当前位置:首页 >> 数学 >>

利用补集思想巧解题


利用补集思想巧解题
甘肃省嘉峪关市第二中学(735103)彭长军

对于从正面求解或思路不畅或需分类讨论的一类数学问题,若能用补集思 想求解,则可使问题变得简单易解,会收到意想不到的效果。 利用补集思想求解时可先从结论的反面出发,得出反面结论后,再从整个 情况(全集)中除去反面结论(补集) ,便得所求结果,下面举几例说明。 例 1.设 A={x︱x2+(p+2)x+1=0},若 A∩R+=Φ ,求实数 p 的范围. 分析:由 A∩R+=Φ 可知方程 x2+(p+2)x+1=0 无正实数根,于是,正面求解时 要分以下两类:①方程无实数根;②在方程有实数根时,两根都为负数或都为 0 或一个为负数,另一个为 0,情况比较复杂.因此,适合用补集思想求解. 解:由 A∩R+=Φ 可知方程 x2+(p+2)x+1=0①无正实数根,令 f(x)= x2+(p+2)x +1,则当方程①有正实数根时,由于 f(0)=1>0,所以必有 ? ?p?2
? ? 2 ? ??0 ?0

,即

{

( p ? 2)2 ? 4?0 p ? 2? 0

, 解之得 p≦-4,故当 p>-4 时,A∩R+=Φ . )

例 2. 若方程(2m 2 +m-3)x+(m 2 -m)y-4m+1=0 表示一条直线, 则实数 m 满足( A.m≠1 B. m≠3 2

C. m≠0

D. m≠1 且 m≠- 且 m≠0

3 2

分析:方程(2m 2 +m-3)x+(m 2 -m)y-4m+1=0 表示直线 ? 2m 2 +m-3 和 m 2 -m 不全 为零,于是,正面求解时要分以下三类:①2m 2 +m-3=0 且 m 2 -m≠0;②m 2 -m=0 且 2m 2 +m-3≠0;③2m 2 +m-3≠0 且 m 2 -m≠0. 因此,适合用补集思想求解. 解: ∵当 2m 2 +m-3=0,且 m 2 -m=0, 即 m=1 时, 方程 2m 2 +m-3)x+(m 2 -m)y-4m+1=0 不表示直线,∴当 m≠1 时,方程(2m 2 +m-3)x+(m 2 -m)y-4m+1=0 表示一条直线, 故选 A.
1

例 3.求二项式( 15 3x ? y )15 的展开式中所有无理系数的和 分析:因为二项式( 15 3x ? y )15 的展开式中所有项的系数之和为( 15 3 ?1 ? 1)15= ( 3 ? 1 ) ,而展开式中有理系数容易由通项公式 Tr+1
15
15

=(-1) C
r

r 15

3

15 ? r 15

x15-ryr 确定,

因此,只需从所有项的系数之和中减去所有有理系数之和即为所求. 解:由通项公式 Tr+1=(-1)r C15 3
0 15
r

15 ? r 15

x15-ryr 可知,二项展开式中有理系数项只有

两项(-1)0 C15 3x15y0 和(-1)15 C15 30x0y15,即 3x15 和- y15,其系数之和为 3+(-1) =2.又在二项式( 15 3x ? y )15 中令 x=y=1, 得展开式中所有各项的系数和为( 15 3 ? 1 )15. 故展开式中所有无理系数之和为( 15 3 ? 1 )15-2. 例 4.方程 x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0 中至少有一个有实 根,求实数 a 的取值范围 . 分析:方程 x2-ax+4=0,x2+(a-1)x+16=0,x2+2ax+3a+10=0 中至少有一个有实 根包括以下三种情况:①三个方程中只有一个有实数根;②三个方程中恰有两 个有实数根; ③三个方程都有实数根.而①②两种情况各自又有三种情况, 因此, 正面求解不但要分类,而且是两级分类,情况复杂,适合用补集思想求解.
? ?1 =a 2 -16<0 ? ?4 ? a ? 4 ? ? 解:∵三个方程均无实数根的条件为 ? ? 2 ? (a ? 1) 2 ? 64 ? 0 ,即 ? ?7 ? a ? 9 ? ?2 ? a ? 5 ?? ? 4a 2 ? 12a ? 40 ? 0 ? ? 3

?-2<a<4.∴所求 a 的范围为 ?? ?,?2?∪ ?4,???

