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高中数学第一章统计1.8最玄乘估计自主练习


高中数学 第一章 统计 1.8 最小二乘估计自主练习 北师大版必修 3
我夯基我达标 1.设有一个回归方程 y=2-1.5x,则变量 x 增加一个单位时( )? A.y 平均增加 1.5 个单位? B.y 平均增加 2 个单位? C.y 平均减少 1.5 个单位? D.y 平均减少 2 个单位? 思路解析:(2-1.5x1)-(2-1.5x2)=-1.5(x1-x2),若变量 x 增加一个单位,即 x1-x2=1,则 y 平均减 少 1.5 个单位,所以应选 C.? 答案:C 2.线性回归方程 y=a+bx 必定过( )? A.(0,0) B.( x ,0)? C.(0, y ) D.( x , y )

思路解析:由公式中的 a= y -b x ,得 y =b x +a,又(xi,yi)(i=1,2,…,n)的中心点( x , y )恰好 满足方程 y =b x +a,故线性回归方程 y=a+bx 必过( x , y )点.? 答案:D 3.近 10 年来,某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下(单位:亿元): 工资 总额 23.8 27.6 31.6 32.4 33.7 34.9 43.2 52.8 63.8

73.4

x
社会 商品 总额 41.4 51.8 61.7 67.9 68.7 77.5 95.9 137.4 155.0 175.0

y
建立社会商品零售总额 y 与职工工资总额 x 的线性回归方程是( )? A.y=2.799 1x-27.248 5? B.y=2.799 2x-23.549 3? C.y=2.699 2x-23.749 3? D.y=2.899 2x-23.749 4? 思路解析:利用计算器容易求得 x, y ,xi,yi,xi ,xiyi,代入公式求出 a、b 得方程为 y=2.799 2x-23.549 3. 答案:B 4.针对某工厂某产品产量与单位成本的资料进行线性回归分析如下: 单位成本 21 426 产量(千 x ? , y ? ? 71, 2 ( 元 / 月份 xi xiyi 6 6 件)xi 件)yi 6 6
2

?x
i ?1

2 i

? 79, ? xi yi ? 1 481 ,
i ?1

1

2

73

4

146

21 ? 71 6 b? ? 1.818 2, 21 2 79 ? 6 ? ( ) 6 21 a=71-(-1.818 2)× ≈77.37 6 1 481? 6 ?
1

则产量每增加 1 000 件,单位成本下降_______元.? 思路解析:由上表可得 y=-1.818 2x+77.37,产量每增加 1 千件,则单位成本下降 1.818 2 元.? 答案:1.818 2 5.某地区某种病的发病人数呈上升趋势,统计近四年这种病的新发病人数的线性回归分析如 下表所示: 年份(xi) 该年新发病人数(yi) x =1 997.5, y =2 540.25 1996 2 400 4 xi y i ? n x y 1997 2 491 i ?1 b= 4 =94.7? 1998 2 586

?

1999

2 684

?x
i ?1

2 i

? nx

2

a= y -b x =-186 623
如果不加控制,仍按这个趋势发展下去,请预测从 2000 年初到 2003 年底的四年时间里,该地 区这种病的新发病总人数约为_______.? 思路解析:由上表可得:y=94.7x-186 623,当 x 分别取 2 000,2 001,2 002,2 003 时,得估计 值 分 别 为 :2 777,2 871.7,2 966.4,3 061.1, 则 总 人 数 约 为 2 777+2 871.7+2 966.4+3 061.1≈11 676.? 答案:11 676 6.在 10 年期间,一城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系有如下数据. 第n年 1 2 3 4 5 居民年收入 32.2 31.1 32.9 35.8 37.1 x(亿元) 某商品销售 25.0 30.0 34 37 39.0 额 y(万元) 第n年 居民年收入 x(亿元) 某商品销售 额 y(万元) 6 38.0 41 7 39.0 42 8 43 42 9 44.6 48 10 46.0 51.0

? (1)画出散点图;? (2)如果它们具有线性关系,请用 Excel 软件求出回归直线方程.? 思路分析:通过散点图检验两个变量是否具有线性相关关系后,再求回归方程.从散点图能看 出它们有较好的线性关系.? 解:(1)根据数据画出散点图.?

(2)从散点图看出它们具有线性关系,可以用最小二乘估计方法或用 Excel 软件求出回归直 线方程 y=1.447x-15.843.
2

7.某城区为研究城镇居民月家庭人均生活费支出和月人均收入的相关关系,随机抽取 10 户 进行调查,其结果如下: 月人均收入 x(元) 300 390 420 504 570 700 760 800 850 1 080 月人均生活费 y(元) 255 324 330 345 450 520 580 650 700 750 利用上述资料:? (1)画出散点图;? (2)如果变量 x 与 y 之间具有线性相关关系,求出回归直线方程;? (3)测算人均收入为 280 元时,人均生活费支出应为多少元?? 思路分析:这是一个实际应用的回归分析问题,其实就是找出回归方程,通过回归直线方程来 分析月人均收入与月人均生活费的关系.? 解:(1)散点图如图所示.?

