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宁夏银川一中2013届高三下学期第二次模拟考试数学(文)


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宁夏银川一中 2013 届高三下学期第二次模拟考试 数学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22-24 题为选考题,其它题为 必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并 交回. 注意事项: 1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上,认真核对条形码上的姓名、准考证号, 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上. 2.选择题答案使用 2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用 0.5 毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效. 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损. 5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。

1 x 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={y|y= 2 ,x ? A},则 A ? B=(
A. {1,2,3,4} B. {1,2} C. {1,3} D. {2,4}

)

2.设 m、n 是两条不同的直线, ? 、β 是两个不同的平面,则下列命题中正确的是( A.若 m∥n,m∥ ? ,则 n∥ ? n=10 B.若 ? ⊥β ,m∥ ? ,则 m⊥β s=0 C.若 ? ⊥β ,m⊥β ,则 m∥ ? DO D.若 m⊥n,m⊥ ? ,n⊥β ,则 ? ⊥β 3.右边程序运行结果为( A.7 B.6 C.5 ) D.4 s=s+n n=n-1 LOOP UNTIL s﹥=40 PRINT n END

)

1 1 ? x(1 ? x ) 的最大值是( 4.函数 f(x)=
4 A. 5 5 B. 4 3 4 C. 4 D. 3

)

5.已知直线 ax ? by ? c ? 0 不经过第二象限,且 ab ? 0 ,则( A. c ? 0 B. c ? 0 C. ac ? 0 D. ac ? 0

)

f ( x ) ? ln x ?
6.函数 A.0 B.1

1 x ? 1 的零点的个数是(
C.2 D.3

)

7. 甲乙两位同学在高三的 5 次月考中数学成绩统计如茎叶图所示, 若甲乙两人的平均成绩分别是

x甲,x乙 ,

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则下列正确的是( A. B. C. D.

)

x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 x甲 ? x乙 ;乙比甲成绩稳定 x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定

x甲 ? x乙 ;甲比乙成绩稳定

x2 y2 5 ? 2 ?1 2 b 2 ,一个等比中项是 6 ,且 a ? b , 则椭圆 a 8.两个正数 a 、b 的等差中项是 的离心率 e
等于( )

3 13 5 A. 2 B. 3 C. 3

D. 13

9.下列命题正确的是(

)

y ? sin(2 x ?
A.函数 B.函数

?

3 在区间

)

(?

? ?

, ) 3 6 内单调递增

y ? cos4 x ? sin4 x 的最小正周期为 2?
y ? cos(x ?

? ?

C.函数

3 的图像是关于点 6 )

)

(

?

,0)

成中心对称的图形

y ? tan(x ?
D.函数

3 的图像是关于直线

x?

?
6 成轴对称的图形
y 1B C( ,) A 1 x
2 4 3 5

10.如图,目标函数 z=ax-y 的可行域为四边形 OACB
2 4 ( , ) (含边界) ,若 3 5 是该目标函数 z=ax-y 的最优解,

O

则 a 的取值范围是(
(?

)
(?

A.

10 5 ,? ) 3 12
2

B.

12 3 ,? ) 5 10

3 12 12 3 , ) (? , ) C. 10 5 D. 5 10 (

x 11.已知双曲线
为( )

y ?

2

2

?1

???? ????? ? MF1 ? MF 2 ? 0, 则点 M 到 x 轴的距离 的焦点为 F1、F2,点 M 在双曲线上且

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4 A. 3

5 B. 3

2 3 C. 3 D. 3
y? 2 3 mx ? nx ? 1 3 在 [1, ??) 上为增函数的

12.将一骰子抛掷两次,所得向上点数分别为 m 和 n ,则函数 概率是( )

1 A. 2

5 B. 6

3 C. 4

2 D. 3

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。将答案填在答题卷相应位置上) 13 . 抛 物 线 的 顶 点 在 原 点 , 对 称 轴 是 坐 标 轴 , 且 焦 点 在 直 线 x ? y ? 2 ? 0 上 , 则 此 抛 物 线 方 程 为 __________________.

