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高一三角函数【同步】三角函数4份讲义【学生版】2015.5.24


学科教师教学辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 授课主题 年 级: 辅导科目:数学 T 正余弦函数的图像与性质 教学内容 课 时 数:3 学科教师:

【知识梳理】
1. 正弦函数的图像与性质

y=sinx
-4? -7? -3? 2 -5? 2 -2? -3? -? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2 ?

3? 2 2? 5? 2 3?

7? 2 4?

x

正弦函数的定义域是__________,最大值是____,最小值是____,周期是____, 递增区间是_____________________,递减区间是______________________. 对称轴是______________,对称中心是_____________; 答案:定义域是 x ? R ,最大值 1 ,最小值 ?1 ,周期 2? ,递增区间是 (? 递减区间是 (

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ), k ? Z ,

?
2

? 2k? ,

3? ? ? 2k? ), k ? Z . 对称轴 x ? k? ? , k ? Z ,对称中心 (k? ,0), k ? Z , 2 2

2. 余弦函数的图像与性质

y=cosx
-3? -4? -7? 2 -5? 2 -? -2? -3? 2 -

y
? 2

1 o -1
? 2

?

3? 2 2? 5? 2

3?

7? 2

4?

x

余弦函数的定义域是______,最大值是______,最小值是____,周期是____, 递增区间是_____________________,递减区间是______________________. 对称轴是__________________,对称中心是____________; 答案:定义域是 x ? R ,最大值 1 ,最小值 ?1 ,周期 2? ,递增区间是 (?? ? 2k? , 2k? ), k ? Z ,递减 区间是 (2k? , ? ? 2k? ), k ? Z ;对称轴 x ? k? , k ? Z ,对称中心 (k? ?

?
2

,0), k ? Z .

1

【典例精讲】 例 1.求下列函数的定义域和值域: (1) y ?

sin x ? cos x ;

( 0, ?) (2) y ? 3 sin x ? cos x,x ?

变式练习:求函数 y ? (2 ? sin x)(5 ? sin x) 的值域.

例 2.求下列函数的最小正周期、奇偶性、单调递增区间: (1) y ? sin x ? cos x ; (2) y ? sin x cos x

变式练习 1:求函数 y ?| sin x | 的最小正周期.

变式练习 2:求函数 y ?| sin(2 x ?

?
6

) | 的最小正周期.

2

例 3.要在一个半径为 R 的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ABCD , 问应如何截取, 并求出此矩形的面积.

D A O θ

C B

例 4.已知 a 是实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图像不可能 是 ...





例 5.求函数 f ( x) ? log 1 cos( x ?
2

1 3

?
4

) 的单调递增区间.

例 6.(选)利用正弦函数和余弦函数的图像,求满足下列条件的 x 的集合:

(1) sin x ?

1 2

(2) cos x ?

1 2

3

【课堂强化】 1.在下列四个函数中,周期为 A. y ? 2sin 2 x cos 2 x C. y ? x tan 2 x

? 的偶函数为 2





B. y ? cos2 2x ? sin 2 2x D. y ? cos2 x ? sin 2 x )

?? ?? ? ? 2.函数 y ? sin? x ? ? ? cos? x ? ? 的最大值、最小值分别为( 6 6? ? ? ?
A. 2, ?2 C. B. D.

3 ? 1,? 3 ? 1
6? 2 6? 2 ,? 2 2
( ) B.最小正周期为 2? 的偶函数. D.最小正周期为 ? 的偶函数.

2 ,? 2

3.函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x 是 A.最小正周期为 2? 的奇函数. C.最小正周期为 ? 的奇函数. 4.若将函数 f ( x) = 为( ) A.

3 sin x 的图像向左平移 a (a > 0) 个单位,所得图像对应的函数为偶函数,则 a 的最小值 1 cos x

? 6

B.

? 3

C.

2? 3

D.

5? 6


5.函数 y ? sin x ? cos(? ? x) ( x ? R ) 的单调递增区间为

6. “ a

1 ? ”是函数 y ? cos2 2ax ? sin 2 2ax 的最小正周期为 ? 的 2
B 必要不充分条件 C 充要条件

(

)

A 充分不必要条件

D 既不充分也不必要条件

7.函数 y ? sin x ? cos x 的最小正周期是
4 4

8.函数 y ? cos4 ? x ? sin 4 ? x 的最小正周期 T ?



