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3.3 双曲线(第2课时) 课件1 (高中数学选修1-1北师大版)_图文

2.3.2 双曲线的简单性质 1 x2 y2 一、研究双曲线 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 的简单几何性质 1、对称性 关于x轴、y轴和原点都是对称. x轴、y轴是双曲线的对称轴,原点是对称中心, 又叫做双曲线的中心. y 2、范围 (x,y) x2 ? 2 ≥ 1, 即x 2 ≥ a 2 a ? x ≥ a , x ≤ ?a (-x,y) -a o a (x,-y) x x2 y2 另外 , 2 ? 2 ? 0 可知并夹在两 (-x,-y) a b 相交直线之间.(如图) 3、顶点 (1)双曲线与对称轴的交点,叫做双曲线的顶点 顶点是 A1 (?a,0)、A2 (a,0) 如图,线段 A1A2 叫做双曲线 ( 2) 的实轴,它的长为2a,a叫做 B2 叫做双 实半轴长;线段 B1 曲线的虚轴,它的长为2b,b 叫做双曲线的虚半轴长. b y B2 o a A2 A1 -a x -b B 1 (3)实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线. x 2 ? y 2 ? m(m ? 0) x2 y2 b ⑴双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的渐近线为 y ? ? x a a b y 4、渐近线 动画演示点在双曲线上情况 如何记忆双曲线的渐近线方程? 2 2 注 :等轴双曲线 x ? y ? m(m ? 0) 的渐近线为 y ? ? x b B2 A1 o A2 a (2)利用渐近线可以较准确的画出 双曲线的草图 x B1 (3)渐近线对双曲线的开口的影响 (动画演示情况) b y?? x a b y? x a 双曲线上的点与这两 直线有什么位置关系呢? ⑵ e 的范围: ? c>a>0 ? e >1 ⑶ e 的含义: 同样可以形象地理解焦点离开中心的程度. 另外 c ⑴定义:双曲线的焦距与实轴长的比 e ? ,叫做双曲线的离心率 . a b c2 ? a2 c 2 ? ? ( ) ? 1 ? e2 ? 1 a a a 5、离心率 b b ∴当 e ? (1, ??) 时, ? (0, ?? ) ,且 e 增大, 也增大. a a ? e 增大时,渐近线与实轴的夹角增大. e是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大 (4)等轴双曲线的离心率e= ? 2 , 反过来也成立. c、 e 四个参数中,知二求二. ⑸在 a 、b 、 c 2 2 2 e ? , a ? b ? c ∵ a 例1 求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、 焦点坐标、离心率、渐进线方程. y x ? ?1 解:把方程化为标准方程 16 9 可得实半轴长a=4,虚半轴长b=3 焦点坐标为(0,-5)、(0,5) 2 2 4 渐进线方程为y ? ? x 3 c 5 离心率e ? ? a 4 (学习课本例 4) 例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m). C′ A′ 0 y 13 C 12 A x B′ 25 B B2 . . B2 A2 图形 . . F1(-c,0) F1 y y F2 B1 A1 A2 O F2(0,c) x F1(0,-c) B1 F2(c,0) F2 x A1 O F1 方程 范围 对称性 顶点 离心率 渐进线 x y ? ? 1 (a ? b ? 0) 2 2 a b 2 2 x ≥ a 或 x ≤ ?a,y ? R 关于x轴、y轴、原点对称 A1(- a,0),A2(a,0) y ≥ a 或 y ≤ ?a,x ? R y2 x2 ? 2 ? 1 (a ? 0 ,b ? 0 ) 2 a b 关于x轴、y轴、原点对称 A1(0,-a),A2(0,a) c e? a (e ? 1) b y?? x a c e? a (e ? 1) a y?? x b (学习课本例 4) 例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线 的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的 最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径 为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此 双曲线的方程(精确到1m). C′ A′ 0 y 13 C 12 A x B′ 25 B 根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ⑴与双曲线 ? ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; 9 16 2 2 x y ? ? 1 有公共焦点,且过点 (3 2 , 2) ⑵与双曲线 16 4 分析:这里所求的双曲线方程易知是标准方程. 这里有两种方法来思考: 法一:直接设标准方程,运用待定系数法; 法二:巧设方程,运用待定系数法. 法二可能会比法一简洁,因为设方程思考了. 根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有共同渐近线,且过点 (?3, 2 3) ; ⑴与双曲线 ? 9 16 ⑴法一: 直接设标准方程,运用待定系数法考虑.(一般要分类讨论) x2 y2 4 解:双曲线 ? ? 1 的渐近线为 y ? ? x ,令 x=-3,y=±4,因 2 3 ? 4 , 3 9 16 4 故点 (?3,2 3) 在射线 y ? ? x (x≤0)及 x 轴负半轴之间, 3 x2 y2 ∴ 双曲线焦点在 x 轴上,∴设双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0), a b ?b 4 ? 2 9 2 2 ? a ? ? x y ? a 3 ?1 ∴? 解之得 ? 4 ,∴ 双曲线方程为 ? ? 9 2 2 4 2 ( ? 3) (2 3) ? ? b ?4 ? ?1 ? 2 2 4 ? ? a b 根据下列条件,求双曲线方程: x2 y2 ? 1 有公共焦点,且过点 (3

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