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北京市东城区2015届高三上学期期末考试数学(文)试题 Word版含答案


东城区 2014-2015 学年第一学期期末教学统一检测 高三数学 (文科)
学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷共 5 页,共 150 分。考试时长 120 分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷 上作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题
求的一项。

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

2, 4? ,则 A (1)已知集合 A ? x ? Z ?1 ? x ? 2 ,集合 B ? ?0,

?

?

B?

(A) ?0, 2? (C) ?? 1,0,2,4?

2, 4? (B) ?0,
(D) ?? 1,0,1,2,4?

+?) 上为增函数的是 (2)下列函数中,既是奇函数,又在区间 (0,
(A) y ? ln x (C) y ? 3x (3)设 x ? R ,则“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的
2

(B) y ? x3 (D) y ? sin x

开始

(A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件
输入

n

(4)当 n ? 3 时,执行如图所示的程序框图, 输出的 S 值为 (A) 6 (C) 14 (B) 8 (D) 30

k ? 1, S ? 0

k ? k ?1
S ? S ? 2k
k ? n?
否 输出 S 是

3 ? (5)已知 cos ? ? , ? ? ( ? , 0) ,则 sin 2? 的值为 4 2 3 (A) 8 3 (B) ? 8

3 7 (C) 8

3 7 (D) ? 8

S
结束

(6)如图所示,为了测量某湖泊两侧 A , B 间的距离,某同学首先选定了与 A , B 不共 线的一点 C ,然后给出了四种测量方案: (△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别 记为 a , b , c )

-1-

①测量 A , C , b ②测量 a , b , C

③测量 A , B , a ④测量 a , b , B
A

B

则一定能确定 A , B 间距离的所有方案的序号为 (A)①②③ (C)①③④ (B)②③④ (D)①②③④

( 7 ) 已 知 向 量 a ? (1 , 3), b ? (m , 2m ? 3) , 平 面 上 任 意 向 量 c 都 可 以 唯 一 地 表 示 为

c ? ?a +?b (? , ? ? R ),则实数 m 的取值范围是
(A) (?? , 0) (C) (?? , ? 3)

(0 , ? ?) (?3 , ? ?)

(B) (?? , 3) (D) [ ?3 , 3)

(8) 已知两点 M (?1, 0) ,N (1, 0) , 若直线 y ? k ( x ? 2) 上至少存在三个点 P , 使得△ MNP 是直角三角形,则实数 k 的取值范围是 (A) [ ? (C) [ ?

1 1 , 0) (0 , ] 3 3

(B) [?

3 3 , 0) (0 , ] 3 3

1 1 , ] 3 3

(D) [?5 , 5]

第二部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

共 110 分)

(9)已知抛物线的方程为 y 2 ? 4 x ,则其焦点到准线的距离为________. (10)若

2+i ? 1 ? mi ( m ? R) ,则 m ? ________. i
cm.
3 4 3 3

(11)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体最长棱的棱长为

正(主)视图

侧(左)视图

? x ? 1, ? (12)已知 x , y 满足 ? x +y ? 4, 则 z ? 2 x ? y 的最大值为_______. ? x ? 2 y ? 1 ? 0, ?
(13) 设函数 f ( x) ? ?

3 4

俯视图

?log 2 x, x ? 0, ?4 ,
x

x≤0,

则 f ( f ( )) =________; 若函数 g ( x) ? f ( x) ? k 存在两

1 2

个零点,则实数 k 的取值范围是________.

-2-

(14)某商场对顾客实行购物优惠活动,规定购物付款总额要求如下: ①如果一次性购物不超过 200 元,则不给予优惠; ②如果一次性购物超过 200 元但不超过 500 元,则按标价 给予 9 折优惠; .. ③如果一次性购物超过 500 元,则 500 元按第②条给予优惠,剩余部分给予 7 折优惠. 甲单独购买 A 商品实际付款 100 元,乙单独购买 B 商品实际付款 ....450 元,若丙一次性购 买 A , B 两件商品,则应付款________ 元.

三、解答题共6小题,共80分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 (15) (本小题共 13 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? 轴之间的距离为

? ) ( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 2 ,其图象相邻两条对称 6

? . 2

(Ⅰ)求 f ( x ) 的解析式及最小正周期; (Ⅱ)设 ? ? (0, ) ,且 f ( ) ? 1 ,求 ? 的值.

? 2

?

2

(16) (本小题共 13 分) 已知数列 ?an ? 是等差数列,数列 ?bn ? 是公比大于零的等比数列 ,且 a1 ? b1 ? 2 ,

a3 =b3 ? 8 .
(Ⅰ)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (Ⅱ)记 cn ? abn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Sn .

(17) (本小题共 14 分) 在三棱锥 P ? ABC 中, PB ? 底面 ABC ,?BCA ? 90 , E 为
-3-

PC 的中点, M 为 AB 的中点,点 F 在 PA 上,且 AF ? 2 FP .
(Ⅰ)求证: AC ? 平面 PBC ; (Ⅱ)求证: CM 平面 BEF ; (Ⅲ)若 PB ? BC ? CA ? 2 ,求三棱锥 E ? ABC 的体积.

(18) (本小题共 13 分) 为普及宪法知识,某中学举行了首届“宪法知识大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的 成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100 分)作为样本(样本容 量为 n )进行统计.按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90,100] 的分组作出频率分 布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50, 60) , [90,100] 的数据) . (Ⅰ)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x , y 的值; (Ⅱ)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取两名学生参加 “全民宪法知识大赛” ,求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90,100] 内的概率.
频率 组距 0.040 x 0.016 0.010 y O 50 60 70 80 90 100 成绩(分)

5 6 7 8 9

1 2 3 4 5

6 7 8

3 4

(19) (本小题共 13 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1,椭圆 C2 的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,与 C1 有相同 4

的离心率,且过椭圆 C1 的长轴端点. (Ⅰ)求椭圆 C2 的标准方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 OB ? 2OA ,求直线 AB 的方 程.

-4-

(20) (本小题共 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? bx2 , a , b ? R .

(Ⅰ)若 f ( x ) 在 x ? 1 处与直线 y ? ?

1 相切,求 a , b 的值; 2 1 e

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求 f ( x ) 在 [ , e] 上的最大值;

(Ⅲ)若不等式 f ( x) ? x 对所有的 b ? (?? , 0] , x ? (e,e2 ] 都成立,求 a 的取值范围.

-5-

-6-

-7-

-8-

-9-

- 10 -

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