1 x?2 14.已知函数 y=f(x)的图象在点 M(1,f(1))处的切线方程为 y= 2 则
f(1)+f′(1)= 。 15.如图 ABC-A1B1C1 是直三棱柱,∠BCA=90°,点 E、F 分别是 A1B1、A1C1 B 的中点,若 BC=CA=AA1,则 BE 与 AF 所成角的余弦值为_________。 1 C 1 16.给出以下四个结论: B C A

E F A 1

f ( x) ?
(1)函数

x ?1 1 1 (? , ? ) 2 x ? 1 的对称中心是 2 2 ; x?

(2)若关于 x 的方程

1 ?k ?0 x 在 x ? (0,1) 没有实数根,则 k 的取值范围是 k ? 2 ;

(3)已知点 P (a, b) 与点 Q(1, 0) 在直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 两侧, 则 3b-2a>1;

f ( x) ? sin(2 x ?
(4)若将函数

?

? 3 的图像向右平移 ? (? ? 0) 个单位后变为偶函数,则 ? 的最小值是 12
)

其中正确的结论是: 三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 在数列

?an ? 中, a1 ? 2 , an?1 ? 4an ? 3n ? 1, n ? N* .
?an ? n? 是等比数列;

(1)证明数列

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(2)设数列

?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 S n?1 ? 4S n 的最大值。

18.(本小题满分 12 分) 如图,在五面体 ABCDEF 中,点 O 是矩形 ABCD 的对角线的交点,面 CDE 是等边三角形,棱

1 EF∥ BC . 2
(1)证明 FO∥平面 CDE; (2)设 BC ? 3CD, 证明 EO ? 平面 CDF .
B

F

E

A O C D

19. (本小题满分 12 分) 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球,每个 小球被取出的可能性相等。 (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率. 20.(本小题满分 12 分)

x2 ? y2 ? 1 设 F1 、 F2 分别是椭圆 4 的左、右焦点. ???? ???? ? P 是该椭圆上的一个动点,求 PF1 ? PF2 的取值范围; (1)若
(2)设过定点 M (0,2) 的直线 l 与椭圆交于不同的两点 M、N,且∠ MON 为锐角(其中 O 为坐标原点) , 求直线 l 的斜率 k 的取值范围.

0) 1) (3)设 A(2,,B(0, 是它的两个顶点, 直线 y ? kx(k ? 0) 与 AB 相交于点 D, 与椭圆相交于 E、 两点. F 求
四边形 AEBF 面积的最大值. 21. (本小题满分 12 分) 设 x1 、 x2 ( x1 ? x2 ) 是函数 f ( x) ? ax ? bx ? a x (a ? 0) 的两个极值点。
3 2 2

(1)若 x1 ? ?1, x2 ? 2 ,求函数 f (x) 的解析式; (2)若 | x1 | ? | x2 |? 2 2 ,求 b 的最大值。 四、选考题: (本小题满分 10 分) 请考生在第 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所 做的第一题记分.做答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的 题号涂黑. 22.选修 4-1:几何证明选讲 如图,BA 是⊙O 的直径,AD 是切线,BF、BD 是割线, 求证:BE?BF=BC?BD D C E B O A F

y A O x

B

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23.选修 4-4:坐标系与参数方程 在抛物线 y2=4a(x+a)(a>0),设有过原点作一直线分别 交抛物线于 A、B 两点,如图所示,试求|OA|?|OB|的最小值。 24.选修 4—5;不等式选讲 5 设|a|<1,函数 f(x)=ax2+x-a(-1≤x≤1),证明:|f(x)|≤ 4

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宁夏银川一中 2010 届高三下学期第二次模拟考试 数学(文)参考答案
题号 答案 1 B 2 D 3 C 4 D 5 D 6 C 7 B 8 C 9 C 10 B 11 D 12 B

13. y ? ?8x 或 x ? 8 y
2 2

14. 3

30 15. 10

16. (3)(4)

17.证明: (Ⅰ)由题设 又

an?1 ? 4an ? 3n ? 1,得 an?1 ? (n ? 1) ? 4(an ? n) , n ? N* .

a1 ? 1 ? 1,所以数列 ?an ? n? 是首项为1 ,且公比为 4 的等比数列.

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知

an ? n ? 4n?1 ,于是数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 4n?1 ? n .所以数列 ?an ? 的前 n 项和

Sn ?

4n ? 1 n(n ? 1) ? 3 2 .

