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2.1随机变量及其概率分布(1)


高二年级理科数学教·学案

第二章

概率

2.1 随机变量及其概率分布(1)
编号:001

编写人:

学习目标 1.在对具体问题的分析中,了解随机变量、离散型随机变量的意义,理解取有限值的离 散型随机变量及其概率分布的概念; 2.会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布, 认识概率分布对于刻画随机现象的重 要性。 学习过程: 一、预习: 1、问题:某商场要根据天气预报来决定今年国庆节是在商场内还是在商场外开展促销 活动。统计资料表明,每年国庆节商场内的促销活动可获得经济效益 2 万元,商场外的促销 活动如果不遇到有雨天气可获得经济效益 10 万元,如果促销活动中遇到有雨天气则带来经 济损失 4 万元。 9 月 30 日气象台预报国庆节当地有雨的概率是 40%, 商场应该选择哪种促销 方式? 这是日常生活中的常见随机现象, 如何解决这个问题?这就需要学习新的数学知识来解 决实际问题。于是今天我们来学习一章新的内容:概率,它是在初中“统计初步”和高中必 修课“概率”的基础上,学习随机变量和统计的一些知识。学习这些知识后,我们将能够解 决类似上面问题的一些实际问题。 在一块地里种下 10 棵树苗,成活的树苗棵数 X 是 0,1,2,?,10 中的某个数; 抛掷一颗骰子,向上的点数 Y 是 1,2,3,4,5,6 中的某一个数; 新生婴儿的性别,抽查的结果可能是男,也可能是女,如果将男婴用 0 表示,女婴用 1 表示,那么抽查的结果 Z 是 0 和 1 中的某个数;??? 上述现象有哪些共同的特点? 2、随机变量的定义: 问题 1、某市射击运动队张昊同学在射击训练的某一次射击中,可能出现的命中环数的 情况有哪些? 问题 2、一个袋中装有 5 个白球和 5 个黑球,从中任取 3 个,那么其中含有白球的可能 结果是哪几种? 总结、从上面的两个问题我们可以看出,在这些随机试验中,可能出现的结果都可以分 别用一个数即“环数” “白球数”来表示,这个数在随机试验前是否是预先确定的? 在不同的随机试验中,结果是否不变? 就是说,这种随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量就叫做随机变量。 定义: 叫做随机变量。 随机变量常用 希腊字母 ? , ? 等表示。 问题 3、随机变量 ? 的特点是什么?
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思考:问题 1,2 中的随机变量是什么?取值情况如何?

二、课堂训练: 例 1、 (1)掷一枚质地均匀的硬币一次,用 X 表示掷得正面的次数,则随机变量 X 的可 能取值有哪些? (2)一实验箱中装有标号为 1、2、3、3、4 的五只白鼠,从中任取一只,记取到 的白鼠的标号为 Y,则随机变量 Y 的可能取值有哪些?

例 2、从装有 6 只白球和 4 只红球的口袋中任取一只球,用 X 表示“取到的白球个数” , 即X ??

?1, ?0,

当取到白球时, 当取到红球时,

求随机变量 X 的概率分布.

例 3 、同 时 掷 两 颗 质 地 均 匀 的 骰 子 ,观 察 朝 上 的 一 面 出 现 的 点 数 ,求 两 颗 骰 子 中 出 现 的 最 大 点 数 X 的 概 率 分 布 , 并 求 X 大 于 2 小 于 5 的 概 率 P ( 2<X<5 )

练习: 1、写出下列随机变量可能取的值,并说明这些值表示的随机试验的结果。 (1)一袋中装有 5 只同样大小的白球,编号为 1,2,3,4,5。现从该袋内随机取出 3 只球,被取出的球的最大号码数 ? ; (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数? 。

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2、 抛掷两枚骰子各一次, 记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为 ? , 试问: “ ? >4”表示的试验结果是什么?

三、巩固练习: 1、写出下列各随机变量可能的值,并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。 (1)从一个装有编号为 1 号到 10 号的 10 个球的盒子中任取 1 球, 被取出的球的编号为 ? ; (2)一个罐中装有 10 个红球,5 个绿球,从中任取 4 个球,其中所含红球的个数为 ? ; (3)抛掷两个骰子,所得点数之和为 ? ,所得点数之和是偶数为? ; (4)张华在射击训练中,接连不断地射击,首次命中目标需要的射击次数? ; (5)某电动工具制造公司加工某种轴承,其轴承最外边的外径与规定的外径尺寸之差为 ? ;若误差规定不大于 5,则? 为何值?

2、若随机变量 X 的分布列为:试求出常数 c .

X P





9c 2 ? c

3 ? 8c

?1? 3、设随机变量 ? 的分布列为 P(? ? k ) ? a ? ? (k ? 1, 2,3, 4) ,求实数 a 的值。 ? 3?

k

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4、 某班有学生 45 人, 其中 O 型血的有 10 人,A 型血的有 12 人,B 型血的有 8 人,AB 型 血的有 15 人,现抽 1 人,其血型为随机变量 X ,求 X 的分布列。

5、某人去商厦为所在公司购买玻璃水杯若干只,公司要求至少要买 50 只,但不得超过 80 只。商厦有优惠规定:一次购买这种水杯少于或等于 50 只的不优惠,多于 50 只的,超出的 部分按原价格的 7 折优惠。 已知水杯原来的价格是每只 6 元, 这个人一次购买水杯的只数 ? 是一个随机变量, 那么他所付的钱款总额是否也为一个随机变量?如果是, 那么这两个随机 变量间有什么关系?

6、某城市出租汽车的起步价为 10 元,行驶路程不超出 3km 时,租车费为 10 元,若行驶路 程超出 3km,则按每超出 1km 收费为 1.8 元计费(超出不足 1km 的部分按 1km 计)。若行驶 路程超过 5km,则按每超出 1km 收费为 2.7 元计费。从这个城市的民航机场到某宾馆的路 程为 15km,某司机常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及中途 停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车 5min 时间按 1km 路程计费),这个司 机一次接送旅客的实际行车路程 ? 是一个随机变量, 问他所收租车费? 与 ? 的关系式是什 么?若已知某旅客实付租车费 48.7 元,而出租汽车实际行驶了 15km,问出租车在途中因 故停车累计最多几分钟?

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