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探究2013年高考江西卷理科第20题


1 2  

数 学 通讯 —— 2 O l 3年 第 l 1 、 l 2期 ( 上 半 月)  

?辅教 导 学 ?  

探究 2 0 1 3 年高考江西卷理科 第 2 O题 
王   蕾  
( 浙江省杭州高级中学 , 3 1 0 0 0 3 )  

2 0 1 3年 高考江 西卷理 科第 2 O题 为 :  

第( 2 ) 小 题 求 常 数  的 值 , 一 般 的 处 理 策 略 是 

如 图 1 , 椭 圆 C :  ̄   y Z -  


  J

结合 题设 条件通过 代数运 算 进 行 推证 , 即: 选 取 适 
当的参数 ( 如直线 AB的斜率 等) , 表 示 出相关 点的 

1 ( a> b> O )经 过 点 



So  
图1  

M   一  

坐标, 求出 k   , k : , 是 。 , 再来 说 明  的值 与 所选 的参 
数 无关 即可.  

P( 1 ,   3) 离心 率 e 一 1

直 

线l 的方程 为 z 一 4 .   ( 1 ) 求 椭 圆 C的方程 ;   ( 2 ) A B是经过 右焦 点 F 的任 一 弦 ( 不 过 点  P) , 设 直线 A B 与直线 z相交于 点 M , 记P A、 P B、   P M 的斜 率分 别 为 k   , k : , k 。 , 问: 是 否存 在 常数 J : 【 ,   使k   +k 。 一 从。 ? 若 存在 , 求 的值 ; 若 不存在 , 说 明 
理 由?  

下面 给 出第 ( 2 )小题 的三种 解法 .   解法 1   由题 意 , 直线 A B 的斜率 一 定存 在 ,  

设为是 , 则直线 A B 的方程 为  一 是 ( z 一1 ) , 代 入椭  圆方程 百 x 2   T
y2
 


1 , 整 理 得 

( 4 k 。+ 3 ) x 。 一8 k   z+ 4 ( 是 。一 3 )一 0 .  

设 A( x 1 , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) , 则 有 
X l   十z z=  =  , ’    z=  t :=  —   ② 

这 道试 题 是 全 卷 的 倒数 第 二 题 , 考查 椭 圆 的  标 准方 程 和几何 性质 , 涉及 直 线 的方程 、 直线 和 椭  圆 的位 置关 系等 知 识 点 , 要 求 学 生 有 较 强 的运 算 
能力 、 逻辑 推理能 力 和灵 活转 化化 归 的能 力 , 有 一  定 的难 度 和较好 的 区分度.  

在直线 A B的方程 Y一 志 ( z 一1 ) 中令 z= 4 得 
点 M 的坐标 为 ( 4 , 3 k ) , 于 是 
3  
yi一 百   yz 一  

3  

这道 试题 看 似 平 常 , 实 则 内涵 丰 富 , 背 景 深  厚, 是 研究 性学 习 的极 好 素材 . 笔 者对 这 道试 题 进 
行 了探究 , 得 到 了一 些 好 的结 果 , 介 绍 如下 , 供 大  家参 考.  


k l  
Xl

= 一l 午     z —   - T 2 二 一 亍 1   ,  

k s = = = 昔
一  

3 k 一号  

= = = k 一 寺 ?  
.  

1  



试 题 的 解 法 分 析 

又 因 为A, F, B三点共线 , 所 以 矗一 是 A F 一是 B F ,  
一  

第( 1 )小题 比较基 础 , 容 易处 理 , 只需 根据 已   知 条件建 立关 于 n , b , c的关 系式 以后 解 方 程组 即 
可, 解法 如下 :  

所 以 
3  
一  

3  
。 一  
。  

由 P( 1 , - 6 。 - )在椭 圆上得 


¨

 

z  

Xl  

+  一1   = — 亍 1    
X2

2 。4 口0 6   口

+  9 一l  

① 
一  

z1— 1 ’   2— 1  


+  X  

2(  

、 zl一  

1+ 

。   2— 1  

)  

又因为离心率 P :妻 , 所以n 一2 c , 又n 。 一b  
+c   , 所以 b  = 3 c 。 .  

2 五 一 号 ? X — l X 2   一  十 t 景 x l    十 X 2 币. l    


把 口= 2 c , b 。 一3 c   代入 ① 式 , 解得 c   一1 , 于 


壁 一 一9  
’  

是 口 。一 4 , b 。一 3 .  

