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直线的参数方程的几何意义


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课 题 教学目标 要 求 教学重难点 分 析 教
知识要点概述

直线的参数方程的几何意义 与直线的参数方程有关的典型例题 与直线的参数方程有关的典型例题 学 过 程

过定点 M 0 ( x0 , y0 ) 、 倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程为 ?

? x ? x 0 ? t cos ? (t 为参数) , ? y ? y 0 ? t sin ?

其中 t 表示直线 l 上以定点 M 0 为起点,任意一点 M(x,y)为终点的有向线段 M 0 M 的数 量, 的几何意义是直线上点到 M 的距离.此时,若 t>0,则 的方向向上 ;若 t<0,则

的方向向下;若 t=0,则点 与点 M 重合. 由此,易得参数 t 具有如下 的性质:若直线 l 上两点 A、B 所对应的参数分别为

t A , t B ,则
性质一:A、B 两点之间的距离为 | AB |?| t A ? t B | ,特别地,A、B 两点到 M 0 的距离 分别为 | t A |, | t B | . 性质二:A、B 两点的中点所对应的参数为

t A ? tB ,若 M 0 是线段 AB 的中点,则 2

t A ? t B ? 0 ,反之亦然。

精编例题讲练 一、求直线上点的坐标

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例 1.一个小虫从 P(1,2)出发,已知它在 x 轴方向的分速度是?3,在 y 轴方向的分 速度是 4,问小虫 3s 后的位置 Q。

?x = x0 +at, 分析:考虑 t 的实际意义,可用直线的参数方程? (t 是参数)。 ?y = y0 +bt ?x = 1 ? 3 t, 解:由题意知则直线 PQ 的方程是? ,其中时间 t 是参数,将 t=3s 代入得 Q ?y = 2 + 4 t

(?8,12) 。

例 2.求点 A(?1,?2)关于直线 l:2x ?3y +1 =0 的对称点 A' 的坐标。

?x = ?1 ? 解:由条件,设直线 AA' 的参数方程为 ? ?y = ?2 +
∵A 到直线 l 的距离 d = 5 , 13 ∴ t = AA' = 10 , 13

2 t, 13 (t 是参数), 3 t 13

代入直线的参数方程得 A' (?

33 4 , )。 13 13

点评:求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线,求出交点,再用中点公式,而此 处则是充分利用了参数 t 的几何意义。

二 求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离 例 1.设直线 经过点 1)求直线 和直线 2)求直线 和圆 (1,5),倾斜角为 , 的距离; 的距离的和与积.

的交点到点 的两个交点到点

解:直线 的参数方程为 1)将直线 的参数方程中的 x,y 代入 和直线 的交点到点

( t 为参数) ,得 t= .所以,直线

的距离为 ,得 =10. 可 知 设此方程的 均 为 负 值 , 所 以

2)将直线 的方程中的 x,y 代入 两 根 为 = , 则 =

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点评: 解决本题的关键一是正确写出直线的参数, 二是注意两个点对应的参数的符号的 异同。 三 求直线与曲线相交的弦长

例 1 过抛物线

的焦点作斜角为

的直线与抛物线交于 A、B 两点,求|AB|.

解 程为

因直线的倾角为

,则斜率为-1,又抛物线的焦点为 F(1,0),则可设 AB 的方

( 为参数)

代入

整理得

由韦达定理得 t1+t2=

,t1t2=-16。



=

=

=

.

例 2 已知直线 L:x+y-1=0 与抛物线 y= A,B 两点的距离之积.

交于 A,B 两点,求线段 AB 的长和点 M(-1,2)到

解 : 因 为 直 线 L 过 定 点 M, 且 L 的 倾 斜 角 为

,所以它的参数方程是

(t 为参数)



(t 为参数)

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把它代入抛物线的方程,得 解得 由参数 t 的几何意义得

点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点 M(-1,2)在直线上,并求出直线的 倾斜角,这样才能用参数 t 的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标, 再用距离公式求交点距离简便一些. 四、求解中点问题

例 1,已知经过点 P(2,0),斜率为 的中点为 M,求点 M 的坐标.

的直线和抛物线

相交于 A,B 两点,设线段 AB

解:设过点 P(2,0)的直线 AB 的倾斜角为

,由已知可得:

cos

,

所以,直线的参数方程为 代入 ,整理得

(t 为参数)

中点 M 的相应的参数是

=

所以点 M 的坐标为 点评:在直线的参数方程中,当 t>0,则 中点的 M 所对应的 t 的值等于 的方向向上;当 t<0,则 的方向向下,所以 A,B

,这与二点之点的中点坐标有点相同.

