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2016


2016-2017 学年高中数学 阶段质量评估 3 北师大版选修 2-1
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 2 1.若拋物线 y =4x 上的一点 P 到焦点的距离为 10,则 P 点的坐标是( ) A.(9,6) B.(9,±6) C.(6,9) D.(6,±9) 解析: 设 P(x0,y0),则 x0+1=10,∴x0=9, y2 0=36,∴y0=±6,故 P 点坐标为(9,±6). 答案: B 2 2 2.θ 是任意实数,则方程 x +y sin θ =4 的曲线不可能是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆 解析: sin θ 可以等于 1,这时曲线表示圆,sin θ 可以小于 0,这时曲线表示双曲 线,sin θ 可以大于 0 且小于 1,这时曲线表示椭圆. 答案: C

x2 y2 3.双曲线 + =1 的离心率 e∈(1,2),则 k 的取值范围是( 4 k
A.(-∞,0) B.(-12,0) C.(-3,0) D.(-60,-12) 2 2 2 解析: ∵a =4,b =-k,∴c =4-k. c2 4-k ∵e∈(1,2),∴ 2= ∈(1,4),k∈(-12,0). a 4 答案: B 4.以椭圆 + =1 的顶点为顶点,离心率为 2 的双曲线方程是( 16 9 A. C. - =1 16 48 - =1 或 - =1 16 48 9 27

)

x2

y2

)

x2 x2

y2 y2

B. - =1 9 27

x2

y2

y2

x2

D.以上都不对 - =1; 16 48

解析: 当顶点为(±4,0)时,a=4,c=8,b=4 3,

x2

y2

当顶点为(0,±3)时,a=3,c=6,b=3 3, - =1.选 C. 9 27 答案: C 1 5.已知两定点 F1(-1,0)、F2(1,0),且 |F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项,则动点 P 的 2 轨迹是( ) A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.线段 解析: 依题意知,|PF1|+|PF2|=|F1F2|=2,作图可知点 P 的轨迹为线段. 答案: D 6.设 F1 和 F2 为双曲线 -y =1 的两个焦点,点 P 在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°, 4 则△F1PF2 的面积是( ) 5 A.1 B. 2 C.2 D. 5 解析: 由方程知 a=2,b=1,c= 5,
1

y2

x2

x2

2

由定义知||PF1|-|PF2||=2a=4 ① 又∠F1PF2=90°, 2 2 2 2 ∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =(2c) =20 ② 由①、②可得:|PF1|?|PF2|=2, 1 1 ∴S△F1PF2= |PF1|?|PF2|= ?2=1,故选 A. 2 2 答案: A 7.若椭圆的对称轴在坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到 椭圆上点的最短距离为 3,则这个椭圆的方程为( ) A. C. + =1 12 9

x2 x2

y2 y2

B. + =1 9 12

x2

y2

+ =1 或 + =1 D.以上都不对 12 9 12 9 解析: ∵短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形, 2 2 ∴2c=a,又∵a-c= 3,可知 c= 3,a=2 3,∴b= a -c =3. ∴椭圆方程为 + =1 或 + =1. 12 9 12 9 答案: C 9 x2 y2 8.两个正数 a、b 的等差中项是 ,一个等比中项是 2 5,且 a>b,则双曲线 2- 2=1 2 a b 的离心率为( ) 5 41 A. B. 3 4 C. 5 4 D. 41 5

y2

x2

x2

y2

y2

x2

a+b=9 ? ? 解析: 由?ab=20 ? ?a>b
2 2 2

可得 a=5,b=4, 41 . 5

∴c =a +b =41,∴c= 41,e= 答案: D

x2 y2 a b P,满足|PF2|=|F1F2|,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方
程为( ) A.3x±4y=0 B.3x±5y=0 C.4x±3y=0 D.5x±4y=0 解析: 过 F2 作 F2A⊥PF1 于 A,由题意知|F2A|=2a,|F1F2|=2c, 则|AF1|=2b, ∴|PF1|=4b,而|PF1|-|PF2|=2a, 2 2 ∴4b-2c=2a,c=2b-a,c =(2b-a) , b 4 a2+b2=4b2-4ab+a2,解得 = , a 3 4 ∴双曲线的渐近线方程为 y=± x.故选 C. 3 答案: C

9.设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点

x2 y2 y2 2 10.(2011?浙江卷)已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的 a b 4
2

焦点,C2 的一条渐近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点,若 C1 恰好将线段 AB 三等 分,则( ) 13 2 2 A.a = B.a =13 2 1 2 2 C.b = D.b =2 2 解析: 如图,设 M,N 为三等分点,N(x,y),由已知 c= 5, 2 2 2 2 故 a -b =5,即 b =a -5,且双曲线的渐近线方程为 y=±2x,根

y=2x, ? ? 2 据对称性,我们只需联立?x y2 =1 2+ 2 ? ?a a -5
由以上方程组可得出 2+

即可,

x2 4x2 a2?a2-5? 2 = 1 ,解得 x = , 2 a a2-5 5a -5 a2?a2-5? a2?a2-5? a2 2 2 2 2 又∵|ON| =x +y =5x =5 = = , 2 5a -5 a2-1 9
11 1 2 2 2 ∴a = ,b =a -5= . 2 2 答案: C 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上) 2 11. (2011?北京朝阳一模)已知拋物线 y =4x 上一点 M 与该拋物线的焦点 F 的距离|MF| =4,则点 M 的横坐标 x= ________________________________________________________________________. 2 解析: 拋物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1. 根据拋物线的定义,点 M 到准线的距离为 4, 则 M 的横坐标为 3. 答案: 3 3 2 2 12.若椭圆 x +my =1 的离心率为 ,则它的长半轴长为 2 ________________________________________________________________________. 解析: 当 0<m<1 时, y2 x2 a2-b2 3 2 + =1,e = 2 =1-m= , 1 1 a 4