例 5.关于 x 的不等式 x ? 2 + x ? 1 <a 的解集为Φ ,则 a 的取值范围是( (A)(3,+∞) (B) ?3,??? (C) ?? ?,3? (D)(-∞,3)

)

解: 当不等式 x ? 2 + x ? 1 <a 的解集为 R 时, a> x ? 2 + x ? 1 ≥ ( x ? 2) ? ( x ? 1) =3, 所以当不等式的解集为Φ 时,a≤3.故选(C). 例 6.m 为什么实数时,方程 sin2x-sinx+m=0 无实根.
2

1 1 4 2 1 1 9 1 1 9 (sinx- )2≤ ,即 0≤ -m≤ ,由此可得-2≤m≤ .∴当 m<-2 或 m> 时方程 4 2 4 4 4 4

解:原方程可化为 -m=(sinx- )2,若方程有实根,则-1≦sinx≦1,∴0≦

无实根.
x 例 7.若椭圆 ? y 2 ? k 2 (k>0)与连结 A(1,2),B(3,4)两点的线段没有公共 2
2

点,求实数 k 的取值范围。 解:易知线段 AB 的方程为 y=x+1(1≦x≦3),代入方程 得 k2= x 2 ? 2 x ? 1 (1≤x≤3)②. 当线段 AB 与椭圆有公共点时,方程②在[1,3]上有实数解,由 1≤x≤3 得
9 3 21 9 21 3 2 82 ≤ x 2 ? 2 x ? 1 ≤ ,即 ≤ k 2 ≤ ,而 k>0,∴ , ?k? 2 2 2 4 4 2 2 3 2

x ? y 2 ? k 2 ,并整理 2

2

即当

3 2 82 3 2 82 时, 线段 AB 与椭圆有公共点, 故当 0<k< 或 k> 时, ?k? 2 2 2 2

线段与椭圆没有公共点。 例 8.如果二次函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的公共点至少有一个 在原点的右侧,求 m 的取值范围. 分析:由 f(0)=1>0,可知二次函数的图象不经过坐标原点,所以二次函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的公共点至少有一个在原点的右侧 ? ①抛物 线与 x 轴相交于两点,且其中一个交点在坐标原点的左侧,另一个在坐标原点 的右侧;②抛物线于 x 轴相切,切点在坐标原点的右侧;③抛物线与 x 轴相交 于两点且这两点都在原点的右侧.因此可用补集思想求解.

m?0 ? 解:由二次函数的图象与 x 轴有公共点,得 ? 2 (m ? 3) ? 4m ? 0 ,即 ?? ?
3

m?0 ? ? 2 ,解之得,m∈ ?? ?,0? ? ?0,1? ? ?9,??? ,此即为全集 I. ?m ? 10m ? 9 ? 0
又由 f(0)=1>0,可知二次函数的图象不经过坐标原点,因此,当图象与 x
m?0 ? ? m?3 ? ? ?0 ? , 2 m ? 2 ? ?? ? (m ? 3) ? 4m ? 0

轴的正半轴没有公共点时, 交点必在原点的左则, 此时 m 满足
m?0 ? ? 即 ? m ? 0或m>3 ,解之得,m∈ ?9,??? ,此即为 A 的补集 A 。 ? m 2 ? 10m ? 9 ? 0 ?

故所求 m 的集合 A=(-∞,0)∪ ?0,1? ,即当 m≤1 且 m≠0 时二次函数的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点的右侧. 例 9.已知椭圆 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与抛物线 x 2 ? 2 y 没有共公点, 则实数 a 的取值 范围是_______ 解:由 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 ,可设 x ? 2 cos? , y ? a ? sin ? 代入 x 2 ? 2 y 得 4cos2 ? = 2(a ? sin ? ) ,∴ a ? 2 cos 2 ? ? sin ? ? ?2(sin ? ? ) 2 ?
1 4 17 8

若椭圆 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与抛物线 x 2 ? 2 y 有共公点,则 sin ? ? 1,即
? 1 ? sin ? ? 1 ∴ ? 1 ? a ?