9.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M , N 两点,则 MN 的最大值 为 .
4

10.同一坐标系中,函数 y ? cos( ?

x 3? 1 )( x ?[0, 2? ]) 的图像和直线 y ? 的交点个数有_____个; 2 2 2

11.已知函数 f ( x) ? sin ?x 的图像的一部分如下方左图,则下方右图的图像所对应的解析式为(
y
1 1



y

-1 -1

0

1

x

-1

0 -1

0.5

1

x

1 A. y ? f (2 x ? ) 2

B. y ? f (2 x ? 1)

C. y ? f (

x ? 1) 2

D. y ? f (

x 1 ? ) 2 2

12.(选)函数 y ? sin(2 x ? ? ) 的图像关于 y 轴对称,则 ? =

13.定义函数 f ( x) ? ?

?sin x, ?cos x,

sin x ? cos x ,给出下列四个命题: sinx ? cos x

(1) 该函数的值域为 [?1,1] ; (2) 当且仅当 x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z ) 时,该函数取得最大值;

(3) 该函数是以 ? 为最小正周期的周期函数; (4) 当且仅当 2k? ? ? ? x ? 2k? ? 上述命题中正确的个数是 ( A 1个 B. 2 个

3? (k ? Z ) 时, f ( x) ? 0 . 2
D. 4 个

) C. 3 个

15.定义函数 f ( x) ? ?

?sin x, ?cos x,

sin x ? cos x ,根据函数的图像与性质填空: sinx ? cos x

(1) 该函数的值域为_______________; (2) 当且仅当________________________时,该函数取得最大值; (3) 该函数是以________为最小正周期的周期函数; (4) 当且仅当______________________________时, f ( x) ? 0 .

5

【课后作业】 1.求定义域 (1) y ?

2 ? log x 1 ? tan x
2

(2) y ? lg( 2 sin x ? 2 ) ? 1 ? 2 cos x

(3) y ? 2 sin 2 x ? 2 cos x ? 3

2 函数 y ? sin x ? 16 ? x 的定义域为
2



3.函数 y ?

9 ? x 2 ? lg( 2 sin x ? 3 ) 的定义域为

4.若函数 y ? 2 sin 2 x ?

a cos 2x ? 4 的最小值是 1,则 a ?

5.函数 y ? sin x ? sin x 的值域是

6.已知函数 y ? 2 cos x sin( x ?

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x

(1)求函数的最小正周期(2)求函数的最值(3)求函数递增区间

7.方程 sin x ? lg x 的实根的个数是

6

8

类题:

1.已知函数 f ( x) ?

1 2 3 sin x ? cos 2 x ? sin 2 x 2 4

1) 求函数 f ( x) 的单调区间 2) 2)问 x 取何值时,函数 f ( x) 取最大值.

10 下列函数中,最小正周期为 ? 的偶函数是( ) (A) y ? sin 2 x (B) y ? cos

x 2

(C) y ? sin 2 x ? cos 2 x

(D) y ?

1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 x

11.函数 y ? log 1 cos x 的定义域为
2

值域为

12.函数 y ? sin

x x ? cos 在 ?? 2? ,2? ?内单调递增区间为 2 2

13.函数 y ?

9 ? x 2 ? lg( 2 sin x ? 3 ) 的定义域为

14.若函数 y ? 2 sin 2 x ?

a cos 2x ? 4 的最小值是 1,则 a ?

7

15.函数 y ? sin x ? sin x 的值域是

16.求函数 y ? (sin x ? 1)(cosx ? 1) 的最大值,最小值及取得最大值,最小值时 x 的值

17.已知函数 y ? 2 cos x sin( x ? (1)求函数的最小正周期 (2)求函数的最值 (3)求函数递增区间

?
3

) ? 3 sin 2 x ? sin x cos x

18.方程 sin x ? lg x 的实根的个数是

8

学科教师教学辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 授课主题 年 级: 辅导科目:数学 课 时 数:3 学科教师:

T 正切函数图像与性质
教学内容

【知识梳理】 1.正切函数的图像
可选择 ? ? 的图像 y y

? ? ?? , ? 的区间作出它的图像,通过单位圆和正切线,类比正、余弦函数图像的画法作出正切函数 ? 2 2?

?

?
2
(1)

?x 2

3 ? ? 2

?

