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2014高考数学(理)二轮专题升级训练:专题8 第1讲 选修4-1 几何证明选讲(含答案解析)]


专题升级训练
(时间:60 分钟

几何证明选讲
满分:100 分)
)

一、选择题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分)
1.如图在☉O 中,弦 AB 与 CD 相交于 P 点,∠B=30° ,∠APD=80° ,则∠A=(

A.40° B.50° C.70° D.110° 2.如图,已知☉O 的直径 AB 与弦 AC 的夹角为 30° ,过 C 点的切线 PC 与 AB 的延长线交于点 P,PC=5,则☉O 的半径是( )

A. B. C.10 D.5 3.在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,AC=4,BC=3.以 BC 上一点 O 为圆心作☉O 与 AC,AB 都相切,又☉O 与 BC 的另一个交点为 D,则线段 BD 的长为( )

A.1

B.

C.

D.

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 6 分,共 24 分)
4.如图,已知△ABC 内接于圆 O,点 D 在 OC 的延长线上,AD 是圆 O 的切线,若∠B=30° ,AC=2,则 OD 的长为 .

5.如图,已知 A,B,C,D,E 均在☉O 上,且 AC 为☉O 的直径,则∠A+∠B+∠C=

.

6.如图所示,圆的内接三角形 ABC 的角平分线 BD 与 AC 交于点 D,与圆交于点 E,连接 AE,已知 ED=3,BD=6,则线段 AE= .

7.如图,在△ABC 中,AB=AC,∠C=72° ,☉O 过 A,B 两点且与 BC 相切于点 B,与 AC 交于点 D,连接 BD,若 BC=-1,则 AC= .

三、解答题(本大题共 5 小题,共 58 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤)
8.(本小题满分 11 分) 如图,在?ABCD 中,E 是 CD 的延长线上一点,BE 与 AD 交于点 F,DE=CD.

(1)求证:△ABF∽△CEB; (2)若△DEF 的面积为 2,求?ABCD 的面积. 9.(本小题满分 11 分) (2013·山西太原模拟,22)如图,点 C 是☉O 直径 BE 的延长线上一点,AC 是☉O 的切线,A 为切点, ∠ACB 的平分线 CD 与 AB 相交于点 D,与 AE 相交于点 F.

(1)求∠ADF 的值; (2)若 AB=AC,求的值. 10.(本小题满分 12 分) 如图,已知在梯形 ABCD 中,AB∥CD,过 D 与 BC 平行的直线交 AB 于点 E,∠ACE=∠ABC,求 证:AB· CE=AC· DE.

11.(本小题满分 12 分)如图,在△ABC 中,∠C=90° ,BC=8,AB=10,O 为 BC 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径作半圆与 BC 边、AB 边分别交于点 D,E,连接 DE.

(1)若 BD=6,求线段 DE 的长; (2)过点 E 作半圆 O 的切线,交 AC 于点 F,证明:AF=EF. 12.(本小题满分 12 分) 如图,△ABC 的角平分线 AD 的延长线交它的外接圆于点 E.

(1)证明:△ABE∽△ADC; (2)若△ABC 的面积 S=AD· AE,求∠BAC 的大小. ## 1.B 解析:∵∠APD=∠B+∠D,

∴∠D=50° .又∵∠D=∠A,∴∠A=50° . 2.A 解析:如图,连接 OC,则∠PAC=30° ,由圆周角定理知∠POC=2∠PAC=60° ,由切线性质知∠ OCP=90° ,

∴在 Rt△OCP 中, tan∠POC=, ∴OC=.∴选 A. 3.C 解析:观察图形,AC 与☉O 切于点 C,AB 与☉O 切于点 E,则 AB==5.连接 OE,由切线长定理 得 AE=AC=4,故 BE=AB-AE=5-4=1.根据切割线定理得 BD 的长度为.

4.4 5.90° 解析:∠A+∠B+∠C=的度数+的度数+的度数)=× 180° =90° . 6.3 解析:∵∠CBE=∠CAE,BD 为角平分线,∠AED=∠AEB, ∴△ADE∽△BAE. ∴.∴AE2=DE·BE=3× 9. ∴AE=3. 7.2 解析:由已知,得 BD=AD=BC. 因为 BC2=CD× AC=(AC-AD)× AC, 所以 BC2=(AC-BC)× AC,解得 AC=2. 8.(1)证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴∠A=∠C,AB∥CD,∴∠ABF=∠CEB, ∴△ABF∽△CEB. (2)解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD, ∴△DEF∽△CEB,△DEF∽△ABF. ∵DE=CD, ∴, . ∵S△DEF=2,∴S△CEB=18,S△ABF=8, ∴S 四边形 BCDF=S△CEB-S△DEF=16, ∴S?ABCD=S 四边形 BCDF+S△ABF=16+8=24. 9.解:(1)∵AC 是☉O 的切线,∴∠B=∠EAC. 又∵DC 是∠ACB 的平分线,即∠ACD=∠DCB, ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD. ∴∠ADF=∠AFD. ∵BE 是☉O 的直径, ∴∠BAE=90° . ∴∠ADF=45° . (2)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB=∠EAC. 由(1)得∠BAE=90° ,∴∠B+∠AEB=∠B+∠ACE+∠EAC=3∠B=90° , ∴∠B=30° . ∵∠B=∠EAC,∠ACB=∠ACB, ∴△ACE∽△BCA. ∴=tan 30° =. 10.证法一:∵AB∥CD,∴,即.① ∵DE∥BC,∴,即.② 由①②得,③ ∵∠FDC=∠B=∠ECF,∠DEC=∠CEF, ∴△EFC∽△ECD.∴.④ 由③④得, 即 AB·CE=AC·DE. 证法二:∵AB∥CD,DE∥BC, ∴四边形 BEDC 是平行四边形. ∴DE=BC.

∵∠ACE=∠ABC,∠EAC=∠CAB, ∴△AEC∽△ACB,∴. ∴,即 AB·CE=AC·DE. 11.(1)解:∵BD 是直径,∴∠DEB=90° . ∵∠C=90° , ∴cos∠B=. ∵BD=6,∴BE=. 在 Rt△BDE 中,DE=. (2)证明:连接 OE,∵EF 为切线,

∴∠OEF=90° . ∴∠AEF+∠OEB=90° . 又∵∠C=90° ,∴∠A+∠B=90° . 又∵OE=OB,∴∠OEB=∠B. ∴∠AEF=∠A,∴AF=EF. 12.(1)证明:由已知条件,可得∠BAE=∠CAD. 因为∠AEB 与∠ACD 是同弧所对的圆周角, 所以∠AEB=∠ACD.故△ABE∽△ADC. (2)解:因为△ABE∽△ADC,所以, 即 AB·AC=AD·AE. 又 S=AB·ACsin∠BAC,且 S=AD·AE, 故 AB·ACsin∠BAC=AD·AE,则 sin∠BAC=1. 又∠BAC 为△ABC 的内角,所以∠BAC=90° .


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