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解读高考题中的线性规划


解读高考题中的线性规划
浙江省临海市回浦中学 蒋利敏 317000

线性规划问题经过几年的探索,逐渐从简单的线性规划求最值问题向综合性问题转变, 是近几年高考中的必考内容之一.本文针对近几年的高考试题进行分类解析,供读者参考.

1.求可行域
例1 (05 浙江)设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边长},则 A 所表示 )

的平面区域(不含边界的阴影部分)是(

?x ? 0 ? ? ?0 ? x ? y ?0 ? ? ?1 ? x ? y ? 0 ? 解:由题意可知 ? ,得 ? 0 ? y ? ? ? x ? y. ? 1 ? x ? y ?1 ? x ? y ? x ? y ?1 ? ? ? x? ?2 1? x ? y ? y ? x ?

1 2 1 2 y ?1

,由此可知选 (A )

点评 解答此类题的基本思路是:列出约束条件,化简约束条件,得出正确答案.

2.求约束条件
例 2 (06 辽宁)双曲线 x ? y ? 4 的两条渐近线与直线 x ? 3 围成一个三角形区域,表示
2 2

该区域的不等式组是(
? x ? y ≥ 0, ? (A) ? x ? y ≥ 0, ?0 ≤ x ≤ 3 ?


? x ? y ≤ 0, ? (C) ? x ? y ≤ 0, ?0 ≤ x ≤ 3 ? ? x ? y ≤ 0, ? (D) ? x ? y ≥ 0, ?0 ≤ x ≤ 3 ?

? x ? y ≥ 0, ? (B) ? x ? y ≤ 0, ?0 ≤ x ≤ 3 ?
2

双曲线 x ? y ? 4 的渐近线方程为 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 .作出直线 x ? y ? 0 , x ? y ? 0 , x ? 3 (图略).由图可知,选(A ) 点评 解答此类题的基本思路是:正确作出可行域,由可行域得出约束条件. 解
2

3.求可行域的面积
例3
? x ? y ? 2 ? 0, ? ( 06 浙江)在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 ? 0, ?y ? 0 ?

表示的平面区域的面积是(


图1 例 3图

(A) 4 2

(B)4

(C) 2 2

(D)2

解 原不等式组表示的平面区域如图(1)所示:易得△ABC 的面积为 4.选(B) 点评 解答此类题的基本思路是:作出可行域,再根据可行域的形状求出面积.

4.已知可行域的形状,求参数的范围
? x ? y ? 5 ≥ ?, ? 例 4 (07 北京)若不等式组 ? y ≥ a, 表示的平面区域是一个三角形,则 a 的取值范 ?0 ≤ x ≤ 2 ?

围是( ) (A) a ? 5 (B) a ≥ 7 (C) 5 ≤ a ? 7 解 画出可行域(图略) ,由图形可知,选(C).

(D) a ? 5 或 a ≥ 7

5.目标函数(或约束条件)含有参数
例 5 (06 重庆)已知变量 x , y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ? 2 ? x ? y ? 2. 若目标函数 .

z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点 ? 3,1 ? 处取得最大值,则 a 的取值范围为



已知变量 x , y 满足约束条件 1 ? x ? y ? 4, ? 2 ? x ? y ? 2. 在坐标系

中画出可行域,如图(2)所示.易知直线 ax ? y ? z ? 0 斜率存在,且斜 率 ? a ? 0 ,要使目标函数 z ? ax ? y (其中 a ? 0 )仅在点(3,1)处取得 最大值,则应保证 ? a ? k AB ? ? 1 ,否则将在(1,3)处取得最大值,从 而求得 a ? 1 . 例 6 (06 湖北)已知平面区域 D 由以 A (1, 3), B (5, 2 ), C (3,1) 为顶点的三角形内部以及边 界组成.若在区域 D 上有无穷多个点 ( x , y ) 可使目标函数 z=x+my 取得最小值, m ? ( ) 则 (A)-2 (B)-1 (C)1 (D)4 解 在坐标系中画出可行域,如图(3)所示.要使目标函数 z=x+my 的最优解有无穷多个,则直线 x ? my ? z ? 0 应与直线 AC 或 AB,BC 重合.但要使目标函数 z=x+my 取得最小值,必须使得函数斜率为负 值,且斜率的绝对值要大,从而只能与直线 AC 重合.而 k AC ? ? 1 , 所以 ?
1 m
?x ? ?y (06 广东)在约束条件 ? ?y ?y ? ?0 ?0 ? x? s ? 2x ? 4
图3 例 6图

图2

例 5图

? ? 1 ,所以 m ? 1 ,选(C).

