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苏南五校联考2013-2014学年度第一学期期中考试高二数学理科试题


苏南五校联考 2013-2014 学年度第一学期期中考试 高
注意事项: 1.本试卷分填空题和解答题两部分,共 160 分.考试用时 120 分钟. 2.答题前,考生务必将自己的班级、姓名、考试号写在答题纸的密封线内.答题时,填空 题和解答题的答案写在答题纸上对应题目的空格内,答案写在试卷上无效.本卷考试结 ......... 束后,上交答题纸. 3.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔. 4.文字书写题统一使用 0.5 毫米及 0.5 毫米以上签字笔. 5.作图题可使用 2B 铅笔,不需要用签字笔描摹. 参考公式: 棱锥的体积公式 球的表面积公式
V? 1 Sh 3





学 (理

科)
2013 年 11 月

其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 球的体积公式 V ? ? R3
4 3

S ? 4? R2

其中 R 表示球的半径

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.不需要写出解答过程,请把答案直 接填在答题纸相应位置上. ........ 1.在直角坐标系中,直线 3x ? 3 y ? 3 ? 0 的倾斜角 ? ? 2.已知直线 m、n 与平面 α、β,给出下列三个命题: ①若 m∥α,n∥α,则 m∥n;②若 m∥α,n⊥α,则 n⊥m; ③若 m⊥α,m∥β,则 α⊥β. 其中正确命题有 ▲ 个. ▲ .

3 . 已 知 点 P, A, B, C 是 球 O 表 面 上 的 四 个 点 , 且 PA, PB, PC 两 两 成 60? 角 ,

P A? P B ?

P C cm,则球的表面积为 ? 4



cm2 .
▲ .

x2 y2 4.若方程 + =1 表示椭圆,则 k 的取值范围是 5-k k-3

5. 已知两圆 x2+y2=10 和(x-1)2+(y-3)2=20 相交于 A, 两点, B 则直线 AB 的方程是 ▲ . 6.直线 l 经过 P(2,3) ,且在 x 轴上的截距等于在 y 轴上的截距的 2 倍的直线方程为 ▲ . 7.正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,异面直线 AC 与 BC1 所成的角为 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 上的点的纵坐标不变,横坐标变为原来的一半,所得的曲线方程 8.将椭圆 4 16
为 ▲ .
2 2

9.过定点(-1,0)可作两条直线与圆 x +y +2kx+4y+3k+8=0 相切,则 k 的取值范围 是 ▲ .
-1-

10.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M 是 DD1 的中点, 则下列结论正确的是 ▲ (填序号)
A1

D1 B1 M D

C1

①线段 A1M 与 B1C 所在直线为异面直线; ②对角线 BD1⊥平面 AB1C; ③平面 AMC⊥平面 AB1C; ④直线 A1M//平面 AB1C. 11.设 F1 , F2 是椭圆 E :
A

C B

x2 y 2 3a 上 ? 2 =1( a > b >0)的左、右焦点, P 为直线 x ? 2 a b 2
▲ .
A1 D1

C1 B1 F C B

一点,△ F2 PF1 是底角为 300 的等腰三角形,则 E 的离心率为

12. 如图, 在直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E , F 分别在 AA1 , CC1 点 上, AE ? 且

E D

3 1 AA1 ,CF ? CC1 ,点 A, C 到 BD 的距离之比为 3:2, 4 3
A

V 则三棱锥 E ? BCD 和 F ? ABD 的体积比 E ? BCD = ___▲___. VF ? ABD
13.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0, , B(?2, , 0) 2)
C (1, ,分别以△ ABC 的边 AB、AC 向外作正方形 ABEF 与 0)

ACGH ,则直线 FH 的一般式方程为





14.若直线 y ? x ? b 与曲线 y ? 3 ? 4 x ? x 有公共点,则 b 的取值范围是
2





二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请在答题纸指定区域内作答,解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 如图,已知斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AB=AC,D 为 BC 的中点. (1)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,求证:AD⊥DC1; (2)求证:A1B//平面 ADC1.
A B (第 15 题) C D A1 B1 C1

-2-

16. (本小题满分 14 分) 已知点 P ? 2, ?3? , Q ? 3, 2 ? ,直线 l : (2 ? a) x ? (1 ? 2a) y ? (1 ? 2a) ? 0(a ? R) ; (1)求当直线 l 与直线 PQ 平行时实数 a 的值; (2)求直线 l 所过的定点(与 a 的值无关的点) M 的坐标; (3)直线 l 与线段 PQ (包含端点)相交,求实数 a 的取值范围.

17.(本题满分 14 分) 如图,椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分 a2 b2

y H F1 O A D F2 x

别为 F1、F2 ,点 A(4, m) 在椭圆 E 上,且 AF2 ? F1 F2 ? 0 , 点 D(2,0) 到直线 F1 A 的距离 DH ? (1)求椭圆 E 的方程; (2)设点 P 位椭圆 E 上的任意一点,求 PF1 ? PD 的取值范围。

18 . 5

18. (本题满分 16 分) 如 图 , 在 四 棱 锥 P - ABCD 中 , PD⊥ 底 面 ABCD , AD⊥AB , CD ∥ AB , ,点 M、N 分别是 PA,PB AB ? 2 AD ? 2 , CD ? 3 ,直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60° 的中点. (1)求证:MN∥平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB .

-3-

19. (本题满分 16 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,如图,已知椭圆 E:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分 a2 b2
3

别为 A1 、 A2 ,上、下顶点分别为 B1 、 B2 .设直线 A1 B1 的倾斜角的正弦值为 1 ,圆 C 与以 线段 OA2 为直径的圆关于直线 A1 B1 对称. (1)求椭圆 E 的离心率; (2) 判断直线 A1 B1 与圆 C 的位置关系, 并说明理由; (3)若圆 C 的面积为 ? ,求圆 C 的方程. A1 O B2
(第 19 题)

y B1 A2 x

20. (本题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 由圆弧 C1 和圆弧 C2 相接而成,两相接 点 M、N 均在直线 x=6 上,圆弧 C1 的圆心是坐标原点 O,半径为 10,圆弧 C2 过点 A(38,0).

(1)求圆弧 C2 的方程; (2)曲线 C 上是否存在点 P,满足 PA= 39 PO?若存在,指出有几个这样的点;若不存在, 请说明理由; (3)已知直线 l:x-my-21=0 与曲线 C 交于 E、F 两点,当 EF=38 时,求坐标原点 O 到直 线 l 的距离.

-4-


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