作出不等式组表示的区域,如图阴影部分所示,当 MN⊥y 轴时,|MN|取到 最小值,即 N(0,1).

3x-y-2≤0, ? ? 5. (2016· 邢台摸底考试)设 x, y 满足约束条件?x-y≥0, 若目标函数 z=ax+by(a>0, ? ?x≥0,y≥0, b>0)的最大值为 4,则 a+b 的值为( 1 A. 4 ) B.2

C.4 D.0 解析:选 C.作出不等式组表示的区域如图阴影部分所示,由图可知,z=ax+by(a>0, b>0)过点 A(1,1)时取最大值,所以 a+b=4.

行胜于言

x≥1, ? ? 6.(2016· 佳木斯名校联考)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, 若 z=2x+y ? ?y≥a(x-3), 的最小值为 1,则 a=( 1 A. 2 ) 1 B. 3

C.1 D.2 解析:选 A.根据约束条件画出可行域,如图,由图可知当直线 z=2x+y 经过点 B 时,
? ? ?x=1, ?x=1, 1 z 最小,由? 解得? 所以 zmin=2×1-2a=1,解得 a= .故选 A. 2 ?y=a(x-3) ?y=-2a, ? ?

x+y-3≥0, ? ? 7.满足不等式组?x-y+1≤0,的点(x,y)构成的区域的面积为________. ? ?2≤y≤3

解析:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示(包括边界).易知 A 点的坐标 1 为(2,3),B 点的坐标为(1,2),从而可知图中阴影部分的面积为 ×2×1=1. 2 答案:1 x≥0, ? ? 8.若 x,y 满足约束条件?x+2y≥3,则 z=x-y 的最大值是________. ? ?2x+y≤3, 解析:

行胜于言

x≥0, ? ? 作出约束条件?x+2y≥3,表示的平面区域,如图阴影部分所示,当直线 z=x-y 过点 ? ?2x+y≤3 A(1,1)时,目标函数 z=x-y 取得最大值 0. 答案:0 x-y+1≥0, ? ? + 9.若实数 x,y 满足?x+y≥0, 则 z=3x 2y 的值域是________. ? ?x≤0, 1 t 解析:令 t=x+2y,则 y=- x+ ,作出可行域, 2 2

1 平移直线 y=- x, 2 由图象知当直线经过 O 点时,t 最小,当经过点 D(0,1)时,t 最大, + 所以 0≤t≤2,所以 1≤z≤9,即 z=3x 2y 的值域是[1,9]. 答案:[1,9] 3x-5y+6≥0, ? ? 10.(2016· 郑州质检)若 x,y 满足条件?2x+3y-15≤0,当且仅当 x=y=3 时,z=ax- ? ?y≥0, y 取得最小值,则实数 a 的取值范围是________. 解析:画出可行域,如图,直线 3x-5y+6=0 与 2x+3y-15=0 交于点 M(3,3),由目 标函数 z=ax-y,得 y=ax-z,纵截距为-z,当 z 最小时,-z 最大.欲使纵截距-z 最大, 2 3 则- <a< . 3 5

行胜于言

2 3 - , ? 答案:? ? 3 5? 11.

已知 D 是以点 A(4, 1), B(-1, -6), C(-3, 2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部). 如 图所示. (1)写出表示区域 D 的不等式组; (2)设点 B(-1,-6),C(-3,2)在直线 4x-3y-a=0 的异侧,求 a 的取值范围. 解:(1)直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x-5y-23=0,x+7y-11=0,4x+y+10= 7x-5y-23≤0, ? ? 0.原点(0,0)在区域 D 内,故表示区域 D 的不等式组为?x+7y-11≤0, ? ?4x+y+10≥0. (2)根据题意有 [4×(-1)-3×(-6)-a][4×(-3)-3×2-a]<0, 即(14-a)(-18-a)<0, 得 a 的取值范围是-18<a<14. 12.(2014· 高考陕西卷)在直角坐标系 xOy 中,已知点 A(1,1),B(2,3),C(3,2),点 P(x,y)在△ABC 三边围成的区域(含边界)上. → → → → (1)若PA+PB+PC=0,求|OP|; → → → (2)设OP=mAB+nAC(m,n∈R),用 x,y 表示 m-n,并求 m-n 的最大值. → → → 解:(1)法一:因为PA+PB+PC=0, → → → 又PA+PB+PC=(1-x,1-y)+(2-x,3-y)+(3-x,2-y)=(6-3x,6-3y),所以
? ? ?6-3x=0, ?x=2, ? 解得? ?6-3y=0, ?y=2, ? ?

