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椭圆简单几何性质二_图文

第二章

圆锥曲线与方程

2.2.2

椭圆的简单几何性质 习题课

第1课时

椭圆的简单几何性质

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第二章

圆锥曲线与方程

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重点难点

重点:椭圆的简单几何性质.

难点:椭圆的离心率对椭圆扁平程度的影响.

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圆锥曲线与方程

新知初探思维启动
椭圆的简单几何性质
标准方程 x 2 y2 + = a2 b2 1(a>b>0) y2 x 2 + = a2 b2 1(a>b>0)

图形

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圆锥曲线与方程

范围 对称性 焦点 焦距

-a≤x≤a,- b≤y≤b

-b≤x≤b,- a≤y≤a

对称轴:坐标轴;对称中心:(0,0) (-c,0) F1______________ , F2______________ (c,0) |F1F2|=2c (0,-c) F1______________ , (0,c) F2______________ |F1F2|=2c

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顶点

A1______________ , (-a,0) (a,0) A2______________ ; B1______________ , (0,-b) B2______________ (0,b) 长轴2a短轴2b

A1______________ , (0,-a) A2______________ ; (0,a) B1______________ , (-b,0) B2______________ (b,0) 长轴2a短轴2b

轴长 离心率

c c a (0,1) e=____∈______________ e=____∈__________ a (0,1)

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圆锥曲线与方程

想一想 能用a,b表示离心率吗?

a2-b2 提示:能.e= . a

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圆锥曲线与方程

做一做 x 2 y2 1.椭圆 + =1 的长轴长为__________, 上顶 25 9 点坐标为__________,离心率 e=__________.
答案:10 4 (0,3) 5

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圆锥曲线与方程

2.椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上, 两顶点分别是(4,0),(0,2),则此椭圆的方

程是__________.
x 2 y2 答案: + =1 16 4

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圆锥曲线与方程

典题例证技法归纳
题型探究 椭圆的简单几何性质
例1 求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、
焦点坐标、顶点坐标和离心率.

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圆锥曲线与方程

x 2 y2 【解】 将椭圆方程变形为 + =1, 9 4 ∴a=3,b=2,∴c= a2-b2= 9-4= 5. ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c= 2 5;焦点坐标为 F1(- 5,0),F2( 5,0); 顶点坐标为 A1(-3,0),A2(3,0),B1(0,-2), 5 c B2(0,2);离心率 e= = . a 3

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圆锥曲线与方程

【名师点评】

求椭圆的性质时,应把椭圆

的方程化为标准形式,注意分清楚焦点的位 置,这样便于直观地写出a,b的数值,进而求 出c,求出椭圆的长轴和短轴的长、离心率、 焦点和顶点的坐标等几何性质.

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圆锥曲线与方程

变式训练 1.求椭圆4x2+9y2=1的长轴长和焦距,焦点

坐标,顶点坐标和离心率. x 2 y2 解:将椭圆方程变形为 + =1. 1 1 4 9 1 1 5 2 2 ∴a= ,b= ,∴c= a -b = . 2 3 6
5 ∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=1,2c= . 3

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圆锥曲线与方程

焦点坐标为 顶点坐标为

? F1?- ? ?

? ? 5 ? 5 ? ? ? ,0 ?,F2? ,0?. 6 ? ? 6 ?

? 1 ? ?1 ? A1?- ,0?,A2? ,0?. ? 2 ? ?2 ?

? ? 1? 1? B1?0,- ?,B2?0, ?. 3? 3? ? ?

5 c 离心率 e= = . a 3

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圆锥曲线与方程

由椭圆的几何性质求椭圆 的标准方程
例2

求适合下列条件的椭圆的标准方程:

4 (1)长轴长为 20,离心率等于 ; 5 (2)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点(2,-6).

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圆锥曲线与方程

【解】

c 4 (1)∵2a=20,e= = , a 5

∴a=10,c=8,b2=a2-c2=36. 由于椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴 x 2 y2 上,所以所求椭圆的标准方程为 + =1 或 100 36 y2 x 2 + =1. 100 36

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圆锥曲线与方程

x 2 y2 y2 x 2 (2)设椭圆的标准方程为 2+ 2=1 或 2+ 2 = a b a b 1(a>b>0). 由已知 a=2b,① 且椭圆过点(2,-6),从而有 2 (-6) 2 22 22 (-6) + =1 或 + 2=1.② a2 b2 a2 b 由①②得 a2=148,b2=37 或 a2=52,b2=13. x 2 y2 y2 x 2 故所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + 148 37 52 13 =1.

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圆锥曲线与方程

【名师点评】

在求椭圆方程时,要注意根

据题目条件判断焦点所在的坐标轴,从而确 定方程的形式,若不能确定焦点所在的坐标 轴,则应进行讨论.一般地,已知椭圆的焦

点坐标时,可以确定焦点所在的坐标轴;而
已知椭圆的离心率、长轴长、短轴长或焦距 时,则不能确定焦点所在的坐标轴.

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圆锥曲线与方程

变式训练

2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. 2 (1)椭圆的对称轴为坐标轴,离心率 e= ,短轴 3 长为 8 5; (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形, 且焦点到同侧顶点的距离为 3.