?
2

0

? 2

3 x ? 2

(2)

根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x, x ? R ,且 x ? k? ? 的图像,称“正切曲线”. 2.正切函数的图像与性质 (1)定义域: {x | x ? k? ? (2)值域: R 观察:当 x 从小于 k? ? 当 x 从大于 (3)周期性: T ? ? (5)单调性:在开区间 (?

?
2

(k ? Z )

?
2

(k ? Z )} , ? ?k ? z ? , x ? ?? k? ? 时, tan x ? ?? ?

?
2

?
2

? k? ?k ? z ? , x ? ??

?
2

2

? k? 时, tan x ? ?? ?? .

(4)奇偶性: tan(? x) ? ? tan x

?
2

? k? ,

?
2

? k? ), k ? Z 内,函数单调递增.
1

【典例精讲】
(★)比较 tan ? ?

例1.

? 13 ? ? 17 ? ? ? 与 tan ? ? ? ? 的大小. ? 4 ? ? 5 ?

例2.

(★★)讨论函数

?? ? y ? tan ? x ? ? 的性质 4? ?

变式: (★★)求函数 y ?

?? ? tan? x ? ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 4? ?

例3.

(★★)求函数

?? ? y ? tan? 3x ? ? 的定义域、值域,并指出它的周期性、奇偶性、单调性. 3? ?

例4.

(★★)若将函数

y ? 3tan 2 x 的图像向右平移 1 个单位,得到的图像对应的函数解析式是



巩固练习:
(★★)函数

1 1 y ? tan( x ? ? ) 在一个周期内的图像是( 2 3



例5.

(★★★)判断命题正确与否:

y ? tan x 在第一象限是增函数.

2

【课堂检测】
1.①存在 ? ? (0,

?

1 ) ,使 sin ? ? cos? ? ; 2 3

②存在区间 (a, b) ,使 y ? cos x 为减函数而 sin x ? 0 ③y=tanx 在定义域内为增函数 ④ y ? cos 2 x ? sin( ⑤ y ? sin 2 x ?

?
2

? x) 既有最大值,最小值又是偶函数.

?
6

最小正周期为 ?

以上命题错误的是

2.若 tan x ? 3 tan y(0 ? y ? x ?

?
2

) ,求 u ? x ? y 的最大值.

3.求函数 y ? 2 tan(3x ?

?
4

) 的定义域与值域.

4.求函数 y ? tan x ? tan( x ?

3? ) 的最小正周期以及单调区间. 2

3

5.函数 y ?

2 tan x 的最小正周期 1 ? tan 2 x

6.判断函数 y ? lg

tan x ? 1 的奇偶性. tan x ? 1

7.如果 ? , ? ? (

?
2

, ? ) ,且 tan ? ? cot ? ,那么必有( )
C ? ?? ?

A ???

B? ??

3? 2

D? ?? ?

3? 2

4

【强化作业】 1.写出函数 y ? tan( 2 x ?

?
4

) 的一个对称中心

2.函数 y ? tan

2x 的最小正周期是 3

3.函数 f ( x) ?

3 ? tan x 的定义域是

4.函数 y ? tan(

?

? ? ?? ? x), x ? ?? , ? 的值域是 6 ? 3 3?

5.函数 y ? tan(

?

1 ? x) 的单调递减区间为 6 4

6.函数 y ?

2 ? log 1 x ? tan x 的定义域是
2

5

7.给出下列命题: ①正切函数的图像的对称中心是唯一的; ② y ? sin x , y ? tan x 的周期分别为 ? , ③若 x 1 ? x 2 ,则 sin x1 ? sin x2 ④若 f ( x) 是 R`上的奇函数,它的最小正周期为 T ,则 f (? 其中正确的序号是

?
2

T )?0 2

8.函数 y ? cot ax 的最小正周期为

9.下列函数中,最小正周期为 ? 的偶函数的是( )

A

y ? sin 2 x

B y ? cos

x 2

C

y ? sin 2x ? cos 2x

D y?

1 ? tan 2 x 1 ? tan 2 x

10.下列函数中,既是偶函数又在 (0, ? ) 上单调递增的是(

)

A y ? tan x

B y ? cos(? x)

C y ? sin( x ? ) 2

?

D y ? cot

x 2

11.函数 y ? tan x 的图像与 x 轴在 ??

