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【优化方案】2014届高考数学 9.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B)课时闯关(含解析)


9.3 直线与平面垂直、平面与平面垂直(A、B) 课时闯关(含 答案解析)
一、选择题 1.(2011·高考浙江卷)下列命题中错误的是( ) A.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β B.如果平面 α 不垂直于平面 β ,那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C.如果平面 α ⊥平面 γ ,平面 β ⊥平面 γ ,α ∩β =l,那么 l⊥平面 γ D.如果平面 α ⊥平面 β ,那么平面 α 内所有直线都垂直于平面 β 解析:选 D.两个平面 α ,β 垂直时,设交线为 l,则在平面 α 内与 l 平行的直线都平 行于平面 β ,故 A 正确;如果平面 α 内存在直线垂直于平面 β ,那么由面面垂直的判定定 理知 α ⊥β ,故 B 正确;两个平面都与第三个平面垂直时,易证交线与第三个平面垂直, 故 C 正确;两个平面 α ,β 垂直时,平面 α 内与交线平行的直线与 β 平行,故 D 错误. 2.(2012·高考安徽卷)设平面 α 与平面 β 相交于直线 m,直线 a 在平面 α 内,直线 b 在平面 β 内,且 b⊥m,则“α ⊥β ”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选 A.若 α ⊥β ,因为 α ∩β =m,b? β ,b⊥m,则根据两个平面垂直的性质定 理可得 b⊥α ,又因为 a? α ,所以 a⊥b; 反过来,当 a∥m 时,因为 b⊥m,一定有 b⊥a,但不能保证 b⊥α ,所以不能推出 α ⊥ β . 3.已知 α 、β 表示两个互相垂直的平面,a,b 表示一对异面直线,则 a⊥b 的一个充 分条件是( ) A.a∥α ,b⊥β B.a∥α ,b∥β C.a⊥α ,b∥β D.a⊥α ,b⊥β 解析:选 D.对于 A,若 a∥α ,b⊥β ,则直线 a,b 不一定垂直,不合题意;对于 B, 若 a∥α ,b∥β ,则直线 a,b 不一定垂直,不合题意;对于 C,若 a⊥α ,b∥β ,则直线 a,b 不一定垂直,不合题意;对于 D,若 a⊥α ,b⊥β ,则 a⊥b.故选 D. 4.(2011·高考大纲全国卷)已知直二面角 α ?l?β ,点 A∈α ,AC⊥l,C 为垂足,点 B ∈β ,BD⊥l,D 为垂足.若 AB=2,AC=BD=1,则 CD=( ) A.2 B. 3 C. 2 D.1

解析:选 C.如图,连接 BC,在直二面角 α ?l?β 中, AC⊥l,∴AC⊥β ,∴AC⊥BC. ∴△ABC 为直角三角形, 2 2 ∴BC= 2 -1 = 3. 在 Rt△BCD 中,BC= 3,BD=1, ∴CD= ? 3? -1= 2. 5. 如图:正方体 ABCD-A1B1C1D1 中点 P 在侧面 BCC1B1 及其边界上运动,并且总保持 AP ⊥BD1,则动点 P 的轨迹是( )
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1

A.线段 B1C B.线段 BC1 C.BB1 中点与 CC1 中点连成的线段 D.BC 中点与 B1C1 中点连成的线段

解析:选 A.设 P1,P2 为 P 的轨迹上两点,则 AP1⊥BD1,因 A、P1、P2 不共线,∴A、P1、 P2 确定一个平面 α ,与平面 B1C 交于直线 P1P2,且知 BD1⊥平面 α ,∴P1P2⊥BD1,又在平面 BCC1B1 内有且只有 B1C 与点 A 确定的平面与 BD1 垂直,∴P 点的轨迹为线段 B1C. 二、填空题 6.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,如果这些斜线与平面成等角,有如下 命题: ①斜足连线能构成正三角形; ②斜足连线不能构成直角三角形; ③垂足是斜足连线所构成三角形的外心; ④垂足是斜足连线所构成的三角形的内心. 其中正确命题的序号是______. 解析:由斜线段、垂线段、射影构成的三角形全等,且垂足是斜足连线构成三角形的外 心,故①、③正确. 答案:①③

7.如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥底面 ABCD,底面各边都相等,M 是 PC 上的一 动点,当点 M 满足______时,平面 MBD⊥平面 PCD.(注:只要填写一个你认为正确的即可) 解析:由三垂线定理可知 BD⊥PC,当 DM⊥PC 时(或 BM⊥PC)时,即有 PC⊥平面 BMD,所 以平面 MBD⊥平面 PCD. 答案:DM⊥PC 8.α 、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线.给出四个论 断:①m⊥n;②α ⊥β ;③n⊥β ;④m⊥α . 以其中三个论断作为条件,余下一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题 ________. 解析:如图,由 α ⊥β ,n⊥β ,m⊥α ,得 m⊥n.

