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高二理科数学专项训练2


高二理科数学神舟班训练题(2013、03、16)
C1 已知函数 f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a (a ? 0, x ? R) 3 2

(I)求函数 f ( x) 的单调区间; (II)若函数 f ( x) 在区间 (?2,0) 内恰有两个零点,求 a 的取值范围;

C2

关于 x 的一元二次方程 x2-2ax+a+2=0,当 a 为何实数时

(1)不同两根在(1,3)之间;(2)有一根大于 2,另一根小于 2;(3)在(1,3)内有且只有一解

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B1

3 已知函数 f ( x) ? x ? 3ax ? 1, a ? 0

? ? ? 求 f ( x) 的单调区间; ? ?? ? 若 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极值,直线 y ? m 与 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,求 m 的取值范围。

B2、已知 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?

? 0 的解集是 ? 0,5? ,且 f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直

?

?

线 6 x ? y ? 1 ? 0 平行. (1)求 f (2)是否存在 t ?N ,使得方程 f
*

? x ? 的解析式;
? 0 在区间 ? t,t ? 1? 内有两个不等的实数根?

? x ? ? 37 x

若存在,求出 t 的值;若不存在,说明理由.

2/8

A1 、已知函数 f ( x) ? ax sin x ?

3 ? ?3 ? 。 (a ? R), 且在 [0, ] 上的最大值为 2 2 2

(I)求函数 f ( x) 的解析式; (II)判断函数 f ( x) 在 (0, ? ) 内的零点个数,并加以证明。

3/8

A2、已知函数 f ( x) ? e ? ax ? ex(a ? R ) .
x 2

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)试确定 a 的取值 范围,使得曲线 y ? f ( x) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一 个公共点 P .

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高二理科数学神舟班训练题(2013、03、16)
C1 【解析】(Ⅰ) f ( x) ?

1 3 1? a 2 x ? x ? ax ? a ? f ?( x) ? x 2 ? (1 ? a) x ? a ? ( x ? 1)( x ? a) 3 2

f ?( x) ? 0 ? x ? ?1 或 x ? a , f ?( x) ? 0 ? ?1 ? x ? a
得:函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??, ?1), (a, ??) ,单调递减区间为 (?1, a) (Ⅱ) 函数 f ( x) 在 (?2, ?1) 内单调递增,在 (?1,0) 内单调递减 原命题 ? f (?2) ? 0, f (?1) ? 0, f (0) ? 0 ? 0 ? a ?

1 3

C2

解 设 f(x)=x2-2ax+a+2,

Δ=4a2-4(a+2)=4(a2-a-2)=4(a-2)(a+1).

?1<a<3, (1)由已知条件? f?1?>0, ?f?3?>0,
Δ>0,

11 解得 2<a< 5 .

(2)由已知条件 f(2)<0,解得 a>2. 11 (3) 由已知条件 f(1)f(3)<0 解得 5 <a<3. 11 7 检验:当 f(3)=0,a= 5 时,方程的两解为 x=5,x=3, 11 当 f(1)=0,即 a=3 时,方程的两解为 x=1,x=5,可知 5 ≤a<3. ?Δ=0, 当? ?a=2. ?1<a<3 即 a=2 时 f(x)=x2-4x+4=(x-2)2 方程的解 x1=x2=2

11 ∴a=2,综上有 a=2 或 5 ≤a<3.

' 2 2 B1 解析: (1) f ( x) ? 3 x ? 3a ? 3( x ? a ), ' 当 a ? 0 时,对 x ? R ,有 f ( x) ? 0,

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 (??, ??)

