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山东省高中数学《1.6三角函数模型的简单应用》课件 新人教A版必修4


1.6

三角函数模型的简单应用

【课标要求】 1.能够根据三角函数 y=Asin(ωx+φ)的性质解决生活中简单的实 际问题. 2.能够根据题中数据建立三角函数模型,再利用三角函数模型分 析问题、解决问题. 【核心扫描】 1. 用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题.(重点) 2.从实际问题中抽象出三角函数模型.(难点)

自学导引 1.求解三角函数模型应用题的基本步骤 (1)审题:审题是解题的基础,它包括阅读、理解、分析、翻译、 转化,从中提炼出相应的数学问题. (2)建模:将题中的语言文字信息转化为数学语言,列出数量关 系,建立三角函数模型. (3)解模:利用三角函数知识进行推理运算,使问题得到解决. (4)还原: 将解出的结果代入原问题, 进行检验, 最后得出结论, 给出答案.

2.(1)函数 y=Asin(ωx+φ)+k(Aω≠0)的最大值为|A|+k,最小 值为-|A|+k. (2)若函数 y=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0)的最大值为 ymax,最小 ymax+ymin ymax-ymin 值为 ymin,则 =k, =A. 2 2

名师点睛 建立三角函数模型应注意事项 (1)三角函数作为描述现实世界中的周期现象的一种数学模型, 在测量、计算与角有关的问题中得到了广泛的应用,如三角函 数知识在气温的周期变化、 太阳的直射与物体影子长度的关系、 海水的潮汐变化等方面都有它的应用. (2)在由图象确定函数解析式时,注意运用方程思想和待定系数 法来确定参数.

(3)在已知解析式作图时要用类比的方法将陌生的问题转化成 熟悉的问题. (4)在应用三角函数模型解答应用题时,要善于将符号、图形、 文字等各种语言巧妙转化,并充分利用数形结合思想直观地理 解问题.

题型一

由函数解析式作出函数图象问题

【例 1】 画出函数 y=|sin x|+1 的图象并观察其周期. [思路探索] 把正弦曲线在 x 轴下方的部分翻折到 x 轴上方,x 轴上方的图象不动,然后再把整个图象向上平移 1 个单位,即 得 y=|sin x|+1 的图象,再由图象求周期.



函数图象如图所示:

从图中可以看出, 函数 y=|sin x|+1 是以 π 为周期的波浪形曲线. 规律方法 利用所学知识作出函数图象是研究函数性质最关键

的一步.这样,就可以利用函数图象的直观性,通过观察图象而 获得对函数性质的深刻认识,这是研究数学问题的常用方法.

【变式 1】 与图中曲线对应的函数是(

).

A.y=|sin x| C.y=-sin |x|

B.y=sin |x| D.y=-|sin x|

解析 从图中可以看到函数为偶函数,这显然对问题的解决意 义不大,因为四个函数都是偶函数. 注意到图象所对的函数值有正有负,因此排除 A、D.当 x∈(0, π)时,sin |x|>0,而图中显然是小于零,因此排除 B,故选 C. 答案 C

题型二

应用函数模型解题

【例 2】 已知电流 I 与时间 t 的关系为 I=Asin(ωt+φ).

π (1)如图所示的是 I=Asin(ωt+φ)(ω>0,|φ|< )在一个周期内的图 2 象,根据图中数据求 I=Asin(ωt+φ)的解析式; 1 (2)如果 t 在任意一段150秒的时间内,电流 I=Asin(ωt+φ)都能 取得最大值和最小值,那么 ω 的最小正整数值是多少?

[思路探索] (1)根据图中提供的数据求 T,进而得出 ω,根据图
? 1 ? 象过?180,0?得出 ? ?

φ,从而得出函数解析式.

1 (2)由题意得出周期 T 不超过150是关键.

1 1 解 (1)由图知 A=300,设 t1=-900,t2=180, 则周期
? 1 1 ? 1 T=2(t2-t1)=2?180+900?=75. ? ?

2π ∴ω= =150π. T
? ? 1 1 又当 t= 时,I=0,即 sin?150π·180+φ?=0, 180 ? ?

π π 而|φ|<2,∴φ=6. 故所求的解析式为
? π? I=300sin?150πt+6?. ? ?

1 2π 1 (2)依题意,周期 T≤150,即 ω ≤150(ω>0), ∴ω≥300π>942,又 ω∈N*, 故所求最小正整数 ω=943. 规律方法 例题中的函数模型已经给出,观察图象和利用待定

系数法可以求出解析式中的未知参数,从而确定函数解析式. 此类问题解题关键是将图形语言转化为符号语言, 其中, 读图、 识图、用图是数形结合的有效途径.

【变式 2】 交流电的电压 E(单位:伏)与时间 t(单位:秒)的关 系可用 E=220
? π? 3sin?100πt+6?来表示,求: ? ?

(1)开始时的电压; (2)电压值重复出现一次的时间间隔; (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间.