→ → 即OP=(2,2),故|OP|=2 2.

行胜于言

→ → → 法二:因为PA+PB+PC=0, → → → → → → 则(OA-OP)+(OB-OP)+(OC-OP)=0, → 1 → → → 所以OP= (OA+OB+OC)=(2,2), 3 → 所以|OP|=2 2. (2)

→ → → 因为OP=mAB+nAC, 所以(x,y)=(m+2n,2m+n),
? ?x=m+2n, 所以? ?y=2m+n, ?

两式相减得,m-n=y-x. 令 y-x=t,由图知,当直线 y=x+t 过点 B(2,3)时,t 取得最大值 1,故 m-n 的最大 值为 1.

y≥-1, ? ? 1.(2016· 东北三校联合模拟)变量 x,y 满足约束条件?x-y≥2, 若使 z=ax+y 取得 ? ?3x+y≤14, 最大值的最优解有无穷多个,则实数 a 的取值集合是( ) A.{-3,0} B.{3,-1} C.{0,1} D.{-3,0,1} 解析:选 B.

作出不等式组所表示的平面区域,如图阴影部分所示. 易知直线 z=ax+y 与 x-y=2 或 3x+y=14 平行时取得最大值的最优解有无穷多个, 即

行胜于言

-a=1 或-a=-3,所以 a=-1 或 a=3. 2.(2015· 高考浙江卷)已知实数 x,y 满足 x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值 是________. 解析:

因为 x2+y2≤1,所以 2x+y-4<0, 6-x-3y>0,所以|2x+y-4|+|6-x-3y|=4-2x-y+6-x-3y=10-3x-4y. 令 z=10-3x-4y, 4 如图,设 OA 与直线-3x-4y=0 垂直,所以直线 OA 的方程为 y= x. 3 4 ? ?y=3x, 3 4 联立? 得 A(- ,- ), 5 5 ? ?x2+y2=1, 3 4 所以当 z=10-3x-4y 过点 A 时,z 取最大值,zmax=10-3×(- )-4×(- )=15. 5 5 答案:15 x+y≥1, ? ? 3.若 x,y 满足约束条件?x-y≥-1, ? ?2x-y≤2, 1 1 (1)求目标函数 z= x-y+ 的最值; 2 2 (2)若目标函数 z=ax+2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求 a 的取值范围. 解:(1)作出可行域如图,可求得 A(3,4),B(0,1),C(1,0).

1 1 平移初始直线 x-y+ =0,过 A(3,4)时 z 取最小值-2,过 C(1,0)时 z 取最大值 1. 2 2 所以 z 的最大值为 1,最小值为-2. a (2)直线 ax+2y=z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知-1<- <2, 2 解得-4<a<2. 故 a 的取值范围是(-4,2). 4.某小型工厂安排甲、乙两种产品的生产,已知工厂生产甲、乙两种产品每吨所需要 的原材料 A,B,C 的数量和一周内可用资源数量如下表所示:

行胜于言

原材料 A B C

甲(吨) 1 4 2

乙(吨) 1 0 5

资源数量(吨) 50 160 200

如果甲产品每吨的利润为 300 元,乙产品每吨的利润为 200 元,那么应如何安排生产, 工厂每周才可获得最大利润? 解:设工厂一周内安排生产甲产品 x 吨、乙产品 y 吨,所获周利润为 z 元.依据题意,

? ?4x≤160, 得目标函数为 z=300x+200y,约束条件为?2x+5y≤200, y≥0, ? ?x≥0.
x+y≤50, 欲求目标函数 z=300x+200y=100(3x+2y)的最大值,先画出约束条件表示的可行域, 50 100? 如图中阴影部分所示,则点 A(40,0),B(40,10),C? ? 3 , 3 ?,D(0,40).

作直线 3x+2y=0,当移动该直线过点 B(40,10)时,3x+2y 取得最大值,则 z=300x +200y 取得最大值(也可通过代入凸多边形端点进行计算, 比较大小求得). 故 zmax=300×40 +200×10=14 000. 所以工厂每周生产甲产品 40 吨,乙产品 10 吨时,才可获得最大周利润,为 14 000 元.


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