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由 m⊥n,n⊥β ,m⊥α ,得 α ⊥β . 答案:②③④? ①或①③④? ② 三、解答题

9.(2012·高考大纲全国卷)如图,四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为菱形,PA⊥底面 ABCD,AC=2 2,PA=2,E 是 PC 上的一点,PE=2EC. (1)证明:PC⊥平面 BED; (2)设二面角 A-PB-C 为 90°,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 解:(1)证明:因为底面 ABCD 为菱形,所以 BD⊥AC.

又 PA⊥底面 ABCD, 所以 PC⊥BD. 如图,设 AC∩BD=F,连接 EF. 因为 AC=2 2,PA=2, PE=2EC,故 PC=2 3, 2 3 EC= ,FC= 2, 3

PC AC FC EC PC AC 因为 = ,∠FCE=∠PCA, FC EC 所以△FCE∽△PCA,∠FEC=∠PAC=90°, 由此知 PC⊥EF. 因为 PC 与平面 BED 内两条相交直线 BD,EF 都垂直,所以 PC⊥平面 BED. (2)在平面 PAB 内过点 A 作 AG⊥PB,G 为垂足. 因为二面角 A?PB?C 为 90°,所以平面 PAB⊥平面 PBC. 又平面 PAB∩平面 PBC=PB,故 AG⊥平面 PBC,AG⊥BC. 因为 BC 与平面 PAB 内两条相交直线 PA,AG 都垂直,故 BC⊥平面 PAB,于是 BC⊥AB, 2 2 所以底面 ABCD 为正方形,AD=2,PD= PA +AD =2 2. 设 D 到平面 PBC 的距离为 d. 因为 AD∥BC,且 AD 平面 PBC,BC? 平面 PBC, 故 AD∥平面 PBC,A、D 两点到平面 PBC 的距离相等, 即 d=AG= 2. d 1 设 PD 与平面 PBC 所成的角为 α ,则 sin α = = . PD 2 所以 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°.
从而 = 6, = 6.

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10.(2013·山东淄博模拟)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别是 AB、BC 的中点. (1)求证:平面 B1MN⊥平面 BB1D1D; (2)在棱 DD1 上是否存在点 P,使得 BD1∥平面 PMN?若存在,确定点 P 的位置;若不存 在,请说明理由.

解:(1)证明:连结 AC,则 AC⊥BD, 又 M、N 分别是 AB、BC 的中点, ∴MN∥AC,∴MN⊥BD, ∵ABCD-A1B1C1D1 是正方体, ∴BB1⊥平面 ABCD, ∵MN? 平面 ABCD, ∴BB1⊥MN,∵BD∩BB1=B, ∴MN⊥平面 BB1D1D, ∵MN? 平面 B1MN,∴平面 B1MN⊥平面 BB1D1D. (2)在棱 DD1 上存在点 P,使得 BD1∥平面 PMN,并且 DP∶PD1=3∶1,即在线段 D1D 上靠 近点 D1 的第一个四等分点处. 设 MN 与 BD 的交点为 Q,连结 PQ、PM、PN, 则平面 BB1D1D∩平面 PMN=PQ, 当 BD1∥平面 PMN 时, 根据线面平行的性质定理得 BD1∥PQ, DQ∶QB=DP∶PD1=3∶1. 且 11.(探究选做)(2011·高考江西卷)

π 如图,在△ABC 中,∠B= ,AB=BC=2,P 为 AB 边上一动点,PD∥BC 交 AC 于点 D, 2 现将△PDA 沿 PD 翻折至△PDA′,使平面 PDA′⊥平面 PBCD; (1)当棱锥 A′-PBCD 的体积最大时, 求 PA 的长; (2)若点 P 为 AB 的中点,E 为 A′C 的中点,求证:A′B⊥DE. 解:(1)令 PA=x(0<x<2),则 A′P=PD=x,BP=2-x. 因为 A′P⊥PD,且平面 A′PD⊥平面 PBCD, 故 A′P⊥平面 PBCD. 1 所以 VA′-PBCD= Sh 3 1 1 3 = (2-x)·(2+x)x= (4x-x ). 6 6 1 3 令 f(x)= (4x-x ), 6

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1 2 2 由 f′(x)= (4-3x )=0,得 x= 3(负值舍去). 6 3 2 ? ? 当 x∈?0, 3?时,f′(x)>0,f(x)单调递增; ? 3 ? ?2 ? 当 x∈? 3,2?时,f′(x)<0,f(x)单调递减. ?3 ? 2 所以当 x= 3时,f(x)取得最大值. 3 2 3 故当 VA′-PBCD 最大时,PA= . 3

(2)证明:设 F 为 A′B 的中点,如图所示,连接 PF,FE, 1 1 则有 EF BC,PD BC. 2 2 所以 EF PD. 所以四边形 EFPD 为平行四边形.所以 DE∥PF. 又 A′P=PB,所以 PF⊥A′B,故 DE⊥A′B.

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