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文科数学专题三角恒等变换与解三角形(学案)高考二轮复习资料含答案


和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.既有选择题、填空 题,又有解答题,难度适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力. 1.和差角公式 (1)cos(α ±β )=cosα cosβ ?sinα sinβ ; (2)sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ ; tanα ±tanβ (3)tan(α ±β )= . 1?tanα tanβ 2.倍角公式 (1)sin2α =2sinα cosα ; (2)cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tanα (3) tan2α = . 2 1-tan α 3.半角公式 α (1)sin =± 2 α (2)cos =± 2 α (3)tan =± 2 1-cosα ; 2 1+cosα ; 2 1-cosα ; 1+cosα 2 2 2 2 α sinα 1-cosα (4)tan = = . 2 1+cosα sinα 4.正弦定理 = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sinA sinB sinC 5.余弦定理 a b c a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 6.面积公式 S△ABC= bcsinA= acsinB= absinC. 1 2 1 2 1 2 7.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解; (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一,需讨论; (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解; (4)已知三边,利用余弦定理求解. 8.“变”是解决三角问题的主题,变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是,强化变换意识, 抓住万变不离其宗——即公式不变,方法不变,要通过分析、归类把握其规律. 考点一 三角恒等变换及求值 例 1、 【2017 山东,文 7】函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 最小正周期为 A. π 2 B. 2π 3 C. π D. 2π 【答案】C 【解析】因为 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2π π? ? ,所以其周期 T ? 2 ? π ,故选 C 3? π? 3 π? ? ? 【变式探究】 (1)(2016?高考全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角, 且 sin?θ + ?= , 则 tan?θ - ?= 4 4? ? ? 5 ? ________. 4 【答案】- 3 π ∴θ =α - , 4 π? π? ? ? ?π ? ∴tan?θ - ?=tan?α - ?=-tan? -α ?. 4? 2? ? ? ?2 ? 3 如图,在 Rt△ACB 中,不妨设∠A=α ,由 sin α = 可得, 5 BC=3,AB=5,AC=4, π 4 ∴∠B= -α ,∴tan B= , 2 3 π? 4 ? ∴tan?θ - ?=-tan B=- . 4? 3 ? 3 2 (2)(2016?高考全国卷Ⅲ)若 tan α = ,则 cos α +2sin 2α =( 4 A. 64 25 B. D. 48 25 16 25 ) C.1 【答案】A 1+sin β ? π? ? π? (3)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? cos β ? ? π A.3α -β = 2 π C.2α -β

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