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2014高考数学易错点剖析18


2014 高考数学易错点剖析
【易错点 18】易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使用,缺乏严谨 的逻辑思维。 例 18、设无穷等差数列{an}的前 n 项和为 Sn. 3 (Ⅰ)若首项 a1 ? ,公差 d ? 1 ,求满足 S k 2 ? ( S k ) 2 的正整数 k; 2 (Ⅱ)求所有的无穷等差数列{an},使得对于一切正整数 k 都有 S k 2 ? ( S k ) 2 成立. 【易错点分析】本小题主要考查数列的基本知识,以及运用数学知识分析和解决问题的能力. 学生在解第(Ⅱ)时极易根据条件“对于一切正整数 k 都有 S k 2 ? ( S k ) 2 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差,但没有认识到求解出的等差数列仅是对已 知条件成立的必要条件,但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。 3 n(n ? 1) 3 n(n ? 1) 1 2 解: (I)当 a1 ? , d ? 1 时 S n ? na1 ? d ? n? ? n ?n 2 2 2 2 2 1 1 4 1 3 由 S ? (S k ) 2 , 得 k ? k 2 ? ( k 2 ? k ) 2 ,即 k ( k ? 1) ? 0 又 k ? 0, 所以k ? 4 . k 4 2 2 2 (II)设数列{an}的公差为 d,则在 S n 2 ? ( S n ) 中分别取 k=1,2,得
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?a1 ? a12 , ? (1) 即? 4?3 2 ?1 2 d ? (2a1 ? d) ?4a1 ? (2) 2 2 ? 由(1)得 a1 ? 0或a1 ? 1. 当 a1 ? 0时, 代入(2)得 d ? 0或d ? 6, 2 若 a1 ? 0, d ? 0, 则a n ? 0, S n ? 0, 从而S k ? ( S k ) 成立 ,
2 ? ? S1 ? ( S1 ) , ? ?S 4 ? ( S 2 ) 2 ?

若 a1 ? 0, d ? 6, 则a n ? 6(n ? 1),由S 3 ? 18, ( S 3 ) 2 ? 324, S n ? 216知 s 9 ? ( S 3 ) 2 , 故所得数 列不符合题意.当 a1 ? 1时, 代入(2)得 4 ? 6d ? (2 ? d ) 2 , 解得d ? 0或d ? 2 若 a1 ? 1, d ? 0, 则a n ? 1, S n ? n, 从而S k 2 ? ( S k ) 2 成立; 若 a1 ? 1, d ? 2, 则a n ? 2n ? 1, S n ? 1 ? 3 ? ? ? (2n ? 1) ? n 2 , 从而S ? ( S n ) 2 成立 . 综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列: ①{an} : an=0,即 0,0,0,?;②{an} : an=1,即 1,1,1,?; ③ {an} : an=2n-1,即 1,3,5,?, 【知识点归类点拔】事实上, “条件中使得对于一切正整数 k 都有 S k 2 ? ( S k ) 2 成立.”就等价于 关于 k 的方程的解是一切正整数又转化为关于 k 的方程的各项系数同时为零,于是本题也可 采用这程等价转化的思想解答,这样做就能避免因忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误。在 上述解法中一定要注意这种特殊与一般的关系。 【练 18】 (1)已知数列 ?cn ? ,其中 cn ? 2n ? 3n ,且数列 ?cn ?1 ? pcn ? 为等比数列.求常数 p 答案:p=2 或 p=3(提示可令 n=1,2,3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程,再说明 p 值对 任意自然数 n 都成立)

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