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高考数学核心思想方法:割补法(1)

高考数学核心素养优质专题汇编(附详解) 高考数学核心思想方法:割补法(1) 1 内容概述 普通高中《数学课程标准》中指出:学生能从空间几何体的整体 观察入手,认识空间图形,了解一些简单几何体体积的计算方法 . 割 补法就是在求简单几何体的体积中常用的解题方法. 立体几何中的割补法的运用一般是通过将复杂的、不规则的、不 易认识的几何体,通过“分割”或者“补形”转化为简单的、规则 的、易于认识的几何体,从而解决问题的一种解题方法. 通过几何体的割补能发现未知几何体与已知几何体的内在联系, 提高空间想象能力 .割补法的运用蕴含了一种构造的思想方法,反映 了对立、统一的辩证思想.本专题将从“补形”、“分割”和 “割补 的灵活应用”三个方面进行阐述.本讲着重从前两个方面进行讲解. 例题示范 已知如图 1-1 所示,三棱锥 P ? ABC 的每相对的两 2 例1 条棱相等,棱长分别为 5、10、13 ,求三棱锥 P ? ABC 的 体积. 高考数学核心素养优质专题汇编(附详解) 解:设补成的长方体的三度分别为 a, b, c ,则 V长方体 ? abc,补出的四个 三棱锥的体积相等,都等于 ?a ? 2 ?a 2 ? b 2 ? ( 5 ) 2 ? ?b ? 1 ? ? 2 2 2 ?b ? c ? ( 10) ,解得 ? ?c ? 3 ? 2 2 2 ? ?c ? a ? ( 13) 1 1 1 ?VP ? ABC ? abc ? 4 ? abc ? abc ? ?1? 2 ? 3 ? 2 . 6 3 3 1 abc ,且 6 评析:一般地如果按常规求法需要求出三棱锥的底面积和对应的高, 而本例中高很难求出,因此需要我们重新审视条件寻找其他解决问题 的途径.由已知三组相对的棱相等这一特点,联想长方体对面不平行 的对角线恰好组成对棱相等的三棱锥,可以把三棱锥 P ? ABC 补成长方 体,如图 1-2 所示,长方体可以看成由三棱锥 P ? ABC 和四个相同体积 的易于计算的三棱锥组成.本题所采取的解题方法为补形法.难点在于 如何利用“对棱相等”这一特点,不拘泥于在所给几何体求体积,联 想长方体大胆构造,通过将对棱相等的三棱锥补形成长方体,匠心独 具,极大地降低了计算量.类似地,可以将正四面体补形成正方体, 将三条棱互相垂直的三棱锥补形成长方体或正方体求三棱锥的体积. 例 2 如图 2-1,在多面体 ABCDEF 中,已知 ABCD 是 边长为 1 的正方形,且 ?ADE, ?BCF 均为正三角形, EF // AB , EF ? 2 ,则该多面体的体积为 ______ . 解:将多面体 ABCDEF ,分割成如图 2-2 所示的直三 棱柱 ADG ? BCH 和三棱锥 E ? ADG 和三棱锥 F ? BCH ,因 此 V多面体ABCDEF ? VADG ?BCH ? VE ? ADG ? VF ?BCH 高考数学核心素养优质专题汇编(附详解) 1 1 ? S ?ADG ? AB ? S ?ADG ? EG ? S ?BCH ? FH 3 3 1 1 1 1 4 ? S ?ADG ? AB ? S ?ADG ? EG ? S ?ADG ? FH ? S ?ADG ? ( AB ? EG ? FH ) ? S ?ADG 3 3 3 3 3 4 1 2 2 ? ? ? 1? ? 3 2 2 3 . 评析:多面体 ABCDEF 是一个不规则多面体,一般我们可以考虑把这 类问题转化为用规则的几何体之和差来求解.考虑到题目中给出 ABCD 为正方形,因此我们可以考虑在图中截成如图 2-2 所示的一个直三棱 柱 ADG ? BCH ,三棱锥 E ? ADG 和三棱锥 F ? BCH ,从而借助常用的三棱 柱和三棱锥的体积计算.本题所采取的解题方法称为分割法.我们通过 从几何体外部进行分割入手,将所给不规则的几何体分割成规则的几 何体--三棱柱和两个三棱锥,从而达到分割求和的目的. 例 3 求棱长为 a 的正四面体内切球的半径. 解:设正四面体内切球的球心为 O ,内切球的半径 为r, 连 结 OA , OB , OC , OD , 如 图 3-2 所 示 , 则 V正四面体 =4VO?BCD , 设顶点 A 到底面的高为 AF ,因此 1 V正四面体 = S ?BCD ? AF 3 ?r ? 1 AF 4 1 VO ? BCD = S?BCD ? r 3 , ,容易知道 AF ? 6 a, 3 高考数学核心素养优质专题汇编(附详解) ?r= 1 6 AF ? a. 4 12 评析:要想求出棱长为 a 的正四面体的内切球的半径,必须知道球心 的位置,而球心的位置比较难找.我们不妨假设球心为 O ,连结 OA , OB , OC , OD ,这样我们就把正四面体分割成四个全等的三棱锥如图 3-2 所示,而且 O 到正四面体各个面的距离就是内切球的半径 . 因此 V正四面体 =4VO?BCD .不难看出正四面体和三棱锥 O ? BCD 共底面 BCD ,所以我 们只要求出正四面体的高,它的 即为内切球的半径 . 本题所采取的 解题方法为分割法.分割的点在几何体内部,这也是本题的难点所在. 分割后主要利用部分与整体的关系来解决问题.实际并没有分割几何 体,只是利用了分割的方法. 配套练习 1 4 3 1.如图 4-1 所示,已知底面半径为 r 的圆柱被一个平 面所截,剩下部分的母线长最小值为 a ,最大值为 b ,求这个几何体的体积. 2.棱长为 2 的正四面体内切球的体积为 ______ . 高考数学核心素养优质专题汇编(附详解) A D B C 3.如图,在四棱锥 A1 ? ABCD 中, A1 A ? 平面ABCD , ABCD 为矩形, AD ? 2 AB ? 2 AA1 ? 2 , A1 表面上的五个点,求球 O 的体 A1 , A, B, C, D

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