? 5? 5? ? , 上交点的个数是( ? 2 2? ?
9

)

A

3

B 5

C

7

D

6

12.若 f ( x) ? a tan 5x ? b sin 3x ? 2cx ? 1 ,且 f (1) ? 6 ,求 f (?1) 的值.

13.一下四个函数:① y ? cot x 是奇函数有是周期函数的有

1 ? sin x 5? ② y ? tan x ? cot x ③ y ? cos(3x ? ) ④ y ? sin 2 x ? sin x ? 1 中,既 1 ? sin x 2

14.满足 f ( ? x) ? f ( ? x) 的函数是( )

1 2

1 2

A f ( x) ? cos?x

B

f ( x) ? sin ?x C f ( x) ? tan ?x

D f ( x) ? cot?x

15.函数 y ?

sin x cos x tan x cot x ? ? ? 的值域是 sin x cos x tan x cot x

16.利用图像判断方程 sin x ? tan

x 在区间 ?0,8? ?上解的个数是 2

7

精锐教育学科教师辅导讲义
年 课 级:高一 题 辅导科目: 数学 反三角函数 熟练掌握反三角函数的定义、图像及基本性质; 教学内容 课时数:3

教学目的

【知识梳理】反三角函数:
名称 反正弦函数 y=sinx x∈[定义 反余弦函数 y=cosx(x∈[0,π ] 的反函数,叫做反 余弦函数,记作 x=arccosy 反正切函数 y=tanx x ∈ (反余切函数 y=cotx x ∈ (0, π ) 的 反 函数,叫做反余 切函数,记作 x=arccoty arccotx 表示 属

? ? , ] 的 2 2

? ? , )) 2 2

反函数, 叫做反正 弦函数,记作 x=arsiny arcsinx 表 示 属

的反函数, 叫做反正 切 函 数 , 记 作 x=arctany arctanx 表 示 属 于

理解

? ? 于[- , ] 2 2
且正弦值等于 x 的角

arccosx 表示属于 [0,π ] ,且余弦 值等于 x 的角

? ? 于(0,π )且余切 (- , ),且正切 值等于 x 的角 2 2
值等于 x 的角

图像

定义域 值域 性 质 单调性

[-1,1] [-

[-1,1] [0,π ] 在[-1,1]上是减 函数 arccos(-x)= π -arccosx 非奇非偶函数 cos(arccosx)=x (x ∈ [ -1,1 ] ) arccos(cosx)=x (x∈[0,π ])

(-∞,+∞) (-

(-∞,+∞) (0,π ) 在 (- ∞, + ∞ ) 上 是减函数 arccot(-x)= π -arcotgx 非奇非偶函数 cot(arcotgx)=x (x∈R) arccot(cotx)=x (x∈(0,π ))

? ? , ] 2 2

? ? , ) 2 2

在[-1,1]上是增 函数 arcsin(-x)=-arc sinx 奇函数

在(-∞, +∞)上是增 数 arctan(-x)=-arcta nx 奇函数 tan(arctanx) (x∈R) arctan(tanx)=x (x∈(-

奇偶性 周期性

都不是周期函数 sin(arcsinx)=x (x∈[-1,1]) arcsin(sinx)=x (x∈ [-

恒等式

? ? , ] ) 2 2

互余恒等式

arcsinx+arccosx=
1

? (x∈[-1,1]) 2

? ? , )) 2 2

arctanx+arccotx=

? (X∈R) 2

【典型例题】
例 1、 在下列式子中: (1) arcsin 并简述理由。

?

;(2) arcsin ;(3) arcsin(?3);(4) arcsin(sin 3);(5)sin(arcsin 3) 有意义的是哪几个? 6 3

?

变式练习: (1) arccos

?

? 3 ;(2) arccos ;(3) arccos(?2);(4) arccos(cos 6);(5) cos(arccos ) 哪些有意义?为什么? 4 3 4

? ? 3 (1) arctan ;(2) arctan ;(3) arctan(?2);(4) arctan(cos 6);(5) cos(arctan ) 哪些有意义、为什么? 4 3 4

例 2、求值

? 3? ? 3? ? 3? 1 1 (1) arcsin ? ? ;(2) arcsin1;(3) arcsin ;(4) arccos ;(5) arccos ? ;(6) arctan ? 1 ;(7) arctan ? ? ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?? 3 ? ?. 2 2 ? ? ? ? ? ?

例 3、用反三角函数表示下列式子中的 x.

