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3.1.1两角和与差的余弦教案


人教 B 版必修 4

3.1.1 两角和与差的余弦

教案

数学与系统科学学院 08304079 华聪聪
一.课题:3.1.1 两角和与差的余弦 课题 课型:新授课 二.课型 课时:第一课时 三.课时 四.教学内容分析 (一)教学主要内容: 本节课主要内容是推导两角和与差的余弦的公式,并会 利用公式计算求值,运用公式的逆用和角的变角等知识。 (二)教材的编写特点 1.本节课内容在单元中的地位:本节课是第三章的第一节,标志着两个角的和与 差函数的学习就此拉开了序幕。本节课的推导有利于以后几节课的学习。本节课 是在第一章诱导公式的基础上展开的。 2.本节教材编写的意图:本节教材在编写中注重了让学生用向量的思想去解决问 题,例题中强调了公式的正用,逆用及变角的思想,注重学生的逆向思维。 五.学情分析 (一)学生的知识技能基础 学生在之前的学习中已经学习过了三角函数,正弦,余弦等,也学习了诱导公式 及对三角函数中特殊角的求值。学生们已经具备了很高的分析解决能力。对三角 函数的认识及了解也十分充分了,具备了三角函数中的学习的基本技能。 (二)学生的活动经验基础 作为高中生已经比较熟悉了三角函数, 在之前的学习过程中也接触过从具体情境 中找规律的探索活动, 并且在以前的数学学习中已经经历了多次小组讨论合作学 习的过程。学生具备了一定的归纳总结,表达的能力。基本上能在教师的引导下 就莫一问题展开讨论。因此,具备了从向量的知识探索到两角差的余弦的能力。 (三)学生的思维水平以及学习风格 高中生思维逐步走向成熟也比较理性,想问题也很全面,对老师提出的问题也会 积极思考。对知识的理解和把握也很到位而且高中生也面临着高考,对知识会有 更深一步的思考。在授课过程让学生们思考会让他们更牢记知识点,发挥学生学 习的主动性,主动思考问题。 (四)学生的学习方式和学法分析 用探索和发展的的思维,在实例的基础上设立富有挑战性问题,让学生们思考问 题,小组合作,促进学生的学习兴趣。经过实力探究,把公式和结论总结出来。 让同学们领悟数学来源于实践,又反过来作用于实践的辩证原理。 六.教学目标 (一)知识与技能 1.使学生掌握用向量的方法建立两角差的余弦公式; 2.使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导; 3. 使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 (二)过程与方法

1.培养学生逆向思维的意识和习惯; 2.培养学生的向量意识,特殊值法的应用意识; 3.培养学生的观察能力,逻辑推理能力和合作学习能力。 (三)情感态度与价值观 1.通过观察、对比体会公式的线形美,对称美; 2.培养学生不怕困难,勇于探索的求知精神。 教学重点, 七.教学重点,难点 重点:使学生掌握两角和与差的余弦公式,公式的结构特点,公式的应用。 难点:利用向量的知识对两角和与差的余弦公式的推导及证明,公式的逆用和变 形应用。 八.教学策略与方法 教师按照课本的知识结构先设计若干问题,让同学们阅读课本,思考问题,课堂 上教师三导(引导,指导,辅导)下,以学生为主体,对所设问题进行读,议, 练,讲,其间教师通过提问,参与讨论,板演,及时作出评价。 九.教学资源 多媒体课件 十.教学过程设计 (一)复习有关知识 r r r r r r r r r r 2. a = (a1 , a 2 ) b = (b1 ,b2 ) 则 a ? b = (a1 b1 + a 2 b2 ) 1. a ? b = a ? b ? cos a , b 3. cos(? α ) = cos α

sin (? α ) = ? sin α

(设计意图:通过复习相关知识为下面公式的推导做好铺垫) (二)探索尝试提出问题并引入新课

不用计算器, cos ?375 = cos 375 = cos 360 + 15 = cos 15
o o o o o o o

(

)

(

)

(

)

( )
o

cos15 是否等于 cos 45 ? cos 30 也就是探究 cos(α ? β )是否等于 cos α ? cos β 举反例: cos

π

π π ?π π ? = cos? ? ? ≠ cos ? cos 6 2 3 ?2 3?