解 (1)当 t=0 时,E=110 3(伏), 即开始时的电压为 110 3伏. 2π 1 (2)T=100π=50(秒),即时间间隔为 0.02 秒. (3)电压的最大值为 220 3伏, π π 当 100πt+6=2, 1 即 t=300秒时第一次取得最大值.

题型三

构建函数模型

【例 3】 如图为一个缆车示意图, 该缆车半径为 4.8 m,圆上最低点 与地面距离为 0.8 m,60 秒转动一圈, 图中 OA 与地面垂直,以 OA 为始边,逆时针转动 θ 角到 OB,设 点 B 与地面距离为 h. (1)求 h 与 θ 间的函数关系式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒后到达 OB,求 h 与 t 之间的函数
解析式,并求缆车第一次到达最高点时用的最少时间是多少? 审题指导 分析题目 → 列出函数解析式 → 应用求解

[规范解答]

(1)以圆心 O 为原点,建立

如图所示的坐标系,则以 Ox 为始边,OB π 为终边的角为 θ-2,故 B 点坐标为
? ? ? π? π?? ?4.8cos?θ- ?,4.8sin?θ- ??. 2? 2?? ? ? ? ? π? ∴h=5.6+4.8sin?θ-2?. ? ?

(4 分) (6 分)

π π (2)点 A 在圆上转动的角速度是30,故 t 秒转过的弧度数为30t,
?π π? ∴h=5.6+4.8sin?30t-2?,t∈[0,+∞). ? ?

(10 分)

到达最高点时 h=10.4 m. 由
?π π? sin?30t-2?=1 ? ?

π π π 得30t-2=2.∴t=30. (12 分)

∴缆车到达最高点时,用的时间最少为 30 秒.

【题后反思】 面对现际问题时, 能够迅速地建立数学模型是一 项重要的基本技能.这个过程并不神秘,比如本例题,在读题 时把问题提供的“条件”逐条地“翻译”成“数学语言”,这 个过程就是数学建模的过程,在解题中,将实际问题转化为与 三角函数有关的问题的常见形式有:求出三角函数的解析式; 画出函数的图象以及利用函数的性质进行解题.

【变式 3】 如图,点 P 是半径为 r cm 的砂轮边缘上的一个质点,它从初始位 置 P0 开始,按逆时针方向以角速度 ω rad/s 做圆周运动,求点 P 的纵坐标 y 关于时间 t 的函数关系,并求 点的运动周期和频率. 解 当质点 P 从点 P0 转到点 P 位置时, 点 P 转过的角度为 ωt, 则∠POx=ωt+φ. 由任意角的三角函数得点 P 的纵坐标为 y=rsin(ωt+φ),即为所求的函数关系式. 2π 1 ω 点 P 的运动周期为 T= ,频率 f= =2π. ω T

方法技巧 转化与化归思想 利用三角函数的周期能够建立三角函数模型解决一些简单问 题,其实施的过程就是转化与化归.根据搜集到的数据,找出 变化规律,运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识 建立关系式,在此基础上将实际问题转化为三角函数问题,实 现问题的数学化,即建立三角函数模型.

【示例】 下表是芝加哥 1951~1981 年月平均气温(华氏). 月份 1 2 3 4 5 6

平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6 月份 7 8 9 10 11 12

平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7 以月份为 x 轴,x=月份-1,以平均气温为 y 轴. (1)描出散点图. (2)用正弦曲线去拟合这些数据. (3)这个函数的周期是多少? (4)估计这个正弦曲线的振幅 A. (5)选择下面四个函数模型中哪一个最适合这些数据?

?πx? y ① =cos? 6 ?; A ? ? ?πx? y-46 ③ =cos? 6 ?; -A ? ?

?πx? y-46 ② =cos? 6 ?; A ? ? ?πx? y-26 ④ A =sin? 6 ?. ? ?

[思路分析] (1)(2)建立直角坐标系即可; (3)找出气温的最大值和 T 最小值的月份,作差,可求得 ;(4)找出气温的最大值和最小 2 值,作差,求出 2A;(5)将表中数据代入检验.



(1)(2)如图所示.

(3)1 月份的气温最低为 21.4,7 月份的气温最高为 73.0,根据图 T 知, 2 =7-1=6,∴T=12. (4)2A=最高气温-最低气温=73.0-21.4=51.6, ∴A=25.8.

(5)∵x=月份-1,∴不妨取 x=2-1=1,y=26.0, y 26.0 π 代入①,得 = >1≠cos ,∴①错误; A 25.8 6 y-46 26.0-46 π 代入②,得 = <0≠cos ;∴②错误; A 25.8 6 同理④错误.∴③最适合这些数据.

方法点评 三角函数应用题在阅读理解实际问题时, 应注意以下 几点: (1)反复阅读,通过关键语句领悟其数学本质. (2)充分运用转化思想,深入思考,联想所学知识确定变量与已 知量. (3)结合题目的已知和要求建立数学模型,确定变量的性质与范 围及要解决的问题的结论.


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