? 4n ? 1 n(n ? 1) ? 4n ?1 ? 1 (n ? 1)(n ? 2) Sn ?1 ? 4Sn ? ? ? 4? ? ? 3 2 2 ? ? 3
1 ? (3n 2 ? n ? 4) 2 =

故 n=1,最大 0. 满分

18.本小题考查直线与平面平行、直线与平面垂直等基础知识,考查空间想象能力和推理论证能力 12 分 (I)证明:取 CD 中点 M,连结 OM E F 在矩形 ABCD 中,

1 1 OM ∥ BC , EF∥ BC , 2 2 又


A B O C D M

EF∥ . OM

连结 EM,于是

四边形 EFOM 为平行四边形

? FO∥EM.
又? FO ? 平面 CDE,且 EM ? 平面 CDE,? FO∥ 平面 CDE (II)证明:连结 FM 由(I)和已知条件,在等边 ?CDE 中, CM ? DM ,

EM ? CD 且

EM ?

3 1 CD ? BC ? EF . 2 2

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因此平行四边形 EFOM 为菱形,从而 EO ? FM

?CD ? OM , CD ? EM ,?CD ? 平面 EOM,从而 CD ? EO.
而 FM ? CD ? M , 所以 EO ? 平面 CDF .

19.解析:利用树状图可以列出从甲、乙两个盒子中各取出 1 个球的所有可能结果:

1

可以看出,试验的所有可能结果数为 16 种. (1)所取两个小球上的标号为相邻整数的结果有 1-2,2-1,2-3,3-2,3-4,4-3,共 6 种.

P?
故所求概率

6 3 ? 16 8
故所求概率

(2)所取两个球上的数字和能被 3 整除的结果有 1-2,2-1,2-4,3-3,4-2,共 5 种.

P?


5 16 .

20.(1)解法一:易知 a ? 2, b ? 1, c ? 3 所以

F1 ? 3, 0 , F2

?

? ?

3, 0

? ,设 P ? x, y ? ,则
2 3 ? x, ? y ? x ? y ? 3 ? x ? 1 ?
2 2

???? ???? ? PF1 ? PF2 ? ? 3 ? x, ? y ,

?

??

?

x2 1 ? 3 ? ? 3x 2 ? 8 ? 4 4

???? ???? ? ? PF1 ? PF2 ? 1 故-2
(2)显然直线 x ? 0 不满足题设条件,可设直线 l : y ? kx ? 2, M ( x1 , y1 ), B( x 2 , y 2 ) ,

? y ? kx ? 2 ? 2 ?x ? 2 1? 2 2 ? k ? ? x ? 4kx ? 3 ? 0 ? ? y ?1 4? 联立 ? 4 ,消去 y ,整理得: ?

x1 ? x2 ? ?


4k 1 k2 ? 4

, x1 ? x2 ?

3 k2 ? 1 4

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1? 2 ? 3 3 ? ? ? 4k ? ? 4 ? k ? ? ? 3 ? 4k 2 ? 3 ? 0 k ?? k? 4? ? 2 2 或 由 得:
又 0°<∠MON<90° ? cos∠MON>0 ? OM ? ON >0 ∴ OM ? ON ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0

?


3k 2 k2 ? 1 4

?

y1 y2 ? ? kx1 ? 2?? kx2 ? 2? ? k 2 x1x2 ? 2k ? x1 ? x2 ? ? 4
3

?k 2 ? 1 ?8k 2 ?4 ? 1 1 k2 ? k2 ? 4 4

?k 2 ? 1 ? ?0 1 1 k2 ? k2 ? 2 4 4 ∵ ,即 k ? 4
?2 ? k ? ?
故由①、②得

∴ ?2 ? k ? 2

3 3 ?k?2 2 或 2

( 3 ) 解 法 一 : 根 据 点 到 直 线 的 距 离 公 式 和 ① 式 知 , 点 E,F 到 AB 的 距 离 分 别 为

h1 ?

x1 ? 2kx1 ? 2 5 x2 ? 2kx2 ? 2 5

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )


h2 ?

?

2(1 ? 2k ? 1 ? 4k 2 ) 5(1 ? 4k 2 )
.又

AB ? 22 ? 1 ?

