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烟台芝罘区数学2015-2016高三专题复习-三角函数(2)解斜三角形(正弦定理余弦定理应用)


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山东省烟台市芝罘区数学 2015-2016 高三专题复习 -三角函数(2)解斜三角形(正余弦定理应用)
烟台乐博士教育特供 1.正弦定理: 明老师整理

a b c = = =2R.(关键点“比”,用法:边角转化) sin A sin B sin C

利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题. (1)已知两角和任一边,求其他两边和一角; (2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角) 2.余弦定理: a2=b2+c2-2bccosA; cosB=
c2 ? a2 ? b2 ; 2ca

在余弦定理中,令 C=90°,这时 cosC=0,所以 c2=a2+b2. 利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题: (1)已知三边,求三个角; (2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.

可能出现一解、 两解或无解的情况, 这时应结合 “三角形中大边对大角定理及几何作图来理解” . 题型一、判断三角形的形状: 1. 在 △ ABC 中 , 若 2cosBsinA=sinC , 则 △ ABC 的 形 状 一 定 是 ( 答案:C A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 ) D.等边三角形 )

2.下列条件中,△ABC 是锐角三角形的是( A.sinA+cosA=
1 5

B. AB · BC >0 D.b=3,c=3 3 ,B=30° 得 2sinAcosA=- 答案:C

C.tanA+tanB+tanC>0 解析:由 sinA+cosA=
1 5

24 <0,∴A 为钝角. 25

由 AB · BC >0,得 BA · BC <0,∴cos〈 BA , BC 〉<0.∴B 为钝角.
1

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由 tanA+tanB+tanC > 0 , 得 tan ( A+B ) · ( 1 - tanAtanB ) +tanC > 0. tanAtanBtanC>0,A、B、C 都为锐角.
3 b c π 2π = ,得 sinC= ,∴C= 或 . 2 sin B sin C 3 3 sin B ? sin C 3.在△ABC 中,sinA= ,判断这个三角形的形状. cos B ? cos C





解:△ABC 是直角三角形. 题型二、解斜三角形(求角度和长度) 4.已知(a+b+c) (b+c-a)=3bc,则∠A=_______. 解析:由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴ 案:
π 3 π b2 ? c2 ? a2 1 = .∴∠A= . 2 3 2bc



5.在△ABC 中, “A>30°”是“sinA> ”的 A.充分而不必要条件 也不必要条件 解析:在△ ABC 中, A > 30 ° ? 0 < sin A < 1 150° ? A>30°答案:B 6.在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,若三角形的面积 S= (a2+b2-c2) , 则∠C 的度数是_______. 解析: 由 S= (a2+b2-c2) 得 absinC= · 2abcosC.∴tanC=1.∴C=
1 4 1 2 1 4 π . 4 1 4

1 2

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D. 既 不 充 分

sin A >

1 1 ; sin A > ? 30 °< A < 2 2

答案: 45°

7.△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,如果 a2=b(b+c) ,求证:A=2B. 证明:用正弦定理, a=2RsinA , b=2RsinB , c=2RsinC ,代入 a2=b ( b+c )中,得 sin2A=sinB(sinB+sinC) ? sin2A-sin2B=sinBsinC ? =sinBsin(A+B) ?
1 ? cos 2 A 1 ? cos 2B - 2 2

1 (cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B) 2
2

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, ? sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B) 因为 A、B、C 为三角形的三内角,所以 sin(A+B)≠0.所以 sin(A-B)=sinB.所以 只能有 A-B=B,即 A=2B. 该题若用余弦定理如何解决?
b 2 ? c 2 ? a 2 (b 2 ? c 2) ? b(b ? c) c ? b = = , 2b 2bc 2bc 2 2 (b ? c) c c?b a2 ? c2 ? b2 cos2B=2cos2B-1=2( )2-1= -1= . 2 2b 2ac 2b(b ? c)c

解:利用余弦定理,由 a2=b(b+c) ,得 cosA=

所以 cosA=cos2B.因为 A、B 是△ABC 的内角,所以 A=2B. 评述:高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于 三角转换.这是命题者的初衷. 8.△ABC 中,a、b、c 分别为∠A、∠B、∠C 的对边,如果 a、b、c 成等差数列,∠

B=30°,△ABC 的面积为 ,那么 b 等于(
A.
1? 3 2

3 2

) D.2+ 3

B.1+ 3

C.

