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吉林省吉林市第五十五中学2015-2016学年高二数学上学期期末考试试题 理

2015—2016 上学期期末高二数学(理)试卷
一、选择题,每题 5 分,合计 60 分 1、下列语句是命题的为 ( ) A. x-1=0 B. 他还年青 C. 20-5×3=10 D. 在 2020 年前,将有人登上为火星 2.、顶点在原点,且过点 (?4, 4) 的抛物线的标准方程是 A. y 2 ? ?4 x C. y 2 ? ?4 x 或 x2 ? 4 y 3、设 a ? R ,则 a ? 1 是 A.充分但不必要条件 C.充要条件 4、已知向量 a A. 6 和-10 B. x2 ? 4 y D. y 2 ? 4 x 或 x2 ? ?4 y ) B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

1 ? 1 的( a

? (2,?3,5) 与向量 b ? (?4, x, y ) 平行,则 x,y 的值分别是(
B. –6 和 10 C. –6 和-10 ) C. y ? ? D. 6 和 10

x2 y2 5.双曲线 ? ? ?1 的渐近线方程是( 4 9
A. y ? ?

3 x 2

B. y ? ?

2 x 3

9 x 4

D. y ? ?

4 x 9

6.如图,空间四边形 ABCD 中,M、G 分别是 BC、CD 的中点, 则 AB A. AD C. AG

1 1 ? BC ? BD 2 2
B. GA

等于(



D. MG

7. 命题“若 a ? b ,则 a ? c ? b ? c ”的逆否命题是 A. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b B. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b C. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b D. 若 a ? c ? b ? c ,则 a ? b 8 . 已知椭圆 A. 4 .

x2 y2 ? ? 1,若其长轴在 y 轴上.焦距为 4 ,则 m 等于 10 ? m m ? 2 B. 5 . C. 7 . D. 8 .
( )

9、向量 a ? (2,?1,2) ,与其共线且满足 a ? x ? ?18 的向量 x 是 A. ( , ,? )

1 1 2 3

1 4

B. (4,-2,4)

C. (-4,2,-4) D. (2,-3,4) 10.以下有四种说法,其中正确说法的个数为:
1

(1) “m 是实数”是“m 是有理数”的充分不必要条件;
2 2 (2) “ a ? b ”是“ a ? b ”的充要条件;

(3) “ x ? 3 ”是“ x ? 2 x ? 3 ? 0 ”的必要不充分条件; B B ? ”是“ A ? ? ”的必要不充分条件. (4) “ A? A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
2

x2 y 2 ? 11。 双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0 ,b ? 0 ) 的左、 右焦点分别是 F1,F2 , 过 F1 作倾斜角为 30 a b 的直线交双曲线右支于 M 点,若 MF2 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率为
A. 6 B. 5 C. 3 D. 2

x2 y 2 12.双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0) 的两个焦点为 F1、 F2,若 P 为其上一点, 且|PF1|=3|PF2|, a b
则双曲线离心率的取值范围为 ( A.(1,2) B. ?1, 2? ) C.(3,+ ? ) D. ?3, ?? ?

二、填空题,每题 5 分,合计 20 分。 13 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线方程为 4 x ? 3 y ? 0 ,则双曲线的离心率为___ a2 b2
2

14.命题“存在有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 ”的否定为 15.M 是椭圆 的面积等于



x2 y 2 ? ? 1 上的点,F1 、F2 是椭圆的两个焦点,?F1MF2 ? 60? , 则 ?F 1MF 2 25 9


16.已知下列命题( a , b, c 是非零向量) (1)若 a ? b ? a ? c ,则 b ? c ; (2)若 a ? b ? k ,则 a ? (3)

k b

;

(a ? b)c ? a(b ? c)

则假命题的个数为___________ 三、解答题,17 题 10 分,18-22 题每题 12 分,合计 70 分。 17.写出命题“若m,n都是有理数,则m+n是有理数。 ”的逆命题,否命题和逆否命题,并 判断所有命题的真假

18. (本小题満分12分) 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、CD的中点.