例7

下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大

值的变化范围是( (A) [6,1 5]

) (B) [7 ,1 5]

(C) [6, 8]

(D) [7 , 8]

分析 分别作出 s ? 3 和 s ? 5 时的区域,分析区域特征,考虑 s 的变化对目标函数的影响. 解 由?
?x ? y ? s ?x ? 4 ? s ' ? ? 交点为 A ( 0 , 2 ), B ( 4 ? s , 2 s ? 4 ), C ( 0 , s ), C ( 0 , 4 ) , ?y ? 2x ? 4 ? y ? 2s ? 4

其可行域如图 (4) 所示, 分别为 s ? 3 和 s ? 5 时的图象,则 (1) 当 3 ? s ? 4 时可行域是四边形 OABC, 此时, 7 ? z ? 8 . (2) 当 4 ? s ? 5 时可行域是△OA C ? , 此时
z max ? 8 .

综合可得目标函数 z ? 3 x ? 2 y 的最大值的变化 范围是 [7 , 8] ,选(D).

图4

例 7图

点评 解答此类问题的基本思路: 最优解只有一个, 则意味着目标函数所对直线的斜率介于 两条直线的斜率之间;最优解有无穷多个, ,则意味着目标函数所对直线的斜率与其中一条 直线的斜率相等.

6.目标函数在变,数形结合思想不变
例8
? x ? 1, ? 2 2 ( 06 湖南)已知 ? x ? y ? 1 ? 0 , 则 x ? y 的最小值 ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?

是 . 解 在坐标系中画出可行域,如图(5)所示.其中 A(1,2) B(3,4).将目标函数 x ? y 看成可行域中的点 P(x,y)到原
2 2

图5

例 8图

点 O 的距离 x ? y
2

2

的平方.则当点 P 与 A 重合时,x ? y
2

2

的最小值是 5.
? x ? y ? 2 ≤ 0, y ? (07 辽宁)已知变量 x, y 满足约束条件 ? x ≥ 1, 则 的取值范围是( ? x ? y ? 7 ≤ 0, x ?
? ?
? (B) ? ? ? , ? ? ? 6, ? ? ? 5? ? 9?

例9



6 (A) ? , ? 5 ?

?9

3 ? (C) ? ? ? ,? ? ? 6, ? ?

6 (D) [3,]


B(

在坐标系中画出可行域,如图(6)所示.其中 A(1,3) ,

5 9 y , ), C (1, 6 ) .将目标函数 看成可行域中的点 P(x,y)与原点 2 2 x 9 连线的斜率.由几何意义可知, k OC ? 6 为其最大值, k OB ? 为 5

图6

例 9图

其最小值.即

6 的取值范围是 ? , ? ,选(A). x ?5 ?

y

?9

?

例 10

? x ? 2 y ≤ 1 0, ? ? 2 x ? y ≥ 3, (07 山东)设 D 是不等式组 ? 表示的平面区域,则 D 中的点 P ( x, y ) ? 0 ≤ x ≤ 4, ?y≥1 ?

到直线 x ? y ? 10 距离的最大值是



解 在坐标系中画出可行域,如图(7)所示.其中 A(1,1) B ( 4 ,1), C ( 4 ,3 ), D ( 0 ,5 ), E ( 0 ,3 ) .则由图形 , 可知, D 中的点 A(1,1)到直线 x ? y ? 10 距离的 最大, d max ?
| 1 ? 1 ? 10 | 1 ?1
2 2

? 4 2 .
图7 例10 图

结束语 正确作出可行域,熟练运用数形结合思想,则线性规划问题迎刃而解.

通讯地址:浙江省临海市回浦中学 邮箱:jianglm828@163.com 电话:13777675048

蒋利敏

邮编:317000


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