2 惫 一 号 ?   4   k z - k —   3  
干丁  
2 k一 】 .  

所以 椭圆C 的 方程 为 车+等 一1 .  



?

辅教导学 ?  

数 学通 讯 — — 2 O 1 3年 第 l 1 、 1 2期 ( 上 半 月)  

1 3  

而 忌 s一 是 一  1


所 以 l +  2— 2 k 3 .  
,  T 

1一 

3 , 1一  


1  
▲  

3  
v  

m 

2 my1 。  

同理 可得 k 2 =一 1一 
m 

.  

/ , m y  2  

方 程 为  一 

( z一 1 ) .   ) , 从而 直线 P M 的 

将 X= m y- t - 1 代 入椭 圆方 程得 3 ( my+1 )   + 
4 y  = 1 2 , 即( 3 m。 +4 ) y 。 +6 m y一 9— 0 , 所以 Y l  
+ 2一 一 — 6 m


令  一 4 , 求得M( 4 ,  

, 2 = = : =一 一 — m2 十  一一 — 3 mz — +4   ’   Y l Y   : = 3 — — +4 , ’ 所 以 



k  + 忌 :一 
一  
.  

一 
6 m 
。  一

.  
2  

1 H 

6  } H 

2  
一   一  

3  

2  
  一  

,  
’  

等 o - y  ̄ -  ̄ 联 立 1   Y 等 - " = -


1   ( x



1 ) ,

可解得 


故k l +k 2= 2 k 3 .  


A  .   5 X  o- 8
,  



综上 , 存 在  一 2使得 k 。 +k :一 2 k 。 总成 立.   评 注  从第 ( 2 )小题 的三 种 解 法 可 知 , 引入 
的参数不 同 , 相关点 的坐 标 的表 达式 就 略有 差 异 ,   推 理运算 过 程 的繁 简 程 度 就不 一 样 , 大 家 可 以仔  细体会 一下 这几 种解法 的精 妙之 处.  

) .  

2 Xo- - 5  


一  

孝 ,  


二、 试题 的拓 展探 究 

重 新审 视这道 高 考 题 , 不难 发 现 , 第( 2 )小 题  中 的直 线 AB是过 定点 F 的动直线 , 最后 得 到的是  个确定 的 等量关 系式 k   +k 。一 2 k 。 , 动 中有 定 ,  
等式 五   +k 2 —2 k 。 的成立 说 明直 线 P A、 P M、   P B 的斜 率构 成 等 差 数 列 , 这 是 一 个 很 有 趣 的结  果, 也 引起 了笔者 的思 考 : 得 到这 个 确定 的 等量 关  系是一 种巧 合还 是 必 然 的 结论 ? 如 果 是 必 然 的结  论, 它 又是 由哪些 特殊 条 件所 确 定 的呢 ? 这 个 结论 
能够推 广到 一般 的椭 圆 中去 吗 ?  

y o --  ̄ -


裟杀 .  
+   苦 
二 兰 拳 :2 k 。 .  

变 化 中存 在不 变量 .  

¨ 
一  

回 顾 题目 的 条 件, 容 易 知 道: 椭 圆 等+ 等一1  
点 B( 2 , O ) , 点 M( 4 , O ) , 又 P( 1 ,   3) 所 以 


中, n =2 , b =  , f 一1 , 所以点P ( 1 , 要) 其实就是 
( c ,  ) , 即有 P F l   j _   轴, 此外 , 直线 z 的方 程 X一  4 其实 就是  — a , 直线z 恰 好是 椭 圆的右准 线. 结  合这 些特殊 条 件 , 笔 者 将 问 题 推 广 到一 般 的椭 圆 

五   一 号 , 足 z 一号 ,  
忌 。 一一虿 1 从而 忌   +忌 2 =- - 1= 2 k s , 此 时存 在 


中, 经过严 密 的推理 验证 , 得 到 了下面 的结论 1 _  
一  

+1 , A( x l , y 1 ) , B( x 2 , y 2 ) ,则 M( 4 ,   ) ,  


结 论 1   已 知 点 P ( c , 等 ) , 过 椭 圆 c :   x 2 . _ y 6 _ 2 z  ̄  
1 ( n> b> 0 ) 的 右焦点 F任 作一条 不垂 直于 X  
轴 的直线 Z , 交椭 圆 C于 A、 B两 点 , 交 椭 圆 的右准 

线 X一 一 a -于点 M . 记直 线 

、 P B、 P M 的斜 率分 

数 学 通讯 —— 2 O 1 3年 第 l 1 、 1 2期 ( 上 半 月)  

? 辅教导学 ?  