' 当 a ? 0 时,由 f ( x) ? 0 解得 x ? ? a 或 x ?

a;

' 由 f ( x) ? 0 解得 ? a ? x ?

a,

当 a ? 0 时, f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ? a ), ( a , ??) ; f ( x) 的单调减区间为 ( ? a , a ) 。
5/8

(2)因为 f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值,
' 2 所以 f (?1) ? 3 ? (?1) ? 3a ? 0,? a ? 1. 3 ' 2 所以 f ( x) ? x ? 3x ? 1, f ( x) ? 3 x ? 3,

' 由 f ( x) ? 0 解得 x1 ? ?1, x2 ? 1 。

由 (1) 中 f ( x) 的单调性可知, f ( x) 在 x ? ?1 处取得极大值 f (?1) ? 1 , 在 x ? 1 处取得极小值 f (1) ? ?3 。 因为直线 y ? m 与函数 y ? f ( x) 的图象有三个不同的交点,又 f (?3) ? ?19 ? ?3 , f (3) ? 17 ? 1 , 结合 f ( x) 的单调性可知, m 的取值范围是 (?3,1) 。

B2(1)解:∵ f ∴可设 f ∵函数 f

? x ? 是二次函数,不等式 f ? x ?
? ax ? x ? 5? , a ? 0 .

? 0 的解集是 ? 0,5? ,
/ ∴ f ( x) ? 2ax ? 5a .

? x?

? x ? 在点 ?1, f ?1? ? 处的切线与直线 6 x ?

y ? 1 ? 0 平行,
∴f

∴ f / 1 ? ?6 .

??

∴ 2a ? 5a ? ?6 ,解得 a ? 2 .

? x?

? 2 x ? x ? 5? ? 2 x2 ? 10 x .

(2)解:由(1)知,方程 f 设h x

? x ? ? 37 x

? 0 等价于方程 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 ? 0 .

? ?
? ?

? 2 x3 ? 10 x 2 ? 37 , 则 h/ ? x ? ? 6 x2 ? 20 x ? 2 x ? 3x ? 10 ? .
? 10 ? 10 ? / ? 时, h ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? 0, ? 上单调递减; ……… 8 分 3? ? 3?

当 x ? ? 0,

当x ? ?

? 10 ? ? 10 ? , ?? ? 时, h/ ? x ? ? 0 ,函数 h ? x ? 在 ? , ?? ? 上单调递增. … 9 分 ?3 ? ?3 ? ? 10 ? 1 ? 0,h ? 4 ? ? 5 ? 0 , ? ? ? 27 ?3?
…………… 12 分

∵ h 3 ? 1 ? 0,h ?

??

∴方程 h x

? ?

? 10 ? ? 10 ? ? 0 在区间 ? 3, ? , ? , 4 ? 内分别有唯一实数根,在区间 ? 0,3? , ? 4,?? ? ? 3? ? 3 ?
∴存在唯一的自然数 t ? 3 ,使得方程 f

内没有实数根.

? x ? ? 37 x

? 0 在区间 ? t,t ? 1?

内有且只有两个不等的实数根.

6/8

A1。解 :? f ?( x) ? a(sin x ? x cos x), x ? (0, 当 a ? 0 时, f ( x ) ? ?

?
2

),?sin x ? x cos x ? 0

3 不合题意; 2 3 ,不合题意; 2 ? ? 3 ? ?3 ? f ( )? a? ? 2 2 2 2

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, [ f ( x)]max ? f (0) ? ? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, [ f ( x)]max

?a ? 1 ,所以综上 f ( x) ? x sin x ?

3 2

(2) f ( x) 在 (0, ? ) 上有两个零点.证明如下: 由(1)知 f ( x) ? x sin x ? ∴ f ( x) 在 [0, 故在 [0,

?

3 3 ? ? ?3 , f (0) ? ? ? 0, f ( ) ? ?0 2 2 2 2

] 上至少有一个零点,又由(1)知 f ( x) 在 [0, ] 上单调递增, 2 2

?

?

?? ? ] 上只有一个零点,当 x ? ? ,? ? 时,令 g ( x) ? f ?( x) ? sin x ? x cos x , 2 ?2 ?

