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9.02集合间的基本关系2正_图文


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在姚城中有一位理发师,他的广告词是这样写的: “本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城 所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。 我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝, 自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这 位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓 起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?如果他 不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他 就要给自己刮脸,而如果他给自己刮脸呢?他又属于 “给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸。

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3

问:浙江省的 区域与余姚市 的区域有何关 系? 如果我们把余姚市的区域用集合A来表示, 浙江省区域用集合B来表示,则A在集合B内; 也就是说集合A的每一个元素都在集合B内。
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对于两个集合A和B,如果集合A中任意一个元素 都是B中的元素,就说这两个集合有包含关系,称 集合A为集合B的子集,记作:A?B(或B?A)。

读作:“A含于B”(或B 包含A)

数学语言表示形式:

若对任意x?A,有x ?B,则 A?B。
若A不是B的子集,则记作:A?B(或B ?A)

例1:A={1,3},B={1,3,7} ;

例2:A ={1/2,10,9},B ={1,2};
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A?B的图形语言

B

A

用平面上封闭 的曲线的内部 表示集合这图 叫Vevv图

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3:集合相等。
?

质数的定义 是?

?

?

对于C={x|x是质数},D={x|x是只能被1和 它本身整除的正整数},因此集合C,D都是表 示质数组成的集合,即集合C中任一元素都是 集合D中的元素。集合C等于集合D。 用子集概念描述:如果集合A 是集合B的子集 ( A?B)且集合B也是集合A的子集( B?A) 就说A与B相等,记A=B。 即 A?B, B?A?A=B。
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四、真子集的概念 如果集合A

? B,但存在元素x∈B,且x?A,
B

我们称集合A是集合B的真子集。

? B(或 B ?A ) 记作: A ≠ ≠ ? {1,2,3} 例如:{1,2} ≠

?Z≠ ?R ?N ≠ ?Q ≠ N+ ≠

A

子集与真子集的区别呢? ?B “A?B” 允许A=B或A ≠

“ ? B ” 是不允许A=B,因此 A≠ ? B成立 若A?B,则不一定 A ≠

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五、空集

问题1:方程x4+x2+1=0的实数解组成的集合用描 4 2 {x ? R | x ? x ? 1 ? 0} 述法可以表示为_________________. 问题2:你能说出上述集合的元素是什么吗? 因为方程x4+x2+1=0没有实数解,所以上述集 合中没有元素.

我们把不含任何元素的集合叫做空集
记作: 规定:空集是任何集合的子集;是任何非 空集合的真子集。
9

?

六、子集的性质 问题:根据子集的概念,结合Venn图,你能得到子集 的一些特性吗? (1)任何一个集合都是它本身的子集.即

(2)空集是任何集合的子集( ?? 空集合的真子集。
(3)对于集合A, B, C, 如果

A? A

A);是任何非
,且

A? B
C

B?C,
A
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那么 A ? C .

B

例2
(1)写出集合{a,b}的所有子集; (2)写出?的所有子集.
(3)写出集合{a}的所有子集; (4)写出集合{a,b,c}的所有子集; 请归纳出规律来!

做一做

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元素个数与集合子集个数的关系:
集合

?
{a} {a,b} {a,b,c} {a,b,c,d} …

集合元素的个数 集合子集个数 0 1 1 2 3 4 … n个元素 2 4 8 16 …

2n 评注:集合的元素个数与集合的子集(或真子集) 个数之间的关系:设集合A中含有n个元素,则集 n-1 n 2 合A共有2 个子集, 个真子集。 12

做一做

开放探究提优 1、设集合A ? {x x ? 9l ? 6m ? 5n, l , m, n ? Z }, 集合B ? {x x ? 3 p ? 5q ? 6r , p, q, r ? Z }, 求证:A ? B.

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开放探究提优2:A ? {x x 2 ? (3a ? 3) x ? 2(3a ? 1) ? 0, x ? R}, x - 2a 集合B ? {x ? 0, x ? R}. 2 x - (a ? 1) (1)当4 ? B时,求实数a的取值范围;

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开放探究提优 3:已知I ? {1, 2, 3}, A, B是集合I的两个非空子集, 且A中所有数的和又大于 B中所有数的和, 则集合A, B共有几对?

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思维拓展提优: 若对任意x, y ? S , 都有x ? y, x ? y, xy ? S , 则称S为封闭集。 下列命题: ( 1)若S为封闭集,则一定有 0 ? S; (2)封闭集一定是无限集 ; (3)若S为封闭集,则满足 S ? T ? C的任意集合T也是封闭集。 其中真命题是

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课堂小结:
今天你学到了什么知识? 你能用自己的话说说吗? 1.子集: 对于两个集合A和B,如果集合A中任意一个元素都是B中的元素,就说 这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作:A?B(或 B?A)。 2.真子集: 如果集合A ? B,但存在元素x∈B,且x ? A, 我们称集合A是集合B的真子集。
3.集合相等:如果集合A 是集合B的子集( A?B)且集合B也是集合A的子集 ( B?A)就说A与B相等,记A=B。

4.空集:

我们把不含任何元素的集合叫做空集
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