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[最新]高中数学人教B版必修一学案:1.2.1 集合之间的关系

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1.2 集合之间的关系与运算
1.2.1 集合之间的关系
[学习目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义,能写出给定集合的子集.2.能使用 Venn 图 表示集合间的关系.3.理解集合关系与其特征性质之间的关系,并能简单应用.

[知识链接] 1.已知任意两个实数 a,b,如果满足 a≥b,b≥a,则它们的大小关系是 a=b. 2.若实数 x 满足 x>1,如何在数轴上表示呢? x≥1 时呢? 3.方程 ax2-(a+1)x+1=0 的根一定有两个吗? [预习导引] 1.集合相等、子集、真子集的概念 (1)集合相等: ①定义:如果集合 A 的每一个元素都是集合 B 的元素,反过来,集合 B 的每一个元素也都 是集合 A 的元素,那么就说集合 A 等于集合 B. ②符号表示:A=B.

③图形表示: (2)子集 ①定义:如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 的元素,那么集合 A 叫做集合 B 的子集. ②符号表示:A?B 或 B?A.

③图形表示:



(3)真子集

①定义:如果集合 A 是集合 B 的子集,并且 B 中至少有一个元素不属于 A,那么集合 A 叫

做集合 B 的真子集.

②符号表示:A B 或 B A.

③图形表示:

2.集合关系与其特征性质之间的关系 设 A={x|p(x)},B={x|q(x)},则有
集合间的关系 A?B A?B A=B
3.?与其它集合之间的关系 (1)?是任意一个集合的子集; (2)?是任意一个非空集合的真子集.

特征性质间的关系 p(x)?q(x) q(x)?p(x) p(x)?q(x)

要点一 有限集合的子集确定问题 例 1 写出集合 A={1,2,3}的所有子集和真子集. 解 由 0 个元素构成的子集:?; 由 1 个元素构成的子集:{1},{2},{3}; 由 2 个元素构成的子集:{1,2},{1,3},{2,3}; 由 3 个元素构成的子集:{1,2,3}. 由此得集合 A 的所有子集为?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}. 在上述子集中,除去集合 A 本身,即{1,2,3},剩下的都是 A 的真子集. 规律方法 1.求解有限集合的子集问题,关键有三点: (1)确定所求集合; (2)合理分类,按照子集所含元素的个数依次写出; (3)注意两个特殊的集合,即空集和集合本身. 2.一般地,若集合 A 中有 n 个元素,则其子集有 2n 个,真子集有 2n-1 个,非空真子集有 2n-2 个. 跟踪演练 1 已知集合 M 满足{2,3}?M?{1,2,3,4,5},求集合 M 及其个数. 解 当 M 中含有两个元素时,M 为{2,3}; 当 M 中含有三个元素时,M 为{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5}; 当 M 中含有四个元素时,M 为{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}; 当 M 中含有五个元素时,M 为{2,3,1,4,5}; 所以满足条件的集合 M 为{2,3},{2,3,1},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,1,4},{2,3,1,5},{2,3,4,5}, {2,3,1,4,5},集合 M 的个数为 8. 要点二 集合间关系的判定 例 2 指出下列各对集合之间的关系:

(1)A={-1,1},B={(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)}; (2)A={x|x 是等边三角形},B={x|x 是等腰三角形}; (3)A={x|-1<x<4},B={x|x-5<0}; (4)M={x|x=2n-1,n∈N*},N={x|x=2n+1,n∈N*}. 解 (1)集合 A 的代表元素是数,集合 B 的代表元素是有序实数对,故 A 与 B 之间无包含关 系. (2)等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等的三角形,故 A B. (3)集合 B={x|x<5},用数轴表示集合 A,B 如图所示,由图可知 A B.
(4)由列举法知 M={1,3,5,7,…},N={3,5,7,9,…},故 N M. 规律方法 对于连续实数组成的集合,通常用数轴来表示,这也属于集合表示的图示法.注 意在数轴上,若端点值是集合的元素,则用实心点表示;若端点值不是集合的元素,则用空 心点表示. 跟踪演练 2 集合 A={x|x2+x-6=0},B={x|2x+7>0},试判断集合 A 和 B 的关系. 解 A={-3,2},B=???x|x>-72???. ∵-3>-72,2>-72, ∴-3∈B,2∈B∴A?B 又 0∈B,但 0?A,∴A B. 要点三 由集合间的关系求参数范围问题 例 3 已知集合 A={x|-3≤x≤4},B={x|2m-1<x<m+1},且 B?A. 求实数 m 的取值范围. 解 ∵B?A, (1)当 B=?时,m+1≤2m-1,解得 m≥2.
??-3≤2m-1, (2)当 B≠?时,有?m+1≤4,
??2m-1<m+1,
解得-1≤m<2,综上得{m|m≥-1}. 规律方法 1.(1)分析集合间的关系时,首先要分析、简化每个集合.(2)利用数轴分析法,将 各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误. 2.涉及字母参数的集合关系时,注意数形结合思想与分类讨论思想的应用. 跟踪演练 3 已知集合 A={x|1≤x≤2},B={x|1≤x≤a,a≥1}. (1)若 A B,求 a 的取值范围;

(2)若 B?A,求 a 的取值范围. 解 (1)若 A B,由图可知 a>2.
(2)若 B?A,由图可知 1≤a≤2.
1.集合 A={x|0≤x<3,x∈N}的真子集的个数为( ) A.4 B.7 C.8 D.16 答案 B 解析 可知 A={0,1,2},其真子集为:?,{0},{1},{2},{0,1},{0,2},{1,2}.共有 23-1 =7(个). 2.设集合 M={x|x>-2},则下列选项正确的是( ) A.{0}?M B.{0}∈M C.?∈M D.0?M 答案 A 解析 选项 B、C 中均是集合之间的关系,符号错误;选项 D 中是元素与集合之间的关系, 符号错误. 3.已知 M={-1,0,1},N={x|x2+x=0},则能表示 M,N 之间关系的 Venn 图是( )
答案 C 解析 M={-1,0,1},N={0,-1},∴N M. 4.已知集合 A={2,9},集合 B={1-m,9},且 A=B,则实数 m=________. 答案 -1 解析 ∵A=B,∴1-m=2,∴m=-1. 5.已知? {x|x2-x+a=0},则实数 a 的取值范围是________. 答案 {a|a≤14} 解析 ∵? {x|x2-x+a=0}. ∴{x|x2-x+a=0}≠?. 即 x2-x+a=0 有实根. ∴Δ=(-1)2-4a≥0,得 a≤14.

1.对子集、真子集有关概念的理解 (1)集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素,即由 x∈A,能推出 x∈B,这是判断 A ?B 的常用方法. (2)不能简单地把“A?B”理解成“A 是 B 中部分元素组成的集合”,因为若 A=?时,则 A 中不含任何元素;若 A=B,则 A 中含有 B 中的所有元素. (3)在真子集的定义中,A、B 首先要满足 A?B,其次至少有一个 x∈B,但 x?A. 2.集合子集的个数 求集合的子集问题时,一般可以按照子集元素个数分类,再依次写出符合要求的子集.集合 的子集、真子集个数的规律为:含 n 个元素的集合有 2n 个子集,有 2n-1 个真子集,有 2n -2 个非空真子集.
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