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推理与证明练习doc

颍上一中高二年级数学周周练
一、选择题: 1.已知{an}为等比数列,a5=2,那么有等式 a1·a2·…·a9=29 成立.类比上述性质,相应 的:若{bn}为等差数列,b5=2,则有( ) 9 A b1+b2+…+b9=2 B b1·b2·…·b9=29 C b1+b2+…+b9=2×9 D b1·b2·…·b9=2×9 2.观察下列各等式:

2 6 5 3 7 1 10 ?2 ? ? 2, ? ? 2, ? ? 2, ? ?2, 2?4 6?4 5?4 3?4 7 ? 4 1? 4 10 ? 4 ?2 ? 4 依照以上各式成立的规律,得到一般性的等式为( ) n 8?n n ?1 (n ? 1) ? 5 ? ?2 ? ?2 A. B. n ? 4 (8 ? n ) ? 4 (n ? 1) ? 4 (n ? 1) ? 4
C.
n n?4 ? ?2 n ? 4 (n ? 4) ? 4
1 4 5 2 8 9 1 2

D.

n ?1 n?5 ? ?2 (n ? 1) ? 4 ( n ? 5) ? 4

3. 若把正整数按下图所示的规律排序,则从 2002 到 2004 年的箭头方向依次为(
? 3 6 7 1 0 1 1



A .

B .

C .

D .

4. 对于不等式 n2+n<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12+1<1+1,不等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N*)时, 不等式成立, 即 k2+k<k+1, 则当 n=k+1 时, ?k+1?2+?k+1? = k2+3k+2< ?k2+3k+2?+?k+2?= ?k+2?2=(k+1)+1, ∴当 n=k+1 时,不等式成立,则上述证法 A.过程全部正确 C.归纳假设不正确 B.n=1 验得不正确 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确 ( ) ( )

5.用数学归纳法证明命题“当 n 是正奇数时,xn+yn 能被 x+y 整除”,在 第二步时,正确的证法是 A.假设 n=k(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 B.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+1 命题成立 C.假设 n=2k+1(k∈N+),证明 n=k+1 命题成立 D.假设 n=k(k 是正奇数),证明 n=k+2 命题成立 6.已知 f ( x ? 1) ?

2 f ( x) , f (1) ? 1 (x ? N *) ,猜想 f ( x) 的表达式为 f ( x) ? 2 4 2 1 2 A. f ( x ) ? x B. f ( x ) ? C. f ( x ) ? D. f ( x) ? 2 ?2 x ?1 x ?1 2x ?1


7 利用数学归纳法证明“1+a+a2+?+an 1= 立时,左边应该是 A 1 B ( 1+a ) C

1 ? a n?2 , (a≠1,n∈N)”时,在验证 n=1 成 1? a
D 1+a+a2+a3

1+a+a2

8、某个命题与正整数 n 有关, 如果当 n ? k (k ? N ? ) 时命题成立, 那么可推得当 n ? k ? 1 时 1

命题也成立. 现已知当 n ? 7 时该命题不成立,那么可推得 A.当 n=6 时该命题不成立 C.当 n=8 时该命题不成立 B.当 n=6 时该命题成立 D.当 n=8 时该命题成立





9、用数学归纳法证明“ (n ? 1)(n ? 2)?(n ? n) ? 2 n ? 1? 2 ? ?? (2n ? 1) ” ( n ? N ? )时,从 “ n ? k到n ? k ? 1”时,左边应增添的式子是 A. 2 k ? 1 B. 2(2k ? 1) C. ( D. )

2k ? 1 k ?1

2k ? 2 k ?1

10.用反证法证明命题 “若整系数一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理根, 那么 a , b, c 中至少有一个是偶数”时,下列假设中正确的是( A 假设 a , b, c 不都是偶数 C 假设 a , b, c 至多有一个是偶数 二、填空题: 11.已知 2 ?
2 2 3 3 ? 2 , 3? ?3 , 3 3 8 8
4? 4 4 a a ?4 ,? , 若 6 ? ? 6 , (a、b 均为实数) , 15 15 b b



B 假设 a , b, c 都不是偶数 D 假设 a , b, c 至多有两个是偶数

请推测 a=________,b=_______. 12.在等差数列 {an } 中,若 a10 ? 0 ,则有等式 a1 ? a2 ? ? ? an ? a1 ? a2 ? ? ? a19?n

(n ? 19, n ? N * ) 成立,类比上述性质,相应地:在等比数列 {bn } 中,若 b9 ? 1 ,则有等式
成立。 13.如图 2-1-2(1) ,若从点 O 所作的两条射线 OM、ON 上分别有点 M1、M2 与点 N1、 N2,则三角形面积之比

S?OM1 N1 S?OM 2 N2

?

OM 1 ON1 ? .若从点 O 所作的不在同一平面内的三条射 OM 2 ON 2

线 OP、OQ 和 OR 上分别有点 P1、P2,点 Q1、Q2 和点 R1、R2(如图 2-1-2(2) ) ,则 类似的结论为______.

[来源:学科网 ZXXK]

14 已知 ?ABC 的三边长为 a, b, c ,内切圆半径为

r (用 S ?ABC表示?ABC的面积) ,

2

? r (a ? b ? c) S 则 ?ABC 2 ;类比这一结论有:若三棱锥 A ? BCD 的内切球半径为 R ,则三
棱锥体积

1

V A? BCD ?

15. 已知整数对的序列如下:(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2),(3,1), (1,4), (2,3),(3,2),(4,1),(1,5),(2,4),?,则第 60 个数对是________.

三、解答题:
16、观察以下各等式,分析三式的共同特点,猜想出反映一般规律的等式,并作出证明.

sin 2 300 ? cos 2 600 ? sin 300 cos 600 ?
3 4

3 , 4

sin 2 200 ? cos 2 50 0 ? sin 20 0 cos 500 ?

3 4

sin 2 150 ? cos 2 450 ? sin150 cos 450 ?

17、.已知 a,b,c 为不全相等的正实数,求证:

b?c?a c?a?b a?b?c ? ? ?3 a b c
1 1 1 , ,

18. 已知正数 a, b, c 成等差数列,且公差 d ? 0 ,求证: a b c 不可能是等差数列。

19、用数学归纳法证明:

12 22 n2 n(n ? 1) ? ??? ? ; 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1)(2n ? 1) 2(2n ? 1)

20.在各项为正的数列 {an } 中,数列的前 n 项和 Sn 满足 S n ?

1 1 (a n ? ) 2 an

(1)求 a1 , a2 , a3 (2)由(1)猜想数列 {an } 的通项公式,并且用数学归纳法证明你的猜想.

21 .等 比数 列 { an } 的前 n 项 和为 Sn , 已 知对 于任 意的 n ? N , 点 (n , Sn ) 均 在 函数

?

y ? b x ? r (b ? 0 且 b ? 1, b, r 均为常数)的图像上.
(1)求 r 的值.
? (2) 当 b ? 2 时,记 bn ? 2?log2 an ? 1? n ? N ? , 证明:对于任意的 n ? N ,不等式

?

?

3

b ?1 b1 ? 1 b2 ? 1 ? n ? 1 成立. ? ??? n b1 b2 bn

4


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