5

, 所 以 四 边 形 AEBF 的 面 积 为

1 4 (1 k ) 2 (1 2 ) ? 2 ? k 1 ? 4k 2 ? 4 k 1 ? ? 5? ? ?2 S ? AB (h1 ? h2 ) 2 2 2 2 5 (1 4 ) 1 ? 4k ? k 1 ? 4k ≤2 2 , 2
当 2k ? 1 ,即当

k?

1 2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .


解法二:由题设, 设

BO ? 1

AO ? 2



y1 ? kx1 , y2 ? kx2 ,由①得 x2 ? 0 , y2 ? ? y1 ? 0 ,
2 S ? S△BEF ? S△AEF ? x2 ? 2 y2 ? ( x2 ? 2 y2 )

故四边形 AEBF 的面积为

2 2 2 2 ? x2 ? 4 y2 ? 4 x2 y2 ≤ 2( x2 ? 4 y2 ) ? 2 2 ,



x2 ? 2 y2 时,上式取等号.所以 S 的最大值为 2 2 .
2 2

21.解: (1) f ' ( x) ? 3ax ? 2bx ? a (a ? 0) ∵ x1 ? ?1, x2 ? 2 是函数 f (x) 的两个极值点,

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2 2 ∴ f ' (?1) ? 0 , f ' (2) ? 0 。∴ 3a ? 2b ? a ? 0 , 12a ? 4b ? a ? 0 ,解得 a ? 6, b ? ?9 。

∴ f ( x) ? 6 x ? 9 x ? 36x 。
3 2

(2)∵ x1 , x2 是函数 f (x) 的两个极值点,∴ f ' ( x1 ) ? f ' ( x2 ) ? 0 。 ∴ x1 , x2 是方程 3ax ? 2bx ? a ? 0 的两根。
2 2

∵ ? ? 4b ? 12a ,∴ ? ? 0 对一切 a ? 0, b ? R 恒成立。
2 3

x1 ? x2 ? ?

2b a x1 ? x2 ? ? 3a , 3,

∵ a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? 0 。



| x1 | ? | x2 |?| x1 ? x2 |? (?

2b 2 a 4b 2 4 ) ? 4(? ) ? ? a 3a 3 9a 2 3 。

4b 2 4 ? a ?2 2 2 2 2 3 由 | x1 | ? | x2 |? 2 2 得 9a ,∴ b ? 3a (6 ? a) 。
2 ∵ b ? 0 ,∴ 3a (6 ? a) ? 0 ,∴ 0 ? a ? 6 。令 h(a) ? 3a (6 ? a) ,则 h' (a) ? ?9a ? 36a 。

2

2

2

当 0 ? a ? 4 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(0,4)内是增函数; 当 4 ? a ? 6 时, h' (a) ? 0 ,∴ h(a) 在(4,6)内是减函数。 ∴当 a ? 4 时, h(a) 有极大值为 96,∴ h(a) 在 (0,6] 上的最大值是 96,

b 的最大值是 4 6 。
22.证法一:连接 CE,过 B 作⊙O 的切线 BG,则 BG∥AD ∴∠GBC=∠FDB,又∠GBC=∠CEB ∴∠CEB=∠FDB 又∠CBE 是△BCE 和△BDF 的公共角 证法二:连续 AC、AE,∵AB 是直径,AC 是切线 ∴AB⊥AD,AC⊥BD,AE⊥BF 由射线定理有 AB2=BC?BD,AB2=BE?BF ∴BE?BF=BC?BD
4a 2
2 23.解:法一,(极坐标) ? sin2 ? -4a ? sin ? -4a2=0 ∴|OA||OB|= sin ? ≤4a2

BC BE ? BF BD ,即 BE?BF=BC?BD ∴△BCE∽△BDF ∴

2

? x ? t cos? l AB ? ? ? y ? t sin? 法二:(参数方程)
4a 2

代入 y2=4a(x+a)中得:t2sin2 ? -4atcos ? -4a2=0

2 |OA||OB|=|t1t2|= sin ? ≤4a2

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1 5 5 2 )2+ 4 ≤ 4 24.证:|f(x)|=|a(x2-1)+x|≤|a(x2-1)|+|x|≤|x2-1|+|x|=1-x2+|x|=-(|x|5 ∴|f(x)|≤ 4


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