那么问题 cos(α ? β )与 cos α , cos β 有什么关系? 这也是本节课要学习的内容。 (设计意图:创设问题的情境,通过设疑,引导学生开展积极的思维活动) (三)公式的推导 (启发学生在同一直角坐标系内作出单位圆, 并以 X 轴正半轴为始边分别作 α、β、α-β 这三个角,具体图形在课件中展示)根据之前学过的知识教师提 问让同学们自己得出 α,β 终边与单位圆的交点的坐标,A(cosα,sinα) ,B ( cosβ,sinβ) 那么两个向量的坐标也就进而求出了。引导学生发现,要想

得到两个角差的余弦,怎么才可以得到。在向量内积中有所体现, (让学生自己 思考、探索、发现) 提问同学回答向量内积的两种表示方法,板书出这两种方法,带领同学们一 起推导出差的余弦即:cos(α -β)=cosαcosβ-sinαsinβ(板书) ,给出一种简 记的方法。 学生讨论探究差角余弦公式的结构特点, 老师给出正确的准确的解释。 并强调 α、β 为任意角,启发引导学生怎样才能得到和的余弦呢?即将上公式 中的 β 换为-β,公式怎样?(提问) :cos(α+β)=cosαcosβ sinαsinβ 给 出简记的方法(体现的是变角的思想) 再次引导学生将以上两个公式进行比较,注意区别公式中的结构特点。

) (同名之积相加减,运算符号左右反。 同名之积相加减,运算符号左右反。
(设计意图:通过复习,在坐标系中找到差角的几何表示,利用以上的铺垫 引导学生试探采用向量方法去解决问题,同时也体会到向量的工具性作用,对公 式进行深挖掘,显示其“辐射”的作用,培养学生的分析,联想能力,优化思维 品质) (四)公式的应用 例1 不查表,计算下列各式的值。 (1)cos75°(2)cos15° (学生练习,板演,老师讲评) (五)公式应用中的提高 1.公式的逆用 化简 (1)cos175°cos55°-sin175°sin55° (2)cos70°sin40°-sin110°cos40° 2.变角的应用 例题请看大屏幕 (设计意图:例题的难度逐步加深,让学生从初步掌握公式到进一步熟悉公式的 特征,为以后灵活运用做铺垫) (六)巩固提高) 几道拔高的题型。在课件中展示, (设计意图:让同学们思维上有所提高,也巩固了本节课的知识) (七)小结 1.两角和与差的余弦: (同名之积相加减,运算符号左右反。 ) cos(α+β)= cosα cosβ- sinα sinβ cos(α-β)= cosα cosβ+ sinα sinβ 小节以十四字口诀概括两角和与差的三角函数关系式,既体现了公式的本质特 征,又朗朗上口,便于记忆。有助于学生对本节课的内容更好地掌握。 2.利用公式可以求非特殊角的三角函数值,化简三角函数式和证明三角恒等式。 使用公式时要灵活使用,并要注意变角公式的逆用. (八)课后作业 作业::P135 B T2、T3、T4 (设计意图:巩固本节课所学知识,培养学生自觉学习的习惯,给学有余力的同 学流出自由发展的空间)

十一. 十一.板书设计 3.1.1 两角和与差的余弦

公示的推导过程

cos(α+β)= cosα cosβ+ sinα sinβ cos(α-β)= cosα cosβ+ sinα sinβ
知识的回顾 (向量的两种表示方法及诱导公式 中的两个变换) 中的两个变换)

公式应用 例1 (1)cos75°(2)cos15° 例2
(1) cos175°cos55°-sin175°sin55° (2)cos70°sin40°-sin110°cos40°

(两位同学板演) 两位同学板演) 例3 请看大屏幕 点评: 点评:

十二. 十二.教学反思 本节课在讲授过程中要注重公式中推导的向量应用,引导学生往这种思想上想, 还应注重启发式教学,让学生们自己思考归纳,小组间讨论合作推导公式。例题 让同学们板书,老师点评,让广大同学都能找到自己的毛病,从而注意以后不会 犯同样的错误,让同学们自己归纳公式的逆用和变角的应用。


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