另 q 为 志l , 忌 2 , 五 3 , j l l U  l 十凫 z  

2 k 3 .  

结论 3   已 知 P(   ,  ) ,过 抛 物 线  。一 
厶 

证 明  由题意 , 直线 A B 的斜 率一定 存在 , 设  为k , 则 直线 A B 的方 程为 Y一 是 ( z—c ) , 代入椭 圆 

2 p x( p> O ) 的焦点 F任作 一条不 垂直 于  轴的直 
线z , 交抛物 线于 A、 B两 点 , 交 抛物 线 的准线  = 
一  

的 方 程  +等一1 a 。  D 。   并整 理, 得  
( 口 。  。 +b   ) z  一 2 a   k z   +a 。 ( 点   c 。 一b   )= 0 .  

于点 M_ 记直线 P A、 P B、 P M 的斜 率分 别 为 
厶 

设 A( x 1 ,   1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 则有 
。 

忌 l , k 2 , k 3 , 则k 1 +k 2 —2 k 3 .  

2   k z c  

n  ( 七   c z— —b z )  
 ̄ Xl X2 一  。  

证法 1   易知 直线 AB的 斜率存在 , 设为k , 则 

Xl十   z = = =  

直线A B的 方程 为  =k ( x - 要) , 代 人Y   :2 p x ,  
整 理得 五 。 z 。 一p ( k 。 +2 ) x+ T 1  。 P 。 一 0 .  

在 直 线 

的方程  — k ( x- -f ) 中令 z一  ,  

得 M 的坐 标为 (  ,   ) .  
6 0  
? 一  
。。  

设 A( x l ,   1 ) , B( x 2 , Y 2 ) , 则 
6  
。 一   。   =   ,   。 一

从 而 五  嚣 X 1 一 f   , 五 z  Z   2 一 f   ,  
b   k   6 0  

譬 ,  

y ̄- - p  

2 一 再 Y z - P ?  

k s = 寺  : 点 一 詈 .  
— —



C 

C 

把  = 一 号 代 入 直 线 A B 的 方 程  一 点 (   一  
号 ) , 得 M 点 的 坐 标 为 ( 一 号 , 一 k p ) , 从 而  
k 。一 
P  

又 因为 A, F, B三点共线 , 所以k 一是 A F一 是 B F ,  
即 是 一 
1一 C  

一 卫
Z2一

. 

C 

一 k十 1 .  

所 以 
b 。  
21- - - 垒  

b 。  

又 因为 A, F, B三 点共线 , 所以k = ^ F= = : 忌 丑 F ,  
一  

22- - - 
Y  z  
x 2一 c  

是 1 + k 2: 
x 1一 c 

D 

P?

所以  

+ 
工1一 c 


一  ( —  一 + — 一 )  
C  a  Z 1 一 c   x2一 C 

z l ~专   锄一  
针   y  ̄- - p +  Y z -P  

2 8 . 2一

0  z  

b  
— — 一 ‘ 

x1 + z 2 — 2 c   Xl  2一 ( z1 + X 2 ) c+ C  


d 

一 2 志一  
口 

.  

a   k  + 6 2   一 

口   ( 正   — —6   )   口   忌   +6 2  

2 a   忌   c   a 2 忌   +6  

?c +c z  

_ 2  

一 2 k一 2 c  

2 k
3.  

毒 z   一 号   + 毒 z z 一 号  z 叫 老   一 号   + 毫  z z 一 号   一 蒜 言   X   l 十 z 2   十  
X 1X 2

_

将 问题 类 比到双 曲线 和抛 物 线 , 可 得 到 类 似 
的结 论 .  




户  

2  
4   2  

,  


k  

 
’4  

结 论 2   已 知 点 P ( c , 等 ) , 过 双 曲 线 C . 口 A x : _  


2 是一 p ?  

= 2 矗+ 2,  

1 ( 口> 0 , 6 >o )的右 焦点 F任 作一条 不垂 直 
于 z轴 的直 线 z , 交双 曲线 C于 A、 B 两点 , 交 双 曲  线 的右准 线 z一  于点 M . 记直线 P A、 P B、 P M 
所以 五 1 +k 2 — 2 k 3 .  

证 法 2设 A ( 易 , £ t ) , B ( 轰 , £ z ) , 则  
正 仙  丑 t z -t z  
2 p   2 p 

的斜 率分 别为 k 。 , k   , k 。 , 则k   +忌 z一 2 k 。 .  