2

(Ⅰ)证明AD⊥D1F; (Ⅱ)求AE与D1F所成的角; (Ⅲ)证明面AED⊥面A1FD1;

19(本小题满分 12 分)已知命题 p : “直线 y=kx+1 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点” 命题 5 a

q :只有一个实数 x 满足不等式 x2 ? 2ax ? 2a ? 0 . 若命题“p 或 q”是假命题,求实
数 a 的取值范围.

20. (本小题满分 12 分)已知椭圆的顶点与双曲线 之和为

y 2 x2 ? ? 1 的焦点重合,它们的离心率 4 12

13 ,若椭圆的焦点在 x 轴上,求椭圆的方程. 5

21、 如图 1,在直角梯形 ?? CD 中, ?D//?C ,???D ?

?
2

, ?? ? ?C ? 1, ?D ? 2 ,

? 是 ?D 的中点,? 是 ? C 与 ?? 的交点.将 ???? 沿 ?? 折起到 ??1?? 的位置,如图 2 .

? ? ? 证明: CD ? 平面 ?1?C ; ? ?? ? 若平面 ?1?? ? 平面 ?CD? ,求平面 ?1?C 与平面 ?1CD 夹角的余弦值.

3

22 (本小题满分 12 分)双曲线 C 的中心在原点,右焦点为 F ?

?2 3 ? ? ? 3 , 0 ? ,渐近线方程为 ? ?

y ? ? 3x .
(Ⅰ)求双曲线 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l : y ? kx ? 1 与双曲线 C 交于 A 、B 两点, 问: 当 k 为何值时, 以 AB 为 直径的圆过原点;

4

2015—2016 上学期期末高二数学(理)试卷答案 一、选 择 题 本 题 共 12 小题, 每 小 题 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

分 . 题号 答案 题号 答案 C 11 C C 12 B A A A C C D C A

二、填空题 本题共 4 小题,每小题 5 分. 13、 5\3
2

14、 任意有理数 x ,使 x ? 2 ? 0 15、 16、

3 3
3

三.解答题:本大题共 6 小题,解答请写在答题卷上,解答题要写出 文字说明, 证明过程或演算步骤. 17、略 18、(Ⅰ) AD ∴AD⊥D1F (Ⅱ)

1 ? (?1,0,0), D1 F ? (0, ,?1), AD ? D1F ? 0 2

1 AE ? (0,1, ), AE ? D1 F ? 0 2
0

∴AE⊥D1F AE 与 D1F 所成的角为 90 ∴面 AED⊥面 A1FD1; 19、略
5

(Ⅲ)由以上可知 D1F⊥平面 AED

20 、 解:设所求椭圆方程为

x2 y 2 ? ? 1 ,其离心率为 e ,焦距为 2 c ,双曲线 a 2 b2

y 2 x2 ? ? 1 的焦距为 2 c1 ,离心率为 e1 , (2 分) ,则有: 4 12 c12 ? 4 ? 12 ? 16 , c1 =4 (4 分) c ∴ e1 ? 1 ? 2 (6 分) 2 13 3 c 3 ? 2 ? ,即 ? ∴e ? ① (8 分) a 5 5 5 又 b ? c1 =4 ② (10 分)
a 2 ? b2 ? c 2 ③
由①、 ②、③可得 a ? 25
2

∴ 所求椭圆方程为 21、略

x2 y 2 ? ?1 25 16

(12 分)

22、 解: (Ⅰ)易知 双曲线的方程是 3x 2 ? y 2 ? 1. (Ⅱ)① 由 ?

? y ? kx ? 1,
2 2 ?3x ? y ? 1,

得 3 ? k 2 x 2 ? 2kx ? 2 ? 0 , 由 ? ? 0, 且3 ? k 2 ? 0 ,得 ? 6 ? k ? 6, 且 k ? ? 3 . 设 A?x1 , y1 ? 、 B?x2 , y 2 ? ,因为以 AB 为直径的圆过原点,所以 OA ? OB , 所以 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 . 又 x1 ? x2 ?

?

?

?2k 2 , x1 x2 ? 2 , 2 k ?3 k ?3

所以 y1 y2 ? (kx1 ? 1)(kx2 ? 1) ? k 2 x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 1, 所以

2 ? 1 ? 0 ,解得 k ? ?1 . k ?3
2

6


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