m m= ,a2= =4,a=2;当 m>1 时, 4 m x2 y2 + =1,a=1.应填 1 或 2.
1 1 1 1

m
答案: 1 或 2 2 2 2 13.已知圆 x +y -6x-7=0 与抛物线 y =2px(p>0)的准线相切,则 p=________. 2 2 2 解析: 圆的标准方程是(x-3) +y =4 , 因此,圆心是(3,0),半径 r=4, 故与圆相切且垂直于 x 轴的两条切线 x=-1,x=7. 而 y =2px(p>0)的准线方程是 x=- . 2 依题意- =-1,得 p=2,- =7,p=-14(不符合题意),∴p=2. 2 2 答案: 2
2

p

p

p

3

x2 y2 a b 点 M 为 PF1 的中点,|OF1|=2|OM|,且 OM⊥PF1,则该椭圆的离心率为________.

14.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的焦点为 F1、F2,O 为坐标原点,点 P 是椭圆上的一点,

1 解析: ∵OM 綊 F2P,又|OF1|=2|OM|, 2 ∴|PF2|=2|OM|=c, ∵PF2⊥PF1, 2 2 2 ∴(2a-c) +c =(2c) , 2 ∴e +2e-2=0,得 e= 3-1. 答案: 3-1 三、解答题(本大题共 4 小题,共 50 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤) 2 2 15.(12 分)已知直线 l:y=x+m 与椭圆:9x +16y =144.试探究当 m 变化时,直线 l 与椭圆的位置关系. 解析: 由?
2

?y=x+m, ? ?9x +16y =144 ?
2 2 2

消去 y,得 9x +16(x+m) =144,

2

2

整理得 25x +32mx+16m -144=0. 2 2 因为 Δ =(32m) -4?25?(16m -144) 2 2 2 =24 (5 -m ). 当 Δ =0,即 m=±5 时,直线与椭圆相切; 当 Δ >0,即-5<m<5 时,直线与椭圆相交; 当 Δ <0,即 m<-5 或 x>5 时,直线与椭圆相离. 16.(12 分)已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F,过 F 作 y 轴的平行线交椭圆于 M、

x2 y2 a b

N 两点,若|MN|=3,且椭圆离心率是方程 2x2-5x+2=0 的根,求椭圆方程. x2 y2 解析: ∵右焦点为 F(c,0),把 x=c 代入 2+ 2=1 中, a b 2 4 2 c? b b 2 2? 得 y =b ?1- 2?= 2,∴y=± . a ? a? a 2 2b ∴|MN|= =3.① a 2 又 2x -5x+2=0? (2x-1)(x-2)=0, 1 1 c 1 ∴x= 或 2,又 e∈(0,1),∴e= ,即 = .② 2 2 a 2 2 2 2 又知 a =b +c ,③ a=2, ?c 由①②③联立解得? =1, ?b= 3,
∴椭圆方程为 + =1. 4 3 17.(12 分)汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分,灯口所在的圆面与反射 镜的轴垂直,灯泡位于抛物线焦点处,已知灯口的直径是 24 cm,灯深 10 cm,那么灯泡与反 射镜顶点的(即截得抛物线顶点)距离是多少?

x2 y2

4

解析: 取反射镜的轴即抛物线的对称轴为 x 轴,抛物线的顶点为坐标原点,建立直角 坐标系 xOy,如图所示. 因灯口直径|AB|=24,灯深|OP|=10, 所以点 A 的坐标是(10,12). 2 设抛物线的方程是 y =2px(p>0). 由点 A(10,12)在抛物线上,得 2 12 =2p?10,∴p=7.2. 抛物线的焦点 F 的坐标为(3.6,0). 因此灯泡与反射镜顶点的距离是 3.6 cm. ? 3? 18.(14 分)已知,椭圆 C 经过点 A?1, ?,两个焦点为(-1,0),(1,0). ? 2? (1)求椭圆 C 的方程; (2)E、F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线的斜率 AE 与 AF 的斜率互为相反数,证明: 直线 EF 的斜率为定值,并求出这个定值. 解析: (1)由题意,知 c=1,可设椭圆方程为

x2

1+b

2+ 2=1

y2 b

1 9 因为 A 在椭圆上,所以 2+ 2=1, 1+b 4b 3 2 2 解得 b =3,b =- (舍去). 4 所以椭圆的方程为 + =1. 4 3 3 x y (2)证明:设直线 AE 的方程为 y=k(x-1)+ ,代入 + =1, 2 4 3 ?3 ?2 2 2 得(3+4k )x +4k(3-2k)x+4? -k? -12=0. ?2 ? ? 3? 设 E(xE,yE),F(xF,yF),因为点 A?1, ?在椭圆上, ? 2? ?3 ?2 4? -k? -12 3 ?2 ? 所以 xE= ,yE=kxE+ -k. 2 3+4k 2
2 2

x2 y2

?3 ?2 4? +k? -12 ?2 ? 又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中-k 代 k,可得 xF= , 2 3+4k 3 yF=-kxF+ +k. 2 yF-yE -k?xE+xF?+2k 1 所以直线 EF 的斜率 kEF= = = , xF-xE xF-xE 2 1 即直线 EF 的斜率为定值,其值为 . 2

5


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