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圆锥曲线与方程

? ? c 2 ?a=12 ? 解:(1)由?e= = ?? , a 3 ? ?c=8 ?a -b =c ?
b=4 5
2 2 2

x 2 y2 y2 x 2 ∴椭圆的方程为 + =1 或 + =1. 144 80 144 80 ?a=2 3 ?a=2c (2)由已知? ,∴? . ?a-c= 3 ?c= 3 从而 b2=9, x 2 y2 x 2 y2 ∴所求椭圆的标准方程为 + =1 或 + 12 9 9 12 =1.
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圆锥曲线与方程

求椭圆的离心率
例3
x 2 y2 (本题满 分 5 分)过椭 圆 2+ 2= a b

1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P,F2 为右焦点,若∠F1PF2=60°,则椭圆的 离心率为( 2 A. 2 1 C. 2 ) 3 B. 3 1 D. 3

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圆锥曲线与方程

【思路点拨】

本题先求得P点坐标,再利用

直角三角形,得出a,b,c的关系.
【解析】 b2 由题意知点 P 的坐标为(-c, )或 a

b2 (-c,- ), a ∵∠F1PF2=60°, 2c ∴ 2 = 3,即 2ac= 3b2= 3(a2-c2). b a

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圆锥曲线与方程

3 ∴ 3e +2e- 3=0,∴e= 或 e=- 3(舍 3
2

去).(5 分)

名师微博 转化为关于a,c的齐次方程是关键.

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圆锥曲线与方程

【答案】

B

【名师点评】 椭圆的离心率的求法 求椭圆的离心率,关键是寻找 a 与 c 的关系, 一般地: c (1)若已知 a、c,则直接代入 e= 求解; a ?b?2 (2)若已知 a、b,则由 e= 1-? ? 求解; ?a? (3)若已知 a、b、c 的关系,则可转化为 a、c 的齐次式,再转化为含 e 的方程求解即可.

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圆锥曲线与方程

变式训练 3.已知椭圆的两个焦点F1,F2与短轴的端点B

构成等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
解:如图,|F1F2|=2c, ∵|BF1|+|BF2|=2a,且△BF1F2 为等腰直角三 角形. ∴|BF1|=|BF2|=a= 2c. 2 c ∴离心率 e= = . a 2

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圆锥曲线与方程

备选例题
1.已知椭圆 mx2+2y2=2m 的离心率 e= 3 , 求椭 2

圆的长轴长、短轴长,焦点和顶点的坐标.
x 2 y2 解:将椭圆方程化为标准方程: + =1. 2 m 2-m 3 1 (1)当焦点在 x 轴上时, = ,∴m= . 2 2 2

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椭圆的长轴长为 2 2,短轴长为 2,焦点坐标为
? ? ?± ? ? 6 ? 2? ? ? ? ? ? ,0?,顶点坐标为??± 2,0??,?0,± ?. 2 2? ? ?

m-2 3 (2)当焦点在 y 轴上时, = ,∴m=8. 2 m 椭圆的长轴长为 4 2,短轴长为 2 2, 焦点坐标为(0,± 6),顶点坐标为(± 2,0),(0, ±2 2).

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圆锥曲线与方程

x 2 y2 2.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右顶点是 A(a,0),其 a b 上存在一点 P,使∠APO=90°,求椭圆的离心 率的取值范围.
解:设 P(x,y),由∠APO=90°知:P 点在以 OA 为直径的圆上. ? a?2 2 ?a?2 2 圆的方程是?x-2? +y =?2? ?y =ax-x2.① ? ? ? ? x 2 y2 又 P 点在椭圆上,故: 2+ 2=1.② a b

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圆锥曲线与方程

把①代入②得: 2 x2 ax-x =1?(a2-b2)x2-a3x+a2b2=0, 2+ 2 a b 故(x-a)[(a2-b2)x-ab2]=0, ab2 x≠a,x≠0?x= 2 2. a -b 又 0<x<a, ab2 2 2 2 2 2 ∴0< 2 <a?2b <a ?a <2c ?e> . 2 a -b2 又∵0<e<1, 2 故所求的椭圆离心率的取值范围是 <e<1. 2

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圆锥曲线与方程

方法感悟
方法技巧 1.椭圆的几何性质的作用 椭圆的焦点决定椭圆的位置,范围决定椭圆

的大小,离心率决定了椭圆的扁圆程度,对
称性是椭圆的重要特征,顶点是椭圆与对称 轴的交点,是椭圆重要的特殊点;若已知椭 圆的标准方程,则根据a、b的值可确定其性 质.
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圆锥曲线与方程

2.椭圆的离心率是反映椭圆的扁平程度的一个

量,其取值范围是0<e<1.离心率越大,椭圆
越扁;离心率越小,椭圆越接近于圆.

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圆锥曲线与方程

失误防范
1.注意长轴长为2a,短轴长为2b,而不是a,b. 2.椭圆的标准方程一定是满足焦点在坐标轴上, 中心在原点上的椭圆. 3.求离心率e时,注意方程思想的运用.

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