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高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第6讲函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用知能训练

第 6 讲 函数 y=Asin(ω x+φ )的图象及三角函数模型的简单应用 π? ? ? π ? 1.函数 y=sin?2x- ?在区间?- ,π ?上的简图是( 3 ? ? ? 2 ? ) 3 ? π? ? π? ?π ? 解析:选 A.令 x=0,得 y=sin?- ?=- ,排除 B,D.由 f?- ?=0,f? ?=0,排除 3 3 2 ? ? ? ? ?6? C. 2. (2015·高考陕西卷 )如图,某港口一天 6 时到 18 时的水深变化曲线近似满足函数 y = π 3sin( x+φ )+k.据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( 6 ) A.5 B.6 C.8 D.10 解析:选 C.根据图像得函数的最小值为 2,有-3+k=2,k=5,最大值为 3+k=8. π ?π ? 3.函数 f(x)=tan ω x(ω >0)的图像的相邻两支截直线 y=2 所得线段长为 ,则 f? ?的 2 ?6? 值是( A.- 3 C.1 ) B. 3 3 D. 3 π π π 解析:选 D.由题意可知该函数的周期为 ,所以 = ,ω =2, 2 ω 2 f(x)=tan 2x,所以 f? ?=tan = 3. 6 4.(2016· 辽 宁 省 五 校 联 考 ) 函 数 ?π ? ? ? π 3 f(x) = sin(ω x + π ? ? φ )?其中|φ |< ,ω >0?的图像如图所示,为了得到 y=sin ω x 的图 2 ? ? 像,只需把 y=f(x)的图像上所有点( π A.向右平移 个单位长度 6 π B.向右平移 个单位长度 12 π C.向左平移 个单位长度 6 π D.向左平移 个单位长度 12 ) T 7π π 2π π ?π ? 解析: 选 A.由图像知, = - , 所以 T=π .又π = , 所以 ω =2.由 f? ?=0 得 2× 4 12 3 ω 3 ?3? + φ = k π (k∈Z) ,即 φ = k π - 2π π π (k∈Z) .因为 |φ |< ,所以 φ = ,即 f(x) = 3 2 3 π? ? ? ? π ?? sin?2x+ ?=sin?2?x+ ??,可知选 A. 3? 6 ?? ? ? ? π? ? 5.设函数 f(x)= 3cos(2x+φ )+sin(2x+φ )?|φ |< ?,且其图像关于直线 x=0 对称, 2? ? 则( ) ? π? A.y=f(x)的最小正周期为π ,且在?0, ?上为增函数 2? ? ? π? B.y=f(x)的最小正周期为π ,且在?0, ?上为减函数 2? ? C.y=f(x)的最小正周期为 D.y=f(x)的最小正周期为 π ? π? ,且在?0, ?上为增函数 4? 2 ? π ? π? ,且在?0, ?上为减函数 4? 2 ? π ? ? 解析:选 B.f(x)= 3cos(2x+φ )+sin(2x+φ )=2sin?2x+ +φ ?, 3 ? ? 因为其图像关于直线 x=0 对称, 所以 f(x)是偶函数, π π 所以 +φ = +kπ ,k∈Z; 3 2 π 又因为|φ |< , 2 π 所以 φ = . 6 π π? ? 所以 f(x)=2sin?2x+ + ?=2cos 2x. 3 6? ? ? π? 易知 f(x)的最小正周期为π ,在?0, ?上为减函数. 2? ? 6.(2016·合肥质检)已知函数 f(x)=sin ω x+cos ω x,如果存在实数 x1,使得对任意的 实数 x,都有 f(x1)≤f(x)≤f(x1+2 015)成立,则 ω 的最小正值为( ) A. 1 π B. 2 015 2 015 C. 1 π D. 4 030 4 030 π? ? 解析:选 B.依题意得函数 f(x)= 2sin?ω x+ ?在 x=x1 处取得最小值,在 x=x1+2 015 4? ? 2π 2k+1 2k+1 π 处取得最大值,因此 × =2 015,即 ω = π (k∈Z),ω 的最小正值为 , ω 2 2 015 2 015 故选 B. π? π ? 7.已知函数 f(x)=sin?2x+ ?与 g(x)的图像关于直线 x= 对称,将 g(x)的图像向左平 3? 6 ? 移 φ (φ >0)个单位后与 f(x)的图像重合,则 φ 的最小值为________. 解析:函数 g(x)的解析式为 g(x)=sin 2x,其图像向左平移 φ 个单位后对应解析式为 y= sin(2x+2φ ),从而 2φ = π 答案: 6 π π? ? 8.(2014·高考重庆卷)将函数 f(x)=sin(ω x+φ )?ω >0,- ≤φ < ?图像上每一点的 2 2? ? 横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移 π 个单位长度得到 y=sin x 的图像, 6 π π +2kπ ,即 φ = +kπ (k∈N),所以 φ 3 6 min π = . 6 ?π ? 则 f? ?=________. ?6? π ? π? 解析:将 y=sin x 的图像向左平移 个单位长度可得 y=sin?x+ ?的图像,保持纵坐标 6? 6 ? ?1 π ? 不变,横坐标变为原来的 2 倍可得 y=sin? x+ ?的图像, 6? ?2 ?1 π ? 故 f(x)=sin? x+ ?. 6? ?2 π 2 ?π ? ?1 π π ? 所以 f? ?=sin? × + ?=sin = . 6 2 6 6 4 2 ? ? ? ? 答案: 2 2 ?π ? 9.(2016·江西省期中诊断)设函数 f(x)=cos(ω x+φ )(ω >0),若 f(x)在? ,π ?上单 ?3 ? ?π ? ? π ? ? 5π ? 调且 f? ?=f?- ?=-f? ?,则 ω 的值为________. ?3? ? 6? ? 6 ? ?π ? 解析:因

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