1 ? ?? (1)sin x ? , x ? ? 0, ? ; 5 ? 2? 1 ?? ? (2)sin x ? , x ? ? , ? ? ; 5 ?2 ? 4 ? 3? ? (3) cos x ? ? , x ? ? ? , ? ; 5 ? 2 ? ? ? 5? 8? ? (4) tan( x ? ) ? 5, x ? ? , ? 6 ? 3 3 ?
注意用反三角函数表示角的步骤:先利用诱导公式把角转换到相应的反三角函数的定义域内,再用反三角函数表示。

2

变式练习:用反三角函数表示下列式子中的 x. (1) sin x ? ? (? ? x ?

3 4

3? ) 2

(2) tan x ? ?3, x ?[0, 2? ]

例 4、求下列函数的反函数。

x ? (1) y ? 2sin (0 ? x ? ); 2 3 1 (2) y ? arccos(2 x ? 1)(0 ? x ? ); 2 (3) y ? 2? ? arctan x.

例 5、求下列函数的定义域和值域

1 (1) y ? arcsin(2 x ? 1); 2 (2) y ? arcsin( x ? 3) ? ; 6 2 (3) y ? 2arccos( x ? x ? 1); (4) y ? arctan( x 2 ? 2 x).

?

3

例 6、满足 arccos(1-x)≥arccosx 的 x 的取值范围是( A.[-1,C.[0,

)

1 ] 2

1 ] 2

1 ,0] 2 1 D.[ ,1] 2
B.[-

例 7、 已知 cos2α =

7 ? 5 3? ,α ∈(0, ),sinβ =- ,β ∈(π , ) 25 13 2 2

求α +β (用反三角函数表示).

例 8、记函数 y= A.无穷多个

1 的图像为 l1,y=arctanx 的图像为 l2,那么 l1 和 l2 的交点个数是( x
B.2 个 C.1 个 D.0

)

【课堂总结】
注意本节内容在理解与应用中常见的错误是: 1、不清楚反三角函数存在的条件,导致解题错误; 2、不在规定定义域内运用反三角函数的性质。

【课堂练习】
1、函数 y ? 2arcsin( x ? 3) 的定义域为 ,值域为 。

2、 arcsin

1 3 ? arcsin(? ) ? 2 2



3、若 sin x ?

1 ?? ? , x ? ? , ? ? ,则 x ? 3 ?2 ? 3 ? arctan 3) ? 2




4、 tan(arccos 5、设 ? ?

4? , 则 arccos(cos ? ) ? 3
4



6、下列各式中正确的是( A、 arcsin(



5? 5? )? 6 6

B、 sin(arcsin

?

3 1 C、 arcsin(sin ) ? 6 2

?

3

)?

?

D、 tan(? ? arcsin 0) ? 0 7、若 sin(arccos x) ? x ,则 x 的取值范围是( A、 ? ? )

? ? ?? , ? 2 2? ?

B、 ? ?

? ? ? ,0 ? 2 ? ?

C、[0,1]

D、[-1,1]

8、在△ABC 中,若 cos A ? ? , 则∠A为 ( A、 arccos

1 3



1 3

B、 ? ? arccos

9、 arccos[cos(? A、 ?

?
4

1 3


C、 ? arccos

1 3

D、 arccos

1 1 或 ? ? arccos 3 3

)] 的值等于(

?
4

B、

? 3? 3? C、 D、 ? 4 4 4


10、若 ? ? arcsin(sin 4) ,则 ? 等于( A、4 B、-4

C、 ? ? 4 D、 4 ? ? 3 11、在区间 [? ,1] 上与函数 y=x 的图像相同的函数是: ( 2 A、 y ? arccos(cos x) B、 y ? arcsin(sin x) C、 sin(arcsin x) D、 y ? cos(arccos x) 12、求下列函数的定义域和值域。 (1) y ? arcsin



x ? ? 3 3
2

(2) y ? arccos(? x ? x ? 1) (3) y ? arctan x ?

?
4

5

13、求下列各式的值 (1) y ? sin(arcsin )

1 2

12 ) 13 1 (3) cot(arctan ) 2
(2) cos(arcsin

14、已知 sin x ? ?