2   p,  

结 论 2的证 明与结 论 1 类似, 此 处略 .  

?

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数 学通 讯 —— 2 O 1 3年 第 l 1 、 1 2期 ( 上半月)  

1 5  

直 线 A B 的 方 程 为 z :   =   罕   ( z 一 号 ) .   y  罕 _ l ( z 一 号 ) ’ 联 立 消 去 z 后 整 理   由J
【  一2  
得Y 。 一( f 1 +t 2 ) y- -P   一0 , 易知 t 1 , t z 为关 于 Y的 
方 程 的两根 , 从而 由韦 达定理 知 t l ? t 2 一一声 。 .  

4 户+ 2 ( t l +t 2 )  
— 一

t 1 + t 2  

’  

把 x 一一 
2 p (
z 一

代人直线 A B 的方 程 l : y 一 

号 ) , 得M ( 一 号 ,   ) , 从 而 直 线  
一 

又 P ( 号 , 户 ) , 从 而  
是  一  p- - t l 一  2   p
,  

的斜 

p - f 芦 2 P 2 :  

. 

因此 , k   +k 2 = 2 k 。 .  

评 注  结 论 1 、 结论2 、 结论 3 刻画 了圆锥 曲线  的一个统 一性 质 , 圆锥 曲线 的焦 点 和 相 应 准 线 之 

2  

2 p 

是 z=  p- - t 2 一  2   p
,  

间相互依 存 , 有着 密切 的 内在 联 系 , 这 也 是 很 多解 
析几 何 问题 的命 题 背景 , 值得 我们注 意.  

2  

2  

所 以 
¨  
:  

( 收 稿 日期 : 2 0 1 3 —0 6 —2 8 )  
+ 

! ±  

±  

0 +  ( £ 1 + t 2 )+ t 】 t 2  

虽小犹大的两道 高考选择题 
邹生书  
( 湖北 省 阳 新 县 高级 中学 , 4 3 5 2 0 0 )  

2 0 1 3年高 考湖 北 卷文 科 第 1 O题 和 理 科第 1 O   题 分 别是文 理卷 选 择 题 中 的 压 轴 题 , 两 题 题 设 条 
件 基本 相 同 , 只是设 问不 同 , 理科 设 问是 在 文科 设  问基 础上 的推 进 , 理 科 解 答 要 用 到 文 科 结 论 从 而  体现 文理有 别 , 两 题 虽 命 制 为 小 题 但 做 起 来 相 当 

( A ) 厂 ( z 1 ) >0 , f ( x 2 ) >一寺.  
1  

( B ) 厂 (   1 ) <0 , f ( x 2 ) <一寺.  
1  

( c ) , (   1 ) >0 , f ( x 2 ) <一÷.  
1  

于大题 , 只有具 有 较 强 的数 学 基 础 和 实 力 的 考 生  才能 拿下 , 试 题 区分度 高 , 具 有较 好 的甄别 功 能.  
题1 ( 2 0 1 3 年 高考 湖北 卷文 科第 1 O 题) 已知 

( D ) 厂 ( z   ) <0 , f ( x 2 ) >一÷.  
本文 笔者 给 出题 2的几种 解法 , 供读 者参 考.   解法 1   因为 厂 ( z )一 x l n x一  。 , 求 导 得 

函数 , (   )一 ( 1 n z一   ) 有两 个极 值 点 , 则 实数 口  
的取 值范 围是 
1  

(   ( B ) ( O , ÷ ) .   厶 
( D) ( O, +∞) .  

)  

f   ( z ) =1 眦 +1 —2   , 因为 函数 , ( z ) 有两 个 极值 

( A) ( 一。 。 , O ) .  
( C) ( O , 1 ) .  

点z   , z 。 , 所以 /( z ) 的图象与  轴的正半轴有两 
个 交点.  

再次求导得 /( z ) 一1—2 口 一— 1 -— 2 a x, 因为 
工   正  

题2 ( 2 0 1 3 年高 考湖北 卷理 科第 1 O 题 )已知  口为 常数 , 函数 , ( z )= z ( 1 n z 一纰 ) 有 两个极 值 点 
X l , z 2 ( z 1 <z 2 ) , 则  (   )  

X> 0 , 所以 , 当口 ≤0 时,  ( z ) >0 , 从而 厂( z ) 单 
调 递增 , 故 f   ( z )的 图象与 X轴 至多 有一 个 交 点 ,  


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