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高二数学双曲线及其标准方程_图文

问题1:椭圆的定义是什么? 平面内与两个定点 椭圆。 F1 , F2 的距离的和等于常数(大于 F1F2 )的点的轨迹叫做 问题2:椭圆的标准方程是怎样的? x2 y2 y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0)或 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 a b a b , , 关系如何? a b c a ?b ?c 2 2 2 问题3:如果把上述定义中“距离的和”改为“距离的差”那 么点 的轨迹会发生怎样的变化? 1.双曲线的定义: 平面内与两个定点 F1 , F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 )的点的轨 迹叫做双曲线。 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 M MF1 ? MF 2 ? 常数 F1 F2 2.标准方程的推导 ① 建系 y y轴为线段 使 轴经过两焦点 F1 , F2 , 的垂直平分线。 ② 设点 x F1 , F2 M F1 O F2 x 设 M ( x, y )是双曲线上任一点, 焦距为 2c(c ? 0) ,那么 焦点 的差的绝对值等于常数 2 a 。 ③ 列式 即 F 1 (?c,0), F 2 (c,0) 又设点 M 与 F1 , F2 MF1 ? MF2 ? 2a ( x ? c) 2 ? y 2 ? ( x ? c) 2 ? y 2 ? ?2a ④化简 得 (c 2 ? a 2 ) x 2 ? a 2 y 2 ? a 2 (c 2 ? a 2 ) 2 两边同除以 a (c 2 ? a 2 ) 得 x2 y2 ? 2 ?1 2 2 a c ?a ? 2c ? 2a ? c ? a ? c 2 ? a 2 ? 0 ?令c 2 ? a 2 ? b 2 (b ? 0) 代入得 x2 y2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 a b 这个方程叫做双曲线的标准方程。它所表示的是焦点在 2 2 2 F ( ? c , 0 ), F ( c , 0 ) c ? a ? b . 1 2 x轴上 焦点在 y 轴上的双曲线的标准方程是什么? y F2 y2 x2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 2 a b O x F1 3.两种标准方程的比较 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b ① 方程用“-”号连接。 ② 分母是 a 2 y2 x2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b , b2 , a ? 0, b ? 0 但 a , b 。 大小不定。 ③ c 2 ? a 2 ? b2 2 ④如果 x 的系数是正的,则焦点在 焦点在 y轴上。 x轴上;如果 y 2的系数是正的,则 判断下列方程是否表示双曲线?若是,求出 a, b, c及焦点坐标。 x2 y2 ?1? ? ? 1 4 2 x2 y2 ?3? ? ? ?1 4 2 答案: x2 y2 ?2? ? ? 1 2 2 x2 y2 ?4? ? ? 1(m ? 0, n ? 0) m n ?1?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (? 6,0).( 6,0) ?2?a ? 2, b ? 2, c ? 2 (?2,0).(2,0) ?3?a ? 2, b ? 2, c ? 6 (0, 6 ).(0,? 6 ) ?4?a ? m, b ? n, c ? m ? n ( m ? n ,0).(? m ? n ,0) (1)先把非标准方程化成标准方程,再判断焦点所在的坐标轴。 x2 y 2 ? ? 1(m n ? 0) 是否表示双曲线? (2) m n ?m ? 0 ? ?n ? 0 ?m ? 0 ? ?n ? 0 表示焦点在 x 轴上的双曲线; 表示焦点在 y轴上的双曲线。 x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,求 m的范围。 2 ? m m ?1 答案:m ? ?1或m ? ?2 。 1.已知双曲线两个焦点分别为 F 到F 1 (?5,0), F 2 (5,0) ,双曲线上一点 P 1 , F2 距离差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程。 解:因为双曲线的焦点在轴 x上,所以设它的标准方程为 x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 a b 因为 2 2 2 2a ? 6,2c ? 10 ,所以 a ? 3, c ? 5 ,所以 b ? 5 ? 3 ? 16. 因此,双曲线的标准方程为 x2 y2 ? ? 1. 9 16 小结:求标准方程要做到先定型,后定量。 求适合下列条件的双曲线的标准方程。 x上, a ? 4, b ? 3; ②焦点在在轴 x 上,经过点 ( ? 2 ,? 3 ), ( ①焦点在在轴 x2 y2 ? ?1 答案: ① 16 9 15 , 2) . 3 x2 y2 ② 设双曲线的标准方程为 2 ? 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) a b 15 , 2) 得 代入点 (? 2 ,? 3 ), ( 3 3 ? 2 ? ?1 ? a2 b2 ? 5 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 3a 2m ? 3n ? 1 ? 1 1 ? 令 m ? 2 ,n ? 2 则 5 ? m ? 2n ? 1 a b ? ?3 m ?1 ? ? 1 解得 ? n ? ? 3 ? 2 y 故所求双曲线的标准方程为 x 2 ? ? 1. 3 2.已知A,B 两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2秒,且声速为340m/s, 求炮弹爆炸点的轨迹方程。 分析: 假设爆炸点为P,爆炸点距A地比B地远; P PA ? PB ? 2 ? 340 爆炸点P的轨迹是靠近B处 的双曲线的一支。 A B 解:建立如图所示的直角坐标系 点O 与线段 AB 的中点重合。 设爆炸点 即 xOy,使 A, B 两点在 x 轴上,并且坐标原

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