例 2.已知双曲线 x2 ?

y2 = 1,过点 P(2,1)的直线交双曲线于 P1,P2,求线段 P1P2 2

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的中点 M 的轨迹方程。 分析:中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并注意有 t1 +t2=0。
?x = x0 +t cos θ, 解:设 M(x0,y0)为轨迹上任一点,则直线 P1P2 的方程是? (t 是参数),代 ?y = y0 +t sin θ

入双曲线方程得:(2cos2θ ?sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0, 由题意 t1 +t2=0,即 2x0cosθ ?y0sinθ =0,得tanθ = 2x0 。 y0

又直线 P1P2 的斜率 k = tan θ =

y ?y0 ,点 P(2,1)在直线 P1P2 上, x ?x0



1 ?y0 2x0 = ,即 2x2 ?y2 ?4x +y = 0 为所求的轨迹的方程。 2 ?x0 y0

五,求点的轨迹问题 例 1.已知双曲线 ,过点 P(2,1)的直线交双曲线于 P1,P2,求线段 P1P2 的中点 M 的轨迹方程。 分析:中点问题与弦长有关,考虑用直线的参数方程,并注意有 t1 +t2=0。 解:设 M(x0,y0)为轨迹上任一点,则直线 P1P2 的方程是(t 是参数),代入双曲线方程得: (2cos2θ ?sin2θ) t2 +2(2x0cosθ ?y0sinθ)t + (2x02 ?y02 ?2) = 0, 由题意 t1 +t2=0,即 2x0cosθ ?y0sinθ =0,得。 又直线 P1P2 的斜率 ,点 P(2,1)在直线 P1P2 上, ∴,即 2x ?y ?4x +y = 0 为所求的轨迹的方程。
2 2

六、求定点到动点的距离
?x =1 ?t, 例 1. 直线 l 过点 P(1, 2), 其参数方程为? (t 是参数), 直线 l 与直线 2x +y ?2 =0 ?y =2 +t

交于点 Q,求 PQ。

?x =1 ? 22t', 3 2 解:将直线 l 的方程化为标准形式? ,代入 2x +y ?2 =0 得 t' = , 2 2 y =2 + t ' ? 2
∴ PQ = | t'| = 3 2 。 2

点评:题目给出的直线的参数并不是位移,直接求解容易出错,一般要将方程改成以位 移为参数的标准形式。

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例 2.经过点 P(?1,2),倾斜角为 PA +PB 和 PA · PB 的值。

? 的直线 l 与圆 x2 +y2 = 9 相交于 A,B 两点,求 4

?x = ?1 + 22 t, 解: 直线 l 的方程可写成? , 代入圆的方程整理得: t 2 ?y=2 + 2 t

2

+ 2t?4=0, 设点 A,

B 对应的参数分别是 t1 ,t2,则 t1 +t2 = ? 2,t1 · t2 = ?4, 由 t1 与 t2 的符号相反知 PA +PB = |t1| 2 +|t2| = | t1 ?t2| = (t1 +t2) ?4 t1 · t2 = 3 2,PA · PB =| t1 ·t2 | = 4。 点评: 解决本题的关键一是正确写出直线的参数, 二是注意两个点对应的参数的符号的 异同。

七、求直线与曲线相交弦的长 例 1. 已知抛物线 y2 = 2px, 过焦点 F 作倾斜角为 θ 的直线交抛物线于 A, B 两点, 求证: AB = 2p 。 sin2 θ

分析:弦长 AB = |t1 ?t2|。

?x = p +t cos θ, 2 解:由条件可设 AB 的方程为? (t 是参数),代入抛物线方程, ?y = t sin θ

得 t2 sin2 θ ?2pt cos θ ?p2

?t +t = sin = 0,由韦达定理:? p t =? ?t · sin
1 2 1 2

2pcos θ , 2 θ , 2
2

θ

∴ AB = |t1 ?t2| =

(t1 ?t2)2 ?4 t1·t2 =

4p2cos2θ 4p2 2p + 2 = 。 sin4θ sin θ sin2θ

例 2.已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,过椭圆左焦点 F 且倾斜角为 60° 的直线 交椭圆于 A,B 两点,若 FA =2FB,求则椭圆的离心率。 分析:FA =2FB 转化成直线参数方程中的 t1= ?2t2 或|t1| =2|t2|。 x2 y2 解:设椭圆方程为 2 + 2 = 1,左焦点 F1(c,0) ,直线 AB 的方程为 a b 1 3 代入椭圆整理可得:( b2 + a2)t2 ? b2ct ?b4 = 0,由于 t1= ?2t2,则 4 4

?x = ?c + 2 t, , ? 3 y = t ? 2

1

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? ? ?

