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文科数学专题三角恒等变换与解三角形(学案)高考二轮复习资料含答案

和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数式的求值、化简交汇命题.既有选择题、填空 题,又有解答题,难度适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换能力. 1.和差角公式 (1)cos(α ±β )=cosα cosβ ?sinα sinβ ; (2)sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ ; tanα ±tanβ (3)tan(α ±β )= . 1?tanα tanβ 2.倍角公式 (1)sin2α =2sinα cosα ; (2)cos2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tanα (3) tan2α = . 2 1-tan α 3.半角公式 α (1)sin =± 2 α (2)cos =± 2 α (3)tan =± 2 1-cosα ; 2 1+cosα ; 2 1-cosα ; 1+cosα 2 2 2 2 α sinα 1-cosα (4)tan = = . 2 1+cosα sinα 4.正弦定理 = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sinA sinB sinC 5.余弦定理 a b c a2=b2+c2-2bccosA, b2=a2+c2-2accosB, c2=a2+b2-2abcosC. 6.面积公式 S△ABC= bcsinA= acsinB= absinC. 1 2 1 2 1 2 7.解三角形 (1)已知两角及一边,利用正弦定理求解; (2)已知两边及一边的对角,利用正弦定理或余弦定理求解,解的情况可能不唯一,需讨论; (3)已知两边及其夹角,利用余弦定理求解; (4)已知三边,利用余弦定理求解. 8.“变”是解决三角问题的主题,变角、变名、变表达形式、变换次数等比比皆是,强化变换意识, 抓住万变不离其宗——即公式不变,方法不变,要通过分析、归类把握其规律. 考点一 三角恒等变换及求值 例 1、 【2017 山东,文 7】函数 y ? 3sin 2x ? cos 2x 最小正周期为 A. π 2 B. 2π 3 C. π D. 2π 【答案】C 【解析】因为 y ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2π π? ? ,所以其周期 T ? 2 ? π ,故选 C 3? π? 3 π? ? ? 【变式探究】 (1)(2016?高考全国卷Ⅰ)已知 θ 是第四象限角, 且 sin?θ + ?= , 则 tan?θ - ?= 4 4? ? ? 5 ? ________. 4 【答案】- 3 π ∴θ =α - , 4 π? π? ? ? ?π ? ∴tan?θ - ?=tan?α - ?=-tan? -α ?. 4? 2? ? ? ?2 ? 3 如图,在 Rt△ACB 中,不妨设∠A=α ,由 sin α = 可得, 5 BC=3,AB=5,AC=4, π 4 ∴∠B= -α ,∴tan B= , 2 3 π? 4 ? ∴tan?θ - ?=-tan B=- . 4? 3 ? 3 2 (2)(2016?高考全国卷Ⅲ)若 tan α = ,则 cos α +2sin 2α =( 4 A. 64 25 B. D. 48 25 16 25 ) C.1 【答案】A 1+sin β ? π? ? π? (3)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = ,则( 2? 2? cos β ? ? π A.3α -β = 2 π C.2α -β = 2 【答案】C 【解析】通解:由 tan α = π B.3α +β = 2 π D.2α +β = 2 ) 1+sin β sin α 1+sin β 得 = ,即 sin α cos β =cos α +sin β cos α , cos β cos α cos β ?π ? 所以 sin(α -β )=sin?π -α ?, ? π? 所以 sin(α -β )=cos α , 又 cos α =sin? -α ?, ?2 ? 又因为 α ∈?0, 2 ?, ?2 ? ? ? ? ? π π π π π π ? π? β ∈?0, ?,所以- <α -β < ,0< -α < ,因为 α -β = -α ,所以 2α -β = ,故选 2? 2 2 2 2 2 2 ? C. 【方法规律】1.三角函数恒等变换“四大策略” (1)常值代换:特别是“1”的代换,1=sin θ +cos θ =tan 45°等; (2)项的分拆与角的配凑:如 sin α +2cos α =(sin α +cos α )+cos α ,α =(α -β )+β 等; (3)降幂与升幂:正用二倍角公式升幂,逆用二倍公式降幂; (4)弦、切互化:切化弦,弦化切,减少函数种类. 2.解决条件求值问题的三个关注点 (1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角. (2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示. (3)求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范 围,求出角的大小. π? 7 2 7 ? 【变式探究】已知 sin?α - ?= ,cos 2α = ,则 sin α 等于( 4 ? 10 25 ? A. 4 5 4 B.- 5 ) 2 2 2 2 2 2 2 3 C.- 5 D. 3 5 考点二 正、余弦定理的简单应用 例 2、 【2017 课标 3,文 15】△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.已知 C=60°,b= 6 ,c=3, 则 A=_________. 【答案】75° b c ? b sin C 【解析】由题意: ,即 sin B ? ? sin B sin C c 则 A ? 180? ? B ? C ? 75? . 6? 3 2 ?

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