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对数函数概念


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源头学子 小屋
http://w ww .xj ktyg.com/w xc/

特级教师 王新敞
w xckt@126.com

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湖南长沙马王堆汉墓女尸 出土时碳14的残余量约占原始 含量的76.7%. 试推算马王堆古墓的年 代.

人们经过长期实践,获得了生物体内碳14含量P与死 t 亡年数t之间的关系:

? 1 ? 5730 P?? ? . ? 2?
1 5730 2

由指数与对数的关系,此指数式写成对数式是:

t ? log

P. (*)

考古学家一般通过提取附着在出土文物.古遗址上 死亡生物体的残留物,利用(*)式估算出土文物或古遗 址的年代.

(t=2193)

(P=76.7%) 现在,你能推算出马王堆古墓的年代吗?

如果碳14的含量是下表中的数值,根据关 系:t

? log
5730

1 2

P 试用计算器填写下表.

碳14的含量P 生物死亡年数t

0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 5730 9953 19035 38069 57104

根据问题的实际意义可知,对于每一个碳14

含量P,通过对应关系 t

? log
5730

定的年代t与它对应,所以,t是P的函数.

1 2

P,都有一个确

一般地,把函数 y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1? 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义 域是 ?0,??? .
(1)为什么规定 a ? 0且a ? 1 ? (2)为什么对数函数的定义域是 ?0,??? ?

思考:

例1 求下列函数的定义域:

?1? y ? log a x

2

定义域: x x ? 0

?

? ?

?2? y ? log a ?4 ? x?
定义域:x x ? 4

?

画函数图像的步骤是: 列表

描点

连线

y

y=log2x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … -3 -2 -1 0 1 2 3 …

o

x

y

y=log1/2x
x … 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … y … 3 2 1 0 -1 -2 -3 …

o

x

画出函数
y

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

a=2

o

x

a=1/2

画出函数

y ? log 2 x与 y ? log 1 x的图像.
2

问:(1)这两个函数的图像有什么关系?
(2)可否利用y ? log 2 x 的图象画出 y 的图象?
y

? log 1 x
2

a=2
o x

a=1/2

(1)在同一坐标系中画出:

y ? log 2 x、y ? log 1 x、y ? log 3 x、y ? log 1 x
的图象. (2)你能否猜测 y ? log 4 哪个图象相似.
y
1
0 1
2 3

x 与 y ? log 1 x分别与
4

y ? log 2 x y ? log 3 x x y ? log 1 x
y ? log 3 1 x
2

对数函数 y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1? 的图像的变化分布情况
文件名

0<a<1
y x=1

a>1
y x=1
y ? log a x(a ? 1)




0

(1.0)

x

0

(1.0)

x

y ? log a x(0 ? a ? 1)

定义域 值 域 性 质

(0,+ ∞ ) R 必过 点: ( 1, 0 ) ,即 x = 1 时, y = 0 . 在 R 上是 减函数 在 R 上是 增函数

函数 y ? log a x?a ? 0, 且a ? 1?
图象特征 ①这些图象都位于y 轴右方. 函数性质 ①x取任何正数值时,函数值y ? R

②这些图象都经过(1,0)点. ②无论a为任何正数,总有

log a 1 ? 0

③图象可以分为两类: ?若0 ? x ? 1, 则 log a x ? 0, ? 一类图象在区间(0,1)内 ③当 a ? 1 时, 若x ? 1, 则 log a x ? 0; ? 纵坐标都小于0,在区间(1,+∞) ?若0 ? x ? 1, 则 log a x ? 0, 内的纵坐标都大于0; 当0 ? a ? 1 时,? 另一类图象正好相反. ?若x ? 1, 则 log a x ? 0.

x ?a (1, ) y ? log a x 是增函数 ?? 0, : a, x ? (0,1)或a,④当 ??? 1 时, ④自左向右看 ? 当 0 ? a ? 1 时, y ? log a x 是减 a ? 1 当 a x? 时图象逐渐上升; log ? 0, x ? 1 函数. 当 0 ? a? ? 1时图象逐渐下降.

?? 0, a ? (1, ??), x ? (0,1)或a ? (0,1), x ? (1, ??)

对数值符号的判断:

?? 0, a, x ? (0,1)或a, x ? (1, ??) ? log a x ?? 0, x ? 1 ?? 0, a ? (1, ??), x ? (0,1)或a ? (0,1), x ? (1, ??) ?
y

o

x

知识巩固
巩固2:比较大小:

① log23,log23.5
③ loga4,loga3.14

② log0.71.6, log0.71.8
④ log67,log76

⑤ log35 , log45

⑥ log56,log47

☆分析:对数函数型数值间的大小关系:
①底数相同时考虑对数函数的单调性; ②底数不同、但真数相同时要借助于数形结合; ③底数不同、真数不相同时要借助于中间值(如0或1)。

知识巩固
⑤ log 3 5 , log45
∴ log 3 5 > log 4 5
⑥引入中间量 log 5 7(或,log 4 6), 由函数单调性 log 5 6 < log 5 7, 再比较 log 57 与 log 4 7 的大小

⑥ log56,log47

⑤作函数 y = log 3 x 和 y = log 4 x 的图象 y a=3 a=4 a=5 1

∴得到 log 57<log 47,
∴ log 5 6 >log 4 7

0

5

7

x

通过本节的学习,你对对数函数有什么认识?你能概括一 下吗? 对数函数 概念 数形结合

图象

性质

思考:你能发现对数函数图象和指数函数图象的关系吗?

?? 0, a, x ? (0,1)或a, x ? (1, ??) ? log a x ?? 0, x ? 1 ?? 0, a ? (1, ??), x ? (0,1)或a ? (0,1), x ? (1, ??) ?
真底同大于零,真底异小于零
y

y ? loga x ? a ? 0, 且a ? 1?
o x

点滴积累 丰富人生
谢谢!

再见!
王新敞 特级教师 源头学子小屋
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· 2007·

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