17 17 .故当 a<-1 或 a> 时椭圆 x 2 ? 4( y ? a) 2 ? 4 与抛物线 8 8

x 2 ? 2 y 没有共公点

例 10. 若抛物线 y=x 2 上不存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点,求 m 的取值 范围. 思路:先求出抛物线 y=x 2 上存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点时的 m 的取 值范围,然后取其补集即可. 解法 1:(1)当 时,y=0,显然曲线上不存在关于直线对称的两点。

4

(2)当 m≠0 时,假设抛物线 y=x 2 上存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点
1 x+n,将其代入抛 m 1 1 1 物线,得 mx 2 -x-mn=0,∴ x 1 + x 2 = , x 1 x 2 =n, ∴ y 1 + y 2 = ( x 1 + x 2 )+2n= 2 +2n, m m m 1 1 ∴PQ 的中点为 M( , 2 +n). 2m 2m

P( x 1 , y 1 )、Q( x 2 , y 2 )( x 1 ≠ x 2 ),则直线 PQ 的方程可设为 y=

由M (

1 1 1 1 1 1 , 2 +n) 在直线 y=m(x-3)上, 得 2 +n= -3m,即 n= -3m- 2 . 2m 2 2 2m 2m 2m 1 1 1 1 1 1 ( ) 2 ,即 n>-3m- 2 >- 2 , 2 +n> 2 ,∴ 2m 2m 4m 2 2m 4m

由 M 在抛物线 y=x 2 内,知

即 12m 3 +2m 2 +1<0 ?(2m+1)(6m 2 -2m+1)<0,而 6m 2 -2m+1>0 恒成立,∴2m+1<0,解 之得 m<- .故当 m ? - ,且 m≠0 时, 抛物线 y=x 2 上不存在关于直线 y=m(x-3) 对称的两点.
? 由(1)(2),知 m 的取值范围 ? ? ? , ?? ? 。 1 ? 2 ?

1 2

1 2

解法 2:(1)当

时,y=0,显然曲线上不存在关于直线对称的两点。

(2)当 m≠0 时, 假设抛物线 y=x 2 上存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点 P( x 1 ,
y 1 )、Q( x 2 , y 2 )( x 1 ≠ x 2 ),则 y 1 = x 12 , y 2 = x 2 2 .两式相减,得 y 1 - y 2 = x 12 - x 2 2 ,即 y 1 - y 2 =( x 1 + x 2 )( x 1 + x 2 ).
y1 ? y2 =2a. x1 ? x2

设这 PQ 的中点为 M(a,b),则 y 1 - y 2 =2a( x 1 - x 2 ),∴k PQ = 由直线 PQ 与直线 y=m(x-3)垂直, 知 2a=上,知 b=m(a-3) ②. 又由 M 在抛物线 y=x 2 内,知 b>a 2 ③.

1 ①; 由M (a, b) 在直线 y=m(x-3) m

5

由①②③,得 12m 3 +2m 2 +1<0,解之得 m<- .故当 m ? - ,且 m≠0 时, 抛物线 y=x 2 上不存在关于直线 y=m(x-3)对称的两点.
? 1 ? 由(1)(2),知 m 的取值范围 ? ? , ?? ? . ? 2 ?

1 2

1 2

跟踪练习: 1. 已知集合 A={x|x2-2x≦0},B={ x|x<a}.若 A∩B≠Φ ,则实数 a 的取 ) (B){a| a≦2 } (C){ a|a≧0} (D){a|0≦a≦2}

值范围是(

(A){ a|a>0} 2.

