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正弦定理和余弦定理教学课件PPT


正弦定理、余弦定理 正弦定理、余弦定理 回忆一下直角三角形的边角关系? a 2 2 2 ? tan A A ? B ? 90? a ?b ? c b a ? c sin A b ? c sin B 两等式间有联系吗? B A c a b C a b ? ?c sin A sin B sin C ? 1 a b c ? ? sin A sin B sin C 即正弦定理,定理对任意三角形均成立. 利用向量如何在三角形的边长与三角函数建立联系? 正弦定理、余弦定理 ? 为向量a 与b 的夹角. 向量的数量积 a ? b ?| a || b | cos? , B 如何构造向量及等式? 在锐角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC, 则有j 与 AB 的夹角为 90? ? A , j 与 CB j 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB j ? ( AC ? CB ) ? j ? AB 怎样建立三角形中边和角间的关系? a c ?  a sin C ? c sin A 即 sin A ? sin C b c 同理,过C作单位向量j 垂直于CB ,可得 sin B ? sin C A C ?    j AC cos 90? ? j CB cos(90? ? C ) ? j AB cos(90? ? A) 正弦定理、余弦定理 a b c ?    ? ? sin A sin B sin C 在钝角三角形中,怎样将三角形的边用向量表示?怎样引 入单位向量?怎样取数量积? 在钝角 ?ABC 中,过A作单位向量j 垂直于 AC, 则有j 与 AB 的夹角为 A ? 90? , j 与CB B 的夹角为 90? ? C . 等式 AC ? CB ? AB . a b c   ? ? 同样可证得: sin A sin B sin C j A C 正弦定理、余弦定理 正弦定理 相等,即 a b c   ? ? sin A sin B sin C 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比 正弦定理可以解什么类型的三角形问题? 已知两角和任意一边,可以求出其他两边和一角;已知两 边和其中一边的对角,可以求出三角形的其他的边和角。 正弦定理、余弦定理 例题讲解 例1 在 ?ABC 中,已知 c ? 10, A ? 45?, C ? 30? ,求b(保 留两个有效数字). b c ? 解:∵ 且 sin B sin C B ? 180? ? ( A ? C ) ? 105? c ? sin B 10 ? sin 105? ?  b ? ? ? 19 sin C sin 30? 正弦定理、余弦定理 例题讲解 ? 例2 在 ?ABC 中,已知 a ? 4, b ? 4 2 , B ? 45 ,求 a b a sin B 1 ? sin A ? ? 解:由 得 sin A sin B b 2 A 。 ∵ 在 ?ABC 中 a ? b ∴ A 为锐角 ?  A ? 30? 正弦定理、余弦定理 例题讲解 ?B ? 45?, ?C ? 60?, a ? 2( 3 ? 1) ,求 例3 在 ?ABC 中, ?ABC 的面积S. 解: ? ?A ? 180? ? ( B ? C ) ? 75? A 2 2( 3 ? 1)( h ) a sin B 2 ?4 ? ∴由正弦定理得 b ? sin A 三角形面积公式 B 6? 2 C 4 1 1 1 1 ? ab sin C ? ac sin B

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