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高一数学中考试卷

高一期中考试

数学( 1)试卷 数学(必修 1)试卷
时量:120 分钟 满分:120 分 选择题: 将答案写在答卷的表格里。 一、选择题:本大题每小题 4 分,共 40 分,将答案写在答卷的表格里。 1.在 1. b = log ( a ? 2) (5 ? a ) 中,实数 a 的取值范围是( B ) B. 2 < a < 3或3 < a < 5 C. 2 < a < 5 D. 3 < a < 4 A. a > 5或a < 2 2.有下列命题:①偶函数的图象一定与 y 轴相交;②奇函数的图象一定过原点; 2. ③ f ( x) = ( x ? 1)

1+ x 是偶函数;④ f ( x) = 1 ? x 2 + x 2 ? 1 既是奇函数又是偶 1? x 函数。其中正确命题的个数是( A ) A.1 B.2 C.3 D.4
7 5 3

3.已知 f (x) = ax ?bx + cx + 2 且 f (?5) = 17, 则 f (5) 的值为( 3. A.19 B.13 C.-13 4.下列等式中,根式与分数指数幂的互化正确的是( C ) 4. A. ? x = (? x) ( x > 0) C. x
? 3 4 3

C ) D.-19

1 2

B. y = y ( y < 0)
6 2
1

1 3

? ?1? = 4 ? ? ( x > 0) D. x 3 = ? 3 x ( x ≠ 0) ?x? 5.设 5. lg 2 = a , lg 3 = b ,则 log 5 12 等于( C ) 2a + b a + 2b 2a + b a + 2b A. B. C. D. 1+ a 1+ a 1? a 1? a 6.某学生离家去学校,由于怕迟到,所以一开始就跑步,等跑累了再走余下的 6. 路程。在下图中纵轴表示离学校的距离,横轴表示出发后的时间,则下图中 的四个图形中较符合该学生走法的是( B )

d d0

d d0

d d0

d d0

O A.

t0 t B.

O

t0 t

O C.

t0 t

O D.

t0 t

7.国庆节期间,某商场为吸引顾客,开展“买 100 送 20,连环送”的活动,即 7. 顾客购物每满 100 元,就可以获赠商场购物券 20 元,并且购物可以用现金, 也可以用购物券。如果你有 680 元现金,在活动期间到该商场购物,最多可 以获赠购物券累计( D ) A.120 元 B.136 元 C.140 元 D.160 元 答案:D 答案 解:先用 600 元购物,可得 600 × 20% = 120 元购物券,再将剩下的 80 元加上这 120 元购物券共 200 元去购物,又可获 200 × 20% = 40 元购物券,所以,共获购物 券 120+40=160 元。故选 D。 点评:本题考查学生分析问题和解决问题的能力。 点评

第 1 页

? 1? ?1? 8.设 8. f ( x ) = x3 + bx + c 是 [ ?1,1] 上的增函数,且 f ? ? ? ? f ? ? < 0 ,则方程在 ? 2? ?2? [ ?1,1] 内( C )

A.可能有 3 个实根 C.有唯一的实数根 答案:C 答案

B.可能有两个实根 D.没有实数根

? 1 1? 解:由于 f (x) 是 [ ?1,1] 上的增函数,,所以 f (x) 在 ? ? , ? 上也是增函数,而 ? 2 2? ? 1? ?1? ? 1 1? f ? ? ? ? f ? ? < 0 ,所以 f ( x ) = 0 在 ? ? , ? 内有唯一的实数根,可见 f ( x ) = 0 在 ? 2? ?2? ? 2 2? [ ?1,1] 内也有唯一的实数根。故选 C。

点评:本题考查方程的根与零点。 点评 9.式子 9 9.
log3 5

+ 3log9 5

(

)

2

的值为(

A

)

A.30 B.25 C.10 D. 2 5 答案:A 答案 解:原式 = 3log3 25 + 9log9 5 = 25 + 5 = 30 。 点评:本题考查对数恒等式 a log a N = N 。如果不知道这个公式,也可用对数的定 点评 log 3 x log 5 = log 3 5 , 义及换底公式解答:设 9 3 = x ,则 log 9 x = log 3 5 ,得到 log 3 9 10.阅读下列一段材料,然后解答问题:对于任意实数 x ,符号 [ x ] 表示“不超过 10.
∴ log 3 x = 2 log 3 5 = log 3 25 ,得 x =25。同理可求得 9log9 5 = 5 。故选 A。

x 的最大整数”,在数轴上,当 x 是整数, [ x ] 就是 x ,当 x 不是整数时, [ x ] 是

点 x 左侧的第一个整数点,这个函数叫做“取整函数”,也叫高斯(Gauss)函数。 如 [ ?2] = ?2 、 [ ?1.5] = ?2 、 [ 2.5] = 2 。则 1? ? 1? ? 1? ? ?log 2 4 ? + ?log 2 3 ? + ?log 2 2 ? + [log 2 1] + [log 2 2] + [log 2 3] + [log 2 4] + [log 2 8] 的值是 ? ? ? ? ? ? ( C ) A.0 B.-2 C.-1 D.2 答案:C 答案 填空题: 把答案填在答卷的横线上。 二、填空题:每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷的横线上。 ? x + 1 ( x > 0) ? 11.若 ( x = 0) ,则 f { f [ f (?1)] } = π +1 。 11. f ( x) = ?e ?0 ( x < 0) ? 答案: 答案 π + 1 解: f { f [ f (?1) ]} = f { f [ 0]} = f {e} = e + 1 。 12.用二分法求方程 x3 ? 2 x ? 5 = 0 在区间 [ 2,3] 内的实根,取区间中点 x0 = 2.5 , 12. 那么下一个有根区间是 答案: 答案 [ 2, 2.5] 第 2 页

[ 2, 2.5]



下一个有根区间是 [ 2, 2.5] 。

解:Q f ( 2 ) = ?1 < 0 , f ( 3) = 16 > 0 , f ( 2.5 ) = 5.625 。∴ f ( 2 ) ? f ( 2.5) < 0 。故

点评:本题考查“二分法”求方程的近似解。 点评 ?1 2? 13.幂函数 f (x) 的图象过点 ? , 13. ? 2 2 ? ,则 f ( 9 ) = 3 。 ? ? ? 答案: 答案 3 α ?1 2? 1 2 ?1? α = ? ? ,解得 α = 。 解:将点 ? , ? 的坐标代入幂函数 f ( x ) = x 得, ?2 2 ? 2 2 ?2? ? ?
∴ f ( x ) = x 。于是 f ( 9 ) = 9 = 3 。
1 2 1 2

点评:本题考查幂函数的概念及指数的运算。 点评 k ? 1? 14.已知 f ( x ) = + 2 ( k ∈ R ) ,若 f ( lg 2 ) = 0 ,则 f ? lg ? = 4 。 14. x ? 2? 答案:4 答案 k ?2 lg 2 + 2 = 0 ,得到 k = ?2 lg 2 ,∴ f ( x ) = +2。 解:Q f ( lg 2 ) = 0 ,∴ lg 2 x ?2 lg 2 ? 1 ? ?2 lg 2 于是 f ? lg ? = +2= +2=4。 1 ? lg 2 ? 2? lg 2 k 点评:本题也可利用函数的奇偶性解答:令 g ( x ) = f ( x ) ? 2 = ,则 g ( x ) 是奇函 点评 x 数,Q f ( lg 2 ) = 0 ,∴ g ( lg 2 ) = f ( lg 2 ) ? 2 = ?2 ,∴ g ( ? lg 2 ) = f ( ? lg 2 ) ? 2 = 2
? 1? 从而 f ( ? lg 2 ) = 4 ,就是 f ? lg ? = 4 。 ? 2? 15.下列四个命题中正确的是 ②③ (填写所有正确答案的序号)。 15.

①函数 y = x

?

3 2

的定义域是 {x x ≠ 0} ;② lg x ? 2 = lg( x ? 2) 的解集为 {3} ;

③ 31? x ? 2 = 0 的解集为 {x x = 1 ? log 3 2} ;④ lg( x ? 1) < 1 的解集是 {x x < 11} 。 解答题: 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 三、解答题:本大题共 60 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(本小题满分 10 分) 16. 已知集合 A = {x x 2 ? 5 x ? 6 = 0} ,集合 B = {x mx + 1 = 0} ,若 A U B=A ,求实数 m 组成的集合。 解:Q A U B = A,∴ B ? A ,又 A = {?1, 6} ,∴ B = ?,{?1},{6} 。 当 B = Φ 时, m = 0 ; 1 当 B = {?1} 时, ? = ?1 ,∴ m = 1 ; m 1 1 当 B = {6} 时, ? = 6 ,∴ m = ? 。 m 6 1 综上可知, m 的取值集合是 {0,1,? } 。 6 17.(本小题满分 10 分) 17. 第 3 页

①计算 0.00814 + (4 4 ) 2 + ( 8) 解:原式 = (0.3)
4× 1 4 ? 3 2 2

1

?

3

?

4 3

? 16 ?0.75 的值。
4 3 ? 3 2

+ (2 ) + (2 )
1+ 1 log 2 5 2

? 2 4× ( ?0.75)
loga N

= 0.3 + 2 ?3 + 2 ?2 ? 2 ?3 = 0.3 + 0.25 = 0.55
②计算 lg 2 5 + lg 2 lg 50 + 2 的值。(提示: lg 2 5 = (lg5)2 , a
1 log 2 5 2

=N)

解:原式 = lg 2 5 + 2 lg 2 lg 5 + lg 2 2 + 21 ? 2

= (lg 5 + lg 2) 2 + 21 ? 2 log 2 5 = 1 + 2 5 18.(本小题满分 10 分) 18. 光线通过一块玻璃,其强度要损失 10% ,把几块这样的玻璃重叠起来,设光 线原来的强度为 a ,通过 x 块玻璃后强度为 y 。( lg 3 = 0.4771)
①写出 y 关于 x 的函数关系式; ②至少通过约多少块玻璃后,光线强度才会减弱到原来的三分之一? 解:① y = a (1 ? 10%) x ( x ∈ N ? ) 。 1 1 1 ② Q y = a,∴ a (1 ? 10%) x = a,∴ 0.9 x = , 3 3 3 1 ? lg 3 ≈ 10.4,∴ x = 11. ∴ x = log 0.9 = 3 2 lg 3 ? 1 ∴通过约 11 块玻璃后,光线强度减弱到原来的三分之一 19.(本小题满分 10 分) 19. 设函数 f ( x) 对任意 x, y ∈ R ,都有 f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ,且 x > 0 时, f ( x) < 0 ,

f (1) = ?2 。
⑴试判断 f ( x) 的奇偶性; ⑵试问在 ?4 ≤ x ≤ 4 时, f ( x) 是否有最值?若有,则求出最值;若没有,则说 出理由。 解:⑴ 令 x = y = 0 ,则有 f (0) = 2 f (0) ? f (0) = 0 。 令 y = ? x ,则有 f (0) = f ( x) + f (? x) .即 f (? x) = ? f ( x) ,∴ f ( x) 是奇函数。 ⑵ 任取 x1 < x 2 ,则 x2 ? x1 > 0 。于是由题意得, f ( x2 ? x1 ) < 0 。 从而 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) = f ( x1 ) + f (? x 2 ) = f ( x1 ? x 2 ) = ? f ( x 2 ? x1 ) > 0 。
∴ f ( x1 ) > f ( x2 ) 。可见, y = f ( x) 在 R 上为减函数。

因此 f (4) 为函数的最小值, f (?4) 为函数的最大值。
Q f (4) = f (1) + f (3) = L = 4 f (1) = ?8 , f (?4) = ? f (4) = 8 。


函数最大值为 8,最小值为-8。

点评: 点评 20.(本小题满分 10 分) 20. 第 4 页

已知 f (x) 是奇函数,用 x < 0 时, f ( x ) = x 2 + x + 1 。 ①求 f ( 0 ) 的值及 x > 0 时 f (x) 的解析式; ②画出函数 f (x) 的简略图(不要求写作法); ③由图象指出函数 f (x) 的值域。

f ( 0 ) = 0 。 Q x < 0 时, f ( x ) = x 2 + x + 1 = x 2 ? x + 1 ,而 x > 0 时, ? x < 0 。∴ 由 f ( ? x ) = ? f ( x ) 得, x > 0 时, f ( x ) = ? f ( ? x ) = ? ?( ? x ) ? ( ? x ) + 1? = ? x 2 ? x ? 1 。 ? ? ②函数 f (x) 的简略图如右 y ③由图可知,函数 f (x) 的值域是
2

解:① Q f (x) 是奇函数,∴ f ( ? x ) = ? f ( x ) ,取 x = 0 得, f ( 0 ) = ? f ( 0 ) 。故

{ y y < ?1或y = 0或y > 1} 。

也可将值域写成 y ∈ ( ?∞, 0 ) U {0} U ( 0, +∞ )

O

x

21.(本小题满分 10 分) 21. x +1 设函数 f ( x) = log 2 + log 2 ( x ? 1) + log 2 ( p ? x) ( p > 1) 。 x ?1 (1)求 f ( x) 的定义域; (2) f ( x) 是否存在最大值或最小值?如果存在,请把它求出来;若不存在,请说 明理由。

?x +1 ? x ?1 > 0 ? ? x >1 ,因为 p > 1 ,所以 f (x) 的定义域为 (1, p ) 。 解:(1) 由 ? x ? 1 > 0 得 ? ? p ? x > 0 ?x < p ? ?
2 ? ? p ? 1 ? ( p + 1)2 ? (2) Q f ( x) = log 2 [( x + 1)( p ? x)] = log 2 ? ? ? x ? ?, ? + 2 ? 4 ? ? ? ? ?

∴ 当
当1 <

p ?1 ≤ 1 ,即 1 < p ≤ 3 时, f ( x) 既无最大值又无最小值; 2 p ?1 p ?1 ( p + 1) 2 < p ,即 p > 3 时,当 x = 时, f ( x) 有最大值 log 2 ,但没 2 2 4

有最小值。 综上可知: 1 < p ≤ 3 时, f ( x) 既无最大值又无最小值;

p > 3 时, f ( x) 有最大值 log 2

( p + 1) 2 ,但没有最小值。 4

第 5 页


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