已知三条抛物线 y=x2-x+m,y=x2+2mx+4,y=mx2+mx+m-1 中至少有一条与

x 轴相交,试求实数 m 的取值范围 3. 已知直线 L 过点 P(-1,2),且与以 A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段没

有公共点,求直线 L 的斜率 k 的取值范围 参考答案:1.(A) ;2.m≦ 且 m≠0 或 m≧2;3.k∈(- ,5 )。
4 3 1 2

6


相关文章:
利用补集思想巧解题.doc
利用补集思想巧解题 - 集合是近代数学中的一个重要概念,集合思想已成为现代数学的
运用补集思想巧妙解题_图文.doc
运用补集思想巧解题 - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 运用补集思想巧解题 作者:王林 来源:《中学生数理化 学研版》2014 年第 02 期 某些与补集...
运用补集思想巧妙解题_论文.pdf
运用补集思想巧解题 - 运用补集 思想 巧解题 ■王 林 某些与 补集 有关
题方法31巧用补集思想,让解题“事半功倍”.doc
题方法31补集思想,让解题“事半功倍” - 龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 题方法 31 补集思想,让解题“事半功 倍” 作者:蒲白明 来源:《...
巧用“补集思想”解题_论文.pdf
用“补集思想解题 - 学生解决问题的过程,一般总是先从正面入手进行思考,这也是解题的基本思想方法。但有时在用顺向思维方式来寻求解题途径比较困难时,应改变...
巧用补集思想与函数思想解题_论文.pdf
补集思想与函数思想解题 - 补集思想是一种重要的数学思想,在解决问题中有着广
补集思想在解题中的应用举例(高三).doc
补集思想在解题中的应用举例(高三) - 各位教师, 同学,我精 心汇总,好 好利用 补集思想解题中的应用举例 在集合中,大家都知道补集有这样一个性质: A ? ( ...
“补集思想”在解题中的应用.pdf
本题实际是一种反证法,由此可以知道,反证法的理论依据其实就是这种“补集思想”...用“补集思想”解题 2页 免费 利用补集思想巧解题 暂无评价 6页 5下载券 整体...
补集思想.pdf
补集思想 - 静 解题技巧 与方法 臻 譬61≥犍_ 静 ◎陈扬浩 (陕 西省
“补集思想”在解题中的应用.doc
用“补集思想解题 暂无评价 2页 免费 正难则反 巧用“补集思想”... 暂无...为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想” ...
补集思想在解题中的应用举例(高三).doc
补集思想解题中的应用举例(高三) - 补集思想解题中的应用举例 在集合中,大
(no.1)“补集思想”在解题中的应用.doc
(no.1)“补集思想”在解题中的应用_初三数学_数学_初中教育_教育专区。有效...为复杂,我们就可以先考虑其反面,再利用其补集,求得其解,这就是“补集思想” ...
将军饮马问题的妙用.pdf
解法颇具技 巧性. 本 义结 合将军饮马问题,从...利用图形巾的 几何量确定最值. 最典型的例子是我们...这也正是运用补集思想解题的 巧妙之处. c J(c,...
高中数学巧学巧解大全.doc
补集思想” 五、 补集”帮你突破巧用“补集思想解题 巧用 六、...利用导数判断函数的单调性 六十四、 六十四、利用导数证明不等式 六十五、 ...
高中数学活题巧解方法(摘自数学巧学王).doc
巧解集合问题 五、 “补集”帮你突破巧用“补集思想解题 六、在等与...OA ? OB ,求点 M 的轨迹方程 二、直接法直接从题设的条件出发,利用已知...
高一数学补集思想在解题中的应用.doc
高一数学补集思想解题中的应用 - “补集思想”在解题中的应用 在集合运算中,大
运用正难则反的补集思想解题.doc
0 .我们将这一性质称为一次函 数的保号性.利用一次函数的保号性可以证明一些...“正难则反”思想 暂无评价 4页 2.00 巧用“补集思想解题 暂无评价 ...
第1章---思想方法技巧_图文.ppt
利用“补集”求解. 取值范围 再利用“补集”求解. 尝试解答】 【 尝试解答 ...我们的解题过程,这也正是运用补集思想解题的巧妙之处. 我们的解题过程,这也正...
函数解题思想教案.doc
函数解题思想教案 - 超好的理科生高考复习资料。。。... 的不等式。后步也可采用全集下的补集思想巧解题。)...(特例:偶函数) (3)利用单调函数的性质: (细讲)...
数学巧学巧解大全.doc
巧解集合问题 五、 “补集”帮你突破巧用“补集思想解题 六、在等与...OA ? OB ,求点 M 的轨迹方程 数学 二、直接法直接从题设的条件出发,利用...
更多相关文章: