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直线和圆的方程同步测试题 人教版


直线和圆的方程同步测试题
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.若直线 x ? 1 的倾斜角为 ? ,则 ? ( )

A.等于 0

? B.等于 4

? C.等于 2


D.不存在 D.7,1 ( ) D. 2 3

2.点 P(2,3)到直线:ax+(a-1)y+3=0 的距离 d 为最大时,d 与 a 的值依次为 ( A.3,-3 B.5,1 C.5,2 3.圆 x ? y ? 4 截直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 所得的弦长是
2 2

A.2

B.1

C. 3

? 4.若直线 3x ? y ? 1 ? 0 到直线 x ? ay ? 0 的角为 6 ,则实数 a 的值等于





A.0
2 2

B. 3

C.0 或 3

?
D.

3 3

5.若圆 x ? y ? 2kx ? 2 y ? 2 ? 0(k ? 0) 与两坐标轴无公共点,那么实数 k 的取值范围是 ( A. 0 ? k ? ) B. 1 ? k ?

2

2

C. 0 ? k ? 1 ( )

D. k ?

2

2 6.若直线 y ? k ( x ? 2) 与曲线 y ? 1 ? x 有交点,则

3 3 ? 3 A. k 有最大值 3 ,最小值 ? 3 3

1 1 ? B. k 有最大值 2 ,最小值 2 1 D. k 有最大值 0,最小值 2 ?
( )

C. k 有最大值 0,最小值

7.如图,设点 C(1,0),长为 2 的线段 AB 在 y 轴上滑动,则直线 AB、AC 所成的最大夹角是 y A B C x A.30° B.45° C.60° 8.如果直线(2a+5)x+(a-2)y+4=0 与直线(2-a)x+(a+3)y-1=0 互相垂直,则 a 的值等于( A. 2 B.-2 C.2,-2
2x ? y ? 4 x ? 2y ? 4 x ? 0, y ? 0 ,则 z ? x ? y 的最大值是

O

D.90° ) D.2,0,-2

9.已知 x,y 满足约束条件
4 A. 3





8 B. 3
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C.2
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D.4
-1-

x ? 1 ? 2 cos?

10.直线 3x ? y ? 2 3 ? 0 与圆

y ? 3 ? 2 sin? (θ为参数)的位置关系是

(

)

A. 相离 B.相切 C. 相交但不过圆心 D. 相交且过圆心 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11. 直线 l 的倾角α满足 4sinα=3cosα, 而且它在 x 轴上的截距为 3, 则直线 l 的方程是_____________________. y ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3, 则 x 的最大值是 12.若实数 x,y 满足 . 13.点 P (a , 3) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离等于 4,且在不等式 2 x ? y ? 3 表示的平面区域内,则点 P 的坐标是 _______________.

x y l: ? ? 1 14.已知直线 4 3 , M 是 l 上一动点,过 M 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足分别为 A 、 B ,则在 A 、 B 连
线上,且满足 AP ? 2 PB 的点 P 的轨迹方程是____________________. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 76 分) 15.已知直线 l 满足下列两个条件: (1)过直线 y = – x + 1 和 y = 2x + 4 的交点; (2)与直线 x –3y + 2 = 0 垂直,求直线 l 的方程. (12 分)

16.求经过点 A(2,?1) ,和直线 x ? y ? 1 相切,且圆心在直线 y ? ?2 x 上的圆方程. (12 分)

17.某承包户承包了两块鱼塘,一块准备放养鲫鱼,另一块准备放养鲤鱼,现知放养这两种鱼苗时都需要鱼料 A、 B、C,每千克鱼苗所需饲料量如下表: 鱼类 鲫鱼/kg 鲤鱼/kg 鱼料 A 15g 8g 鱼料 B 5g 5g 鱼料 C 8g 18g

如果这两种鱼长到成鱼时,鲫鱼和鲤鱼分别是当时放养鱼苗重量的 30 倍与 50 倍,目前这位承包户只有饲料 A、B、 C 分别为 120g、50g、144g,问如何放养这两种鱼苗,才能使得成鱼的重量最重. (12 分)

x, y 的正半轴与 A、B 两点,O 为原点, OA =a, 18.已知与曲线 C: x ? y ? 2x ? 2 y ? 1 ? 0 相切的直线 l 交
2 2

OB ? b

, (a ? 2, b ? 2) .

(1)求线段 AB 中点的轨迹方程;
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(2)求 ab 的最小值. (12 分)

19.已知直线 l :y=k(x+2 2 )与圆 O:x2+y2=4 相交于 A、B 两点,O 是坐标原点,三角形 ABO 的面积为 S. (1)试将 S 表示成 k 的函数,并求出它的定义域; (2)求 S 的最大值,并求取得最大值时 k 的值. (14 分)

20.已知 a , b 都是正数,△ABC 在平面直角坐标系 xOy 内, 以两点 A (a ,0 )和 B (0,b )为顶点的正三角形,且 它的第三个顶点 C 在第一象限内. (1)若△ABC 能含于正方形 D = { ( x , y ) | 0 ? x ? 1, 0? y ? 1}内, 试求变量 a , b 的约束条件,并在 直角坐标系 aOb 内画出这个约束条件表示的平面区域; (2)当(a, b )在(1)所得的约束条件内移动时,求△ABC 面积 S 的最大值,并求此时(a , b)的值.(14 分)

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参考答案 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分)

