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广义奇偶函数的性质及其应用


广义奇偶函数的性质及其应用
浙江临海市回浦中学 徐小凯

轴对称图形. 定 理 2 若函数 f ( x) 为奇 ( 偶 )函数 ,又存 在常数 a, b , a + b ≠ 0 ,使得对定义域内任意 x, 都有 f ( a + x) = ? f (b ? x )( f ( b ? x)) ,则 a + b 是 函数 f ( x) 的一个周期. 证 明 设函数 f ( x) 为奇函数,又为广义奇 函数,则 f ( x + a + b ) = f [ a + ( b + x) ]

文[1] 给出了广义奇偶函数的概念: 对于函数 f ( x) ,若存在常数 a, b ,使得函 数定义域内任意 x ,都有 f ( a + x) = ? f ( b ? x) 成 立 , 则 称 f ( x) 为 广 义 奇 函 数 . 特 别 地 , 当 a = b = 0 时, f ( x) 是奇函数. 对于函数 f ( x) ,若存在常数 a, b ,使得函 数定义域内任意 x ,都有 f ( a + x) = f ( b ? x) 成 立 , 则 称 f ( x) 为 广 义 偶 函 数 . 特 别 地 , 当 a = b = 0 时, f ( x) 是偶函数. 本文给出广义奇偶函数的性质: 定 理 1 广义奇函数的图象关于点 (( a + b)/2,0) 成中心对称图形 ,广义偶函数的 图象关于直线 x = ( a + b) / 2 成轴对称图形. 证 明 ⑴ 设 f ( x) 为广义奇函数 ,则存在 常 数 a, b , 使 得 函 数 定 义 域 内 任 意 x , 均 有 f ( a + x) = ? f ( b ? x) , 设 P ( x, f ( x)) 是图象上 的任意一点 ,则它关于点 (( a + b)/2,0) 的对称 点为 P( a + b ? x, ? f ( x)) , ∵ f ( a + b ? x) = f [a + (b ? x) ] = ? f [b ? ( b ? x) ] = ? f ( x), ∴ 点 P( a + b ? x, ? f ( x)) 也 在 函 数 f ( x) 的图象上. ∴ f ( x) 的图象关于点 (( a + b)/2,0) 成中 心对称图形. ⑵ 设 f ( x) 为广义偶函数 , 则存在常数 a, b , 使 得 函 数 定 义 域 内 任 意 x , 均 有 f ( a + x) = f ( b ? x) ,设 P ( x, f ( x)) 是图象上的 任意一点 ,则它关于直线 x = ( a + b) / 2 的对称 点为 P( a + b ? x, f ( x)) , ∵ f ( a + b ? x) = f [a + (b ? x) ] = f [b ? (b ? x )] = f ( x ) , ∴点 P( a + b ? x, f ( x)) 也在函数 f ( x) 的 图象上. ∴ f ( x) 的图象关于直线 x = ( a + b) / 2 成

= ? f [b ? ( b + x) ] = ? f ( ? x) = f ( x) , 故 a + b( a + b ≠ 0) 是函数 f ( x) 的一个周期. 若函数 f ( x) 为偶函数 ,又为广义偶函数 , 同理可证 a + b( a + b ≠ 0) 是函数 f ( x) 的一个 周期. 定 理 3 若函数 f ( x) 的周期为 a + b , 且 f ( x) 为奇(偶)函数,则函数 f ( x) 为广义奇(偶) 函数. 证明 设函数 f ( x) 为奇函数 , 又函数 f ( x) 的周期为 a + b ,则 f ( x + a + b) = f ( x) = ? f ( ? x) 即 f ( x + a + b) = ? f [b ? (b + x) ] , b + x 用 x 代 , 得 f ( a + x ) = ? f ( b ? x) , 故函数 f ( x) 为广义奇函数. 若函数 f ( x) 的周期为 a + b ,且 f ( x) 为偶 函数,同理可证函数 f ( x) 为广义偶函数. 定 理 4 若函数 f ( x) 的周期为 a + b ,且对 定义域内任意 x , 都有 f ( a + x) = ? f (b ? x) ? ( f (b ? x )) 则函数 f ( x) 为奇(偶)函数. 证 明 不妨设函数 f ( x) 为广义偶函数 ,又 函数 f ( x) 的周期为 a + b ,则 = f [b ? (b + x )] = f ( ? x ) , f ( x + a + b ) = f [ a + ( b + x) ] = ? f [b ? ( b + x) ] ,

又 f ( x + a + b) = f ( x) ,所以 f (? x ) = f ( x ) , 故 f ( x ) 为偶函数. 由定理 2、定理 3、定理 4 可知,①函数 f ( x ) 为奇(偶 )函数 ;②函数 f ( x ) 为广义奇(偶 ) 函数 ;③函数 f ( x ) 的周期为 a + b ,由这三者中 的任何两者都可以推出第三者. ?19?