4 ,其中 x ?[0, 2? ] 用反函数表示 x. 7

15、求函数 y ? arcsin( x2 ? x) 的定义域、值域和单调递增区间。

6

【课后练习】
1、函数 y ? arccos(2sin x ?1) 的递增区间是 。

2、已知函数 f ( x) ? arcsin(2 x ? 1)(?1 ? x ? 0), 则f ?1 ( ) ?

?

6



3、函数 (arcsin x)2 ? 2arcsin x ?1的最大值是

,最小值是



4、 arctan(?2) ? arctan(?3) ? ( A、 ? ? arctan(?1) C、 arctan1 ? ?

) B、 ? arctan1 D、 2? ? arctan(?1)

5、已知等腰三角形的顶角为 arccos(? ) ,则底角的正切值是(

1 3



A、

2 2

B、 ?

1 3

C、3

D、

1 3

6、已知 cos x ? ? (? ? x ? (1) ? ? arccos

1 3

3 ? ), 那么以下四个式子: 2

2 2 1 1 1 (2) arccos(? ) (3) ? ? arccos (4) ? ? arcsin 3 3 3 3


其中可以表示 x 的式子是(

A、 (1) (2) ;B、 (3) (4) ;C、 (1) (4) ;D、 (2) (4)

7、已知函数 f ( x) ? arcsin(sin x), g ( x) ? cos(2arccos x) ,求证: f ( x) 是奇函数, g ( x) 是偶函数。

7

8、若 f (arccos x) ? x2 ? 4x ,求 f ( x) 的最小值及取得最小值时的 x 值。

9、 求函数y ? arctan cos? cos x 的定义域、值域。
2

8

精锐教育学科教师辅导讲义
学员编号: 学员姓名: 课 题 T 最简三角方程 年 级:高一 辅导科目:数学 C 教学内容 课时数:3 学科教师: T

【知识导入】
1、三角方程的定义: 我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程;把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程 的解集。如 sin x ?

1 3 , cos x ? ? 等。 2 2

一般地,由于三角函数具有周期性,因此三角方程的解集一般含有无穷多个元素。 2、解简单的三角方程是通过三角函数与代数式的恒等变形,化成最简的三角方程,因此必须熟练写出最简三 角方程的解集,它们是: (1) sin x ? a, a ? 1 ,则 x ? (2) cos x ? a, a ? 1, 则 x ? (3) tan x ? a, a ? R, 则 x ? 小结: (1) 如果 sin ? ? sin ? , 则有_____(2) 如果 cos? ? cos ? , 则有__(3) 如果 tan ? ? tan ? , 则有_____ 最简单三角方程的解集: 方程 方程的解集

a ?1

?
{x x ? 2k? ? arcsin a, k ? Z }
{x x ? k? ? (?1)k arcsin a, k ? Z}

sin x ? a

a ?1 a ?1 a ?1

?
{x x ? 2k? ? arccos a, k ? Z } {x x ? 2k? ? arccos a, k ? Z } {x x ? k? ? arctan a, k ? Z }

cos x ? a

a ?1 a ?1

tan x ? a

1

3、解简单三角方程的方法 解三角方程往往最终归结为解最简三角方程,一是要掌握基本方法,二是要合理选用公式和变换方法。基本的 转化方法是: (1)化为同角或同名的三角函数 (2)因式分解法 (3)化为 sin x, cos x 齐次式 (4)引入辅助角。

【例题分析】
1、方程 sin x ? a 的解集 [例 1] 求三角方程 sin x ? 的解集;
1 2

归纳方程 sin x ? a 的解: (i)当 | a |? 1 时,方程无解; (ii)当 | a |? 1 时, x ? 2k? ? arcsin a 或 x ? 2k? ? ? ? arcsin a ( k ? Z ) 也可写成 x ? k? ? (?1)k arcsina ( k ? Z ) 。 特别的: 当 a ? 0 时, x ? k? ( k ? Z ) 。 当 a ? 1 时, x ? 2k? ? ( k ? Z ) 。 当 a ? ?1 时, x ? 2k? ? ( k ? Z ) 。 注意:1、函数 y ? sin x , x ? (??, ?] 图像与方程解之间的关系。 2、单位圆和三角函数线与方程解之间的关系。 巩固练习: (1) sin x ? 0 ;
(2) sin x ? ?

? 2

? 2

2 ; 2

(3) sin x ? ?1 ;

(4) sin x ?