? ?? ? ?? ? g ) ( ? 1 ? 0,( g ? ) ? ?? ? 0 , g ( x) 在 ? ,? ? 上连续,∴故存在 m ? ? ,? ? , g (m) ? 0 2 ?2 ? ?2 ?
?? ? ?? ? ' g ( x) ? 2 cos x - x sin x ? 0 ,∴ g ( x) 在 ? ,? ? 上递减,当 x ? ? ,m ? 时, g ( x) ? g (m) ? 0 , ?2 ? ?2 ?
' f( x) ? 0 , f ( x) 递增,∴当 x ? [ , m] 时, f ( x) ? f ( ) ? 2 2

?

?

? ?3
2

? 0 ? f ( x) 在 [ , m] 上无零点。 2

?

∴当 x ? (m, ? ) 时有 g ( x) ? g (m) ? 0,? f ?( x) ? 0 ,? f ( x) 在 (m, ? ) 内单调递减。 ∵ f (m) ? 0, f (? ) ? 0 且 f ( x) 在 (m, ? ) 上连续,∴ f ( x) 在 (m, ? ) 上只有一个零点, 综上 f ( x) 在 (0, ? ) 上有两个零点.

A2 解:(Ⅰ) f ( x) ? e ? ax ? ex ? f ?( x) ? e ? 2ax ? e 由题意得: f ?(1) ? e ? 2a ? e ? 0 ? a ? 0
x 2 x x f ?( x)? e ? e ? 0 ? ? x 1 ,? f (? x) ? 0 ? x得: 1

函数 f ( x) 的单调递增区间为 (1, ??) ,单调递减区间为 (??,1) (Ⅱ)设 P ( x0 , f ( x0 )) ; 则过切点 P 的切线方程为 y ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) 令 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? f ( x0 ) ;则 g ( x0 ) ? 0 切线与曲线只有一个公共点 P ? g ( x) ? 0 只有一个根 x0

g ?( x) ? f ?( x) ? f ?( x0 ) ? e x ? e x0 ? 2a( x ? x0 ) ,且 g ?( x0 ) ? 0
7/8

(1)当 a ? 0 时, g ?( x) ? 0 ? x ? x0 , g ?( x) ? 0 ? x ? x0 得:当且仅当 x ? x0 时, g ( x) min ? g ( x0 ) ? 0 由 x0 的任意性, a ? 0 不符合条件
x x (2)当 a ? 0 时,令 h( x) ? e ? e 0 ? 2a ( x ? x0 ) ? h?( x ) ? e ? 2a ? 0 ? x ? x? ? ln(?2a ) x

①当 x? ? x0 时, h?( x) ? 0 ? x ? x0 , h?( x ) ? 0 ? x ? x0

当且仅当 x ? x0 时,在 x ? R 上单调递增

? g ( x) ? 0 只有一个根 x0
②当 x0 ? x? 时, h?( x) ? 0 ? x ? x?, h?( x) ? 0 ? x ? x? ,所以 h( x) 在 ( x?, ??) 内递增,且 h( x0 ) ? 0 , 则当 x ? ( x?, x0 ) 时有 g ?( x) ? h( x) ? h( x0 ) ? 0 , g ( x) ? g ( x0 ) ? 0 ,任取 x1 ? ( x?, x0 ) ,有 g ( x1 ) ? 0 。
x 2 又当 x ? ( ??, x1 ) 时,易知 g ( x) ? e ? ax ? (e ? f ?( x0 )) x ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 )

? e x1 ? ax 2 ? (e ? f ?( x0 )) x ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 )

? ax 2 ? bx ? c (其中 b ? ?(e ? f ?( x0 )) , c ? e x1 ? f ( x0 ) ? x0 f ?( x0 ) )
2 由于 a ? 0 则必存在 x2 ? x1 ,使得 ax2 ? bx2 ? c ? 0 ,所以 g ( x2 ) ? 0 ,故 g ( x) 在 ( x2 , x1 ) 内存在零点,

即 g ( x) 在 R 上至少有两个零点。 ③当 x0 ? x? 时,同理可证,与条件不符 从上得:当 a ? 0 时,存在唯一的点 P(ln(?2a), f (ln(?2a)) 使该点处的切线与曲线只有一个公共点 P

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