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高考数学一轮复习 第四篇三角函数、解三角形第5讲 两角和与差的正弦、余弦和正切教案 理


第5讲 【2013 年高考会这样考】 两角和与差的正弦、余弦和正切 1.考查利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式进行三角函数式的化简与求值. 2.利用三角公式考查角的变换、角的范围. 【复习指导】 本讲复习应牢记和、差角公式及二倍角公式,准确把握公式的特征,活用公式(正用、逆用、 变形用、创造条件用);同时要掌握好三角恒等变换的技巧,如变换角的技巧、变换函数名称 的技巧等. 基础梳理 1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C(α -β ):cos(α -β )=cos_α cos_β +sin_α sin_β ; (2)C(α +β ):cos(α +β )=cos_α cos_β -sin_α sin_β ; (3)S(α +β ):sin(α +β )=sin_α cos_β +cos_α sin_β ; (4)S(α -β ):sin(α -β )=sin_α cos_β -cos_α sin_β ; tan α +tan β (5)T(α +β ):tan(α +β )= ; 1-tan α tan β tan α -tan β (6)T(α -β ):tan(α -β )= . 1+tan α tan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S2α :sin 2α =2sin_α cos_α ; (2)C2α :cos 2α =cos α -sin α =2cos α -1=1-2sin α ; 2tan α (3)T2α :tan 2α = . 2 1-tan α 3.有关公式的逆用、变形等 (1)tan α ±tan β =tan(α ±β )(1?tan_α tan_β ); 1+cos 2α 1-cos 2α 2 2 (2)cos α = ,sin α = ; 2 2 (3)1+sin 2α =(sin α +cos α ) 1-sin 2α =(sin α -cos α ) , π? ? sin α ±cos α = 2sin?α ± ?. 4? ? 4.函数 f(α )=acos α +bsin α (a,b 为常数),可以化为 f(α )= a +b sin(α +φ )或 2 2 2, 2 2 2 2 2 f(α )= a2+b2cos(α -φ ),其中 φ 可由 a,b 的值唯一确定. 两个技巧 α +β α -β (1)拆角、拼角技巧:2α =(α +β )+(α -β );α =(α +β )-β ;β = - ; 2 2 β ? ?α α -β ? ? =?α + ?-? +β ?. 2? ?2 2 ? ? (2)化简技巧:切化弦、“1”的代换等. 三个变化 (1)变角:目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”. (2)变名:通过变换函数名称达到减少函数种类的目的,其手法通常有“切化弦”、“升幂与 降幂”等. (3)变式:根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通 常有:“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方” 等. 双基自测 1 1.(人教 A 版教材习题改编)下列各式的值为 的是( 4 A.2cos C. 2 ). 2 π -1 12 B.1-2sin 75° D.sin 15°cos 15° 2tan 22.5° 2 1-tan 22.5° 2 解析 2cos π π 3 3 2tan 22.5° 2 -1=cos = ;1-2sin 75°=cos 150°=- ; = 2 1

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