1 3

2

? 3 变式:1、 2 sin(3x ? ) ? 4 2
2、解方程: a sin x ? a ?1(a ? 0)

2、方程 cosx ? a 的解集。 [例 2] 求三角方程 cos x ? ? 的解集。
1 2

归纳方程 cosx ? a 的解: (i)当 | a |? 1 时,方程无解; (ii)当 | a |? 1 时, x ? 2k? ? arccosa ( k ? Z ) 。 特别的:当 a ? 0 时, x ? k? ? ( k ? Z ) 。 当 a ? 1 时, x ? 2k? ( k ? Z ) 。 当 a ? ?1 时, x ? 2k? ? ? ( k ? Z ) 。 【巩固练习】 (1) 2cos 2x ? ?1 (2) cos x ? ?
3 5 ? 2

x 变式:满足条件 2cos( +45°)=1 的角 x 的集合是( ) 3 A.{x|x=3k·360°+45°或 x=3k·360°-315°,k∈Z} B.{x|x=2k·180°+45°或 x=2k·180°-315°,k∈Z} C.{x|x=k·180°-45°或 x=k·180°+315°,k∈Z} D.{x|x=3k·360°-45°或 x=3k·360°+315°,k∈Z}
3

3、方程 tan x ? a 的解集 [例 3] 求解方程 tan x ? ? 3 的解集,并总结一般的三角方程 tan x ? a,a ? R 的一般解集。

归纳方程 tan x ? a 的解: x ? k? ? arctan a ( k ? Z )

【巩固练习】 求下列方程的解集: (1) 2tan x ? 2 ? 0

(2)若 x ? (?2?,0) 呢?

(3) 3 tan 2 x ? 1 ? 0

例 4 几种常见题型: (1) 2sin(5x ? 45?) ? ? 3 ,且 x 为锐角。

(2) sin x ? cos x ? 1

(3) sin x ? cos2 x ? 1

4

(4) sin 5x ? sin 3x

(5) tan9 x ? tan 2 x ? 0

(6) sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? 1

(7) sin 2 x ? 7sin x cos x ? 6cos2 x ? 0(cos x ? 0)

小结: (1)以上的方程都可以转化为最简三角方程求解; (2)一定要掌握最简三角方程的一般解集。 变式、当锐角 ? 为何值时,方程 (3sin ? ) x2 ? (4cos? ) x ? 2 ? 0 有两个相等的实根,并求这个方程

【总结】 解三角方程往往最终归结为解最简三角方程,一是要掌握基本方法,二是要合理选用公式和变换 方法。基本的转化方法是: (1)化为同角或同名的三角函数(2)因式分解法(3)化为 sin x, cos x 齐次式(4)引入辅助角。
5

例 5、根据下列条件,求下列方程的解集: (1) sin x ? 3 cos x ? 2 , x ?[?2? ,0) ;

x (2) 3sin ? cos x ? 1 ? 0, x ?[?2? ,2? ]. 2

【小结】 (1)对于方程 sin x ? a (或 cos x ? a ) ,应先根据 a 的取值判断方程是否有解; (2)三角函数是周期函数,解答时要考虑周期性; (3)如果未知数 x 的范围是指定的,应先求出方程的通解,再对其中 k 取特殊值,找到符合题意 的解.

【课堂练习】
(1) 2 3 cos2 ? ? sin ?

(2) sin 2x ? 12(sin x ? cos x) ? 12 ? 0

(3) cos 2 x ? sec x ? sec x ? 1 ? 0

6

(4) sin x ? 3 cos x ? 1

(5) sin 2x ? cos x

(6)解方程:

1 ? cos 2 x sin 2 x ? 2cos x 1 ? cos 2 x

【课后作业】
1、若 0 ? x ?

3? ,解方程 cos(? cos x) ? 0 2

2、方程 sin x ? cos x ? 2 的解集是

3、方程

sin x ? 1 的解集是 1 ? cos x

7

4、 ? 为三角形的一个内角,且 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 ? 为 5





A、 arcsin

4 5

B、 ? ? arcsin

4 5

C、 ? ? arcsin(? )

4 5

D、不能确定

5、解方程: (1) 2sin x ? cos2 x ? 0
2

(2) sin x ? cos x ? sin x ? cos x ? ?1

6、求 k 的取值范围 ,使得关于 x 的方程 sin x ? sin x ? k ? 0 在 [?
2

? ?

, ]上 2 2
(3)有两解

(1)无解

(2)仅有一解

8


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