定 理 5 若函数 f ( x ) 为奇(偶 )函数, 又存 在常数 a, b , a + b ≠ 0 ,使得对定义域内任意 x, 都有 f ( a + x) = f ( b ? x)( ? f ( b ? x)) ,则 2( a + b) 是函数 f ( x ) 的一个周期. 证 明 设函数 f ( x ) 为奇函数,且 f ( x ) 为广 义偶函数,则 f ( x + a + b ) = f [ a + ( b + x) ]

解析几何中一类极值的几何求法
—— 三点共线法
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∴ f [ x + 2( a + b) ] = f [(x + a + b) + ( a + b) ] = ? f ( x + a + b) = ? [ ? f ( x) ] = f ( x) , ∴ 2( a + b)( a + b ≠ 0) 是函数 f ( x) 的一个 周期. 若函数 f ( x) 为偶函数 ,且 f ( x) 为广义奇 函 数 , 同 理 可 证 2( a + b)( a + b ≠ 0) 是 函 数 f ( x) 的一个周期. 应用举例 例 1 (1996 年全国文、理 )设 f ( x) 是 (?∞ , +∞) 上的奇函数,且 f ( x + 2) = ? f ( x) ,当 0 ≤ x ≤ 1 时, f ( x) = x ,则 f (7.5) 等于( ) A 0.5 B ?0.5 C 1.5 D ?1.5 分析 由 f ( x + 2) = ? f ( x ) = f (? x) = f (0 ? x ) , 故 f ( x) 是广义偶函数 , 其中 a = 2 , b = 0 . 又 f ( x) 为奇函数,由定理 5 可知, 2( a + b) = 4 是 f ( x) 的一个周期, 则 f (7.5) = f ( ?0.5 + 8) = f ( ?0.5) = ? f (0.5) = ?0.5 故选 B . 例 2 函 数 f ( x) 对 一 切 实 数 x 都 有 f (2 + x) = ? f (4 ? x) ,如果方程 f ( x) = 0 恰好 有 5 个不同的实根,那么这些根之和是( ) A3 B6 C 12 D 15 分析 由定理 1 可知, f ( x) 的图像关于点 (3,0) 对称,若 4 个根从小到大依次为 x1 , x2 , x3 , x +x x + x4 x4 , x5 ,则有 1 5 = 3 , 2 = 3 , x3 = 3 , 所 2 2 以 x1 + x5 = 6 , x2 + x4 = 6 ,即 x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 15 ,故选 D . 参考文献
[1] 周建华.“研究性学习”在高中数学教学中的应  用.中学数学月刊,2001(8).

= f [b ? (b + x )] = f (? x ) = ? f ( x)

在解析几何中 ,求极值问题是一个难点 , 也是一个重点 . 这类问题往往蕴含知识迁移 , 应用能力、思维开拓能力的要求,许多学生感 到头疼, 现介绍一类极值的几何求法—— 三 点共线法. 引 理 1 平面内两定点 A 、 B ,动点 P ,则 PA + PB ≥ AB 当且仅当点 P 在线段 AB 上 时,取等号. 引 理 2 平面内两定点 A 、 B ,动点 P ,则 PA ? PB ≤ AB 当且仅当点 P 在射线 AB 的 点 B 的外侧时,取等号. 结 论 1 动点 P ,定点 A 、 B ,三点共线且 P 在线段 AB 上时, PA + PB 取最小值 AB . 结 论 2 动点 P ,定点 A 、 B ,三点共线且 P 在射线 AB 的点 B 外侧时 , PA ? PB 取最 大值 AB . 由结论⑴ ,⑵知 ,满足其条件的极值,可用 结论⑴,⑵求之,由于 A 、B 为定点 AB 可求之. 此法为这类极值的几何求法——三点共线法. 当已知条件不满足时 ,可考虑变换条件使用 , 思路为三点共线 . 下面利用这两个结论求解 析几何中的一类极值问题. 例 1 已知直线 l : y = kx + b ,直线外两定 点P 1、P 2 ,在直线 l 上求一点 P ,使 PP 1 + PP 2 的值最小,并求最小值. 解 ① 当P 1、P 2 在直线 l 的异侧时,由上 述结论⑴知连 P 1P 2 交于 l 于 P , P 为所求的点, 最小值为 P 1P 2 . y P2 ② 当P 、 P 在直 P 1 2 1 l P 线 l 的同侧时( 如图 ), 由于点 P 不能在线段 O

?20?

P3 x


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