(2)回归直线方程为 y=0.707 61x+39.371 03.? (3)测算人均收入为 280 元时,人均生活费支出应为 237.5 元. ? ? 我综合我发展 2 8.每立方米混凝土的水泥用量 x(单位:kg)与 28 天后混凝土的抗压强度(单位:kg/cm )之间 的关系有如下数据. x 150 160 170 180 190 200 y 56.9 58.3 61.6 64.6 68.1 71.3

x y

210 74.1

220 77.4

230 80.2

240 82.6

250 86.4

260 89.7

(1)利用散点图判断它们的相关性;? (2)如果 y 与 x 之间具有线性相关关系,求回归直线方程.? 思路分析:求回归直线方程和相关系数,通常是用计算器来完成的.在有的较专门的计算器中, 可通过直接按键得出回归直线方程的系数和相关系数,而如果要用一般的科学计算器进行计 算,先列出相应的表格,有了表格中的那些相关数据,回归方程中的系数和相关系数就都容易 求出了.? 解:(1)画出散点图.?

(2) 从 散点 图 看出 y 与 x 具 有 线性 关 系 , 可 以用计 算 机 或计 算 器求 出线性 回 归 方程 y=0.304x+10.283.

3

9.以下资料是一位销售经理收集来的每年销售额和销售经验年数的关系: 销售经验(年) 1 3 4 4 6 8 10 10 年销售额(千元) 80 97 92 102 103 111 119 123 (1)依据这些数据画出散点图并作直线 y=78+4.2x,计算

11 117

13 136

?( y
i ?1

10

i

?i )2 ; ?y

(2)依据这些数据由最小二乘法求回归直线方程,并据此计算

?) ; ?(y ? y
2 i ?1 i i

10

(3)比较(1)和(2)中的平方和

?( y
i ?1

10

i

? i ) 2 的大小,谁更好一些?? ?y

思路分析:由回归方程的系数的计算公式进行计算 .通过本题的解答体会最小二乘估计的优 越性.? 解 :(1) 散 点 图 与 直 线 y^=78+4.2x 的 图 形 如 下 图 所 示 , 对 x=1,3,…,13, 有 y^=82.2,90.6,94.8,94.8,103.2,111.6,120,120,124.2,132.6,

?( y
i ?1

10

i

? i ) 2 =178.48.? ?y

(2) x ?
10

10 1 10 x ? 7 , y ? 108 , ( xi ? x) 2 ? 142, ? ? i 10 i ?1 i ?1

?(x
i ?1

i

? x)( yi ? y) =568,
568 =4,a= y -b x =108-4×7=80,? 142

所以 b=

? =4x+80.? 故y

? i =84,92,96,96,104,112,120,120,124,132.? y

?( y
i ?1

10

i

? i ) 2 ? 170. ?y

(3)比较可知,用最小二乘法求出的

?( y
i ?1

10

i

? i ) 2 较小,用最小二乘估计的算法优越一些. ?y

10.一机器可以按各种不同速度运转,其生产的物件有一些会有问题,每小时生产有问题物件

4

的多寡,随机器运转的速度而变化,下列即为其试验结果: 速度 每小时生产有问题物件数 8 5 12 8 14 9 16 11 ? (1)求出机器速度影响每小时生产有问题物件数的回归直线方程;? (2)若实际生产中所允许的每小时最大问题物件数为 10,那么,机器的速度不得超过多少转/ 秒?? 思路分析:把题中的量用回归分析的专用术语改写后再顺着回归分析的一般步骤解题.? 解:(1)用 x 来表示机器速度,y 表示每小时生产的有问题的物件数,那么有:? (x1,y1)=(8,5),(x2,y2)=(12,8),(x3,y3)=(14,9),(x4,y4)=(16,11), 则 x=12.5,y=8.25.? 回归直线的斜率为?

?x y
b=
i ?1 n i

n

i

? nx y ? nx
2

?x
i ?1

=0.728 6.?

2 i

截距 a= y ? b x =-0.857 1. 所以所求的回归方程为 y=0.728 6x-0.857 1.? (2)根据公式 y=0.728 6x-0.857 1,要使 y≤10,即 0.728 6x-0.857 1≤10,? ∴x≤14.901 3, 即机器的速度不能超过 14.901 3 转/秒. 11.一个工厂在某年里每月产品的总成本 y(万元)与该月产量 x(万件)之间有如下一组数据. x 1.08 1.12 1.19 1.28 1.36 1.48 y 2.25 2.37 2.40 2.55 2.64 2.75

x y

1.59 2.92

1.68 3.03

1.80 3.14

1.87 3.26

1.98 3.36

2.07 3.50

? (1)画出散点图;? (2)求月成本 y 与月产量 x 之间的回归直线方程.? 思路分析:从散点图中我们看出该月产量与总成本符合方程 y=1.277 0x+0.853 7,很好地反 映了它们之间的关系,我们可以根据要达到的产量来确定需要的总成本.? 解:(1)?

5

(2)利用计算器计算得?

x?

12 12 12 18.5 ? 1.541 7, y ? 2.822 5, ? xi2 =29.808, ? yi2 =97.768 1, ? xi yi =53.86. 12 i ?1 i ?1 i ?1

利用公式求得 b≈1.277 0,a=y-bx≈0.853 7.? 因此所求回归直线方程为 y=1.277 0x+0.853 7. ?

6


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