b2c = ? t2 ①, 1 2 3 2 b + a 4 4 1 3 ,①2× 2+②得:2c2 = b2 + a2,将 b2 =a2 ?c2 代入, ?b4 4 4 2 t1· t2 = ? = ?2 t2 ② 1 2 3 2 b + a 4 4 t1 +t2 = c2 4 2 = ,故 e = 。 a2 9 3

8 c2 = 3 a2 + a2 ?c2,得 e2 =

在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时, 往往要正确写出直线的参数方程, 利用 t 的几何意义,结合一些定理和公式来解决问题,这是直线参数的主要用途;通过直线参数 方程将直线上动点坐标用同一参变量 t 来表示,可以将二元问题转化为一元问题来求解, 体现了等价转化和数形结合的数学思想。

知识巩固训练 应用一:求距离 例 1、直线 l 过点 P0 (?4,0) ,倾斜角为 (1)求弦长 AB. (2)求 P0 A 和 P0 B 的长。

? ,且与圆 x 2 ? y 2 ? 7 相交于 A、B 两点。 6

应用二:求点的坐标 例 2、直线 l 过点 P0 (2,4) ,倾斜角为 标。

? ,求出直线 l 上与点 P0 (2,4) 相距为 4 的点的坐 6

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应用三:解决有关弦的中点问题 例 3、过点 P0 (1,0) ,倾斜角为 AB 的中点 M 点的坐标。

? 的直线 l 和抛物线 y 2 ? 2 x 相交于 A、B 两点,求线段 4

教师课 后小结 签字 教学主任: 教学组长: 学生/家长:

解:因为直线 l 过点 P0 (?4,0) ,倾斜角为

? ,所以直线 l 的参数方程为 6

? ? ? 3 x ? ?4 ? t cos x ? ?4 ? t ? ? ? ? 6 2 ,即 ? , (t 为参数) ,代入圆方程,得 ? ? y ? 0 ? t sin ? ?y ? 1 t ? ? 6 ? 2 ?
(?4 ? 3 2 1 t ) ? ( t ) 2 ? 7 ,整理得 t 2 ? 4 3t ? 9 ? 0 2 2

(1)设 A、B 所对应的参数分别为 t1 , t 2 ,所以 t1 ? t 2 ? 4 3 , t1t 2 ? 9 , 所以 | AB |?| t1 ? t 2 | ?
2

(t1 ? t 2 ) 2 ? 4t1t 2 ? 2 3.

(2)解方程 t ? 4 3t ? 9 ? 0 得, t1 ? 3 3, t 2 ? 3 , 所以 P0 A ?| t1 |? 3 3 , P0 B ?| t 2 |?

3.

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解:因为直线 l 过点 P0 (2,4) ,倾斜角为

? ,所以直线 l 的参数方程为 6

? ? ? 3 x ? 2 ? t cos x ? 2? t ? ? ? ? 6 2 ,即 ? , (t 为参数) , (1) ? ? y ? 4 ? t sin ? ?y ? 4 ? 1 t ? ? 6 ? 2 ?
设直线 l 上与已知点 P0 (2,4) 相距为 4 的点为 M 点,且 M 点对应的参数为 t,则

| P0 M | ?| t |? 4 ,所以 t ? ?4 ,将 t 的值代入(1)式,
当 t=4 时,M 点的坐标为 (2 ? 2 3,6) ; 当 t=-4 时,M 点的坐标为 (2 ? 2 3,2) , 综上,所求 M 点的坐标为 (2 ? 2 3,6) 或 (2 ? 2 3,2) . 点评:若使用直线的普通方程,利用两点间的距离公式求 M 点的坐标较麻烦,而使用 直线的参数方程,充分利用参数 t 的几何意义求 M 点的坐标较容易。 解:直线 l 过点 P0 (1,0) ,倾斜角为

? ,所以直线 l 的参数方程为 4

? 2 t ?x ? 1 ? ? 2 , (t 为参数) ,因为直线 l 和抛物线相交,将直线的参数方程代入抛物线方程 ? ?y ? 2 t ? 2 ?

y 2 ? 2 x 中,得: (

1 2 2 2 t ) ? 2(1 ? t ) ,整理得 t 2 ? 2t ? 2 ? 0 , 2 2 2

1 ? ? (? 2 ) 2 ? 4 ? ? (?2) ? 6 ? 0 ,设这个二次方程的两个根为 t1 , t 2 , 2
由韦达定理得 t1 ? t 2 ? 2 2 ,由 M 为线段 AB 的中点,根据 t 的几何意义,得

tM ?

t1 ? t 2 ? 2, 易知中点 M 所对应的参数为 t M ? 2 , 将此值代入直线的参数方程得, 2

M 点的坐标为(2,1) 点评:对于上述直线 l 的参数方程,A、B 两点对应的参数为 t1 , t 2 ,则它们的中点所对 应的参数为

t1 ? t 2 . 2


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