题号 答案

1 C

2 B

3 A

4 D

5 B

6 C
( ?3,3)

7 D

8 C

9 B

10 C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分) 11.3x-4y-9=0 12. 3 13. 14.3x+2y=4

三、解答题(本大题共 6 题,共 76 分) 15. (12 分)

? y ? ?x ? 1 ? y ? 2 x ? 4 ,得交点 ( –1, 2 ), ∵ k l = – 3, ∴ 所求直线 l 的方程为: 3x + y + 1 = 0. [解析]:由 ?
16. (12 分)

y ? ?2x [解析]: 由题意知:过 A(2,-1)且与直线:x+y=1 垂直的直线方程为:y=x-3,∵圆心在直线:y=-2x 上, ∴由 y ? x ? 3 ?
x ?1
2 2 y ? ?2 即 o1 (1,?2) ,且半径 r ? AO1 ? (2 ?1) ? (?1 ? 2) ? 2 ,

∴所求圆的方程为: 17. (12 分)

( x ?1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 2 .

15x ? 8 y ? 120 5 x ? 5 y ? 50 w ? 30x ? 50y( x, y ? 0) 8 x ? 18y ? 144 [解析]:设放养鲫鱼 xkg,鲤鱼 ykg,则成鱼重量为 ,其限制条件为
画出其表示的区域(如图) ,不难找出使 30x+50y 最大值为 428kg. 答:鲫鱼放养 3.6kg,鲤鱼放养 6.4kg,此时成鱼的重量最重.

y
18. (12 分)

y B

D

C(3.6,6.4) B C x 8x+8y=144 o A x

O

A 3x+5y=0 5x+5y=50 15x+8y=120

[解析]: (1)设 AB 的中点为 P(x,y) ,圆 C 的方程化简为:

( x ? 1) 2 ? ( y ?1) 2 1,?C(1,1), r ? 1

x y ? ? 1, 即bx ? ay ? ab ? 0(a ? 2, b ? 2) 又直线 l 的方程为: a b ,? l与圆C相切 ,
? d C ?l ? a ? b ? ab a ?b
2 2

? 1 ? a 2 ? b 2 ? (a ? b ? ab) 2 ? a 2 b 2 ? 2ab ? 2a 2 b ? 2ab2 ? 0
? a ? 2, b ? 2

? ab ? 2 ? 2a ? 2b ? 0 ? (a ? 2)b ? 2a ? 2 ? b ?

2a ? 2 a?2

①,又∵P 是 AB 的中点,

?x ?

a b ,y? 2 2

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-4-

? a ? 2 x, b ? 2 y
? ab ?
(2)

y?
,代入①得

2x ?1 2x ?1 ( x ? 1) y? ( x ? 1) 2x ? 2 2 x?2 ,即线段 AB 中点的轨迹方程为; .

2a(a ?1) 2a 2 ? 2a 2(a ? 2) 2 ? 6(a ? 2) ? 4 4 ? ? ? 2(a ? 2) ? ?6 a?2 a?2 a?2 a?2 , a ?2 ? 0

? 2(a ? 2) ?

4 ?4 2 a?2 , ? ab ? 6 ? 4 2 .∴ ab的最小值为6 ? 4 2 .

19. (14 分)

? l : kx ? y ? 2 2 k ? 0,? d O ?l ?
[解析]:(1)

2 2k k 2 ?1

? AB ? 2 4 ? (

2 2k k 2 ?1

)2 ? 4

1? k 2 1? k 2

?S ?

4 2 k 2 (1 ? k 2 ) 1 AB ? d O ?l ? 0 ? d O ?l ? 2 ? ?1 ? k ? 1且k ? 0 2 1? k 2 ,定义域: .

(2)设

k 2 ?1 ? t (t ? 1), 则 k 2 (1 ? k 2 ) ? (t ?1)(2 ? t ) ? ? t 2 ? 3t ? 2
? t 2 ? 3t ? 2 3 2 1 3 1 ? 4 2 ? 1 ? ? 2 ? 4 2 ? 2( ? ) 2 ? t t t t 4 8,

?S ? 4 2 ?

1 3 4 3 1 3 ?当 ? , 即t ? 时,k ? ? , S max ? 4 2 ? ?2 ? t 4 3 3 2 2 3 ,∴S 的最大值为 2,取得最大值时 k= .
20. (14 分) [解析]:解: (1)由题意知:顶点 C 是分别以 A、B 为圆心,以|AB|为半径的两圆在第一象限的交点,由圆 A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 , 圆 B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 .

a ? 3b 2 解得 x = , y =

a ? 3b 3a ? b 3a ? b 2 2 2 ,∴C( , )

△ABC 含于正方形 D 内,即三顶点 A,B,C 含于区域 D 内时,



?0 ? a ? 1, ?0 ? b ? 1, ? ? a ? 3b ?0 ? ? 1, 2 ? ? 3a ? b ?0 ? ? 1. 2 ?

这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形, ∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外.

(2)∵△ABC 是边长为

a ?b
2

2

的正三角形,∴ S =

3 4 (

a2 + b2 )

在(1)的条件下, 当 S 取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大, 由六边形中 P、Q、R 相应的 OP、OQ、OR 的计算. OP2 = OR2 = 12 + ( 2 –

3 )2 = 8 – 4 3 ,OQ2 = 2( 3 – 1)2 = 8 – 4 3 . 3 ), 或( 3 – 1, 3 – 1), 或( 2 – 3 , 1 )时, Smax =2 3 – 3.

∴ OP = OR =OQ ∴当 ( a , b ) = ( 1, 2 –

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