2? 3 2

答案:B 9.已知锐角△ABC 中,sin(A+B)= ,sin(A-B)= . (1)求证:tanA=2tanB;
3 5 3 5 1 5

(2)设 AB=3,求 AB 边上的高.
1 5

(1)证明:∵sin(A+B)= ,sin(A-B)= ,
3 ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? 5 ∴? 1 ?sin A cos B ? cos A sin B ? ? 5 ? 2 ? sin Ac o s B? ? t a nA ? 5 ?? ? =2. 1 t an B ?c o s As i n B? ? 5 ?

∴tanA=2tanB.
3 4

(2)解: <A+B<π,∴sin(A+B)= . 即 tanB= 设 AB

π 2

3 5

∴tan(A+B)=- ,

3 tan A ? tan B = - . 将 tanA=2tanB 代入上式整理得 2tan2B - 4tanB - 1=0 ,解得 4 1 ? tan A tan B

2? 6 2? 6 (负值舍去).得 tanB= ,∴tanA=2tanB=2+ 6 . 2 2 3CD CD CD 边上的高为 CD,则 AB=AD+DB= + = .由 AB=3 得 tan A tan B 2 ? 6
3

CD=2+ 6 ,所以

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AB 边上的高为 2+ 6 .
10.在△ABC 中,a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对边长,已知 a、b、c 成等比数列, 且 a2-c2=ac-bc,求∠A 的大小及 解
3 b sin B =sinA= . 2 c

b sin B 的值. c

11.在△ABC 中,若∠C=60°,则 解析:

a b =_______. ? b?c a?c

a 2 ? b 2 ? ac ? bc a b a 2 ? ac ? b 2 ? bc = = . ? b ? c a ? c (b ? c)(a ? c) ab ? ac ? bc ? c 2

(*)

∵ ∠ C=60 ° , ∴ a2+b2 - c2=2abcosC=ab. ∴ a2+b2=ab+c2. 代 入 ( * ) 式 得
a 2 ? b 2 ? ac ? bc ab ? ac ? bc ? c 2

=1. 答案:1

题型三、取值范围题目 12.在△ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别为 a、 b、 c, 依次成等比数列, 求 y= 的取值范围. 解:∵b2=ac,∴cosB=
a c 1 1 a 2 ? c 2 ? b 2 a 2 ? c 2 ? ac 1 = = ( + )- ≥ . 2 c a 2 2 2ac 2ac 2 π 1 ? sin 2B (sin B ? cos B) y= = =sinB+cosB= 2 sin(B+ ) 4 sin B ? cos B sin B ? cos B

1 ? sin 2B sin B ? cos B

∴0<B≤ ,

π 3

.∵ <B+

π 4

π 7π ≤ , 4 12



2 π <sin(B+ )≤1. 2 4

故 1<y≤ 2 .

13.已知△ABC 中,2 2 (sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为 2 . (1)求∠C; (2)求△ABC 面积的最大值.
a2 4R
2
2

解: (1)由 2 2 (sin2A-sin2C)=(a-b) ·sinB 得 2 2 ( 又∵R= 2 ,∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab. <180°,∴C=60°. ( 2 ) S= ∴cosC=


2

c2 4R
2

)=(a-b)

b . 2R

a ? b ? c2 1 = .又∵0°<C 2 2ab

3 1 1 absinC= × ab=2 3 sinAsinB=2 3 sinAsin ( 120 ° - A ) =2 3 sinA 2 2 2

(sin120°cosA-cos120°sinA) =3sinAcosA+ 3 sin2A= sin2A-
3 2
3 3 3 sin2Acos2A+ = 3 sin(2A-30°)+ . 2 2 2
4

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∴当 2A=120°,即 A=60°时,Smax=

3 3 . 2

14.在锐角△ABC 中,边长 a=1,b=2,则边长 c 的取值范围是_______. 解析:若 c 是最大边,则 cosC>0.∴
a2 ? b2 ? c2 >0,∴c< 5 .又 c>b-a=1, ∴1< 2ab

c< 5 .
●思悟小结 1.在△ABC 中,∵A+B+C=π,∴sin
A? B C A? B C =cos ,cos =sin 2 2 2 2

2.∠A、∠B、∠C 成等差数列的充分必要条件是∠B=60°. 3.在非直角三角形中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.

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