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学案与评测文数苏教版(课件)第2单元第6节二次函数_图文

第六节 二次函数 基础梳理 1. 二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0) . (2)顶点式: f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) . f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a ≠ 0) (3)交点式: 2. 二次函数的图象和性质 . 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) 图象 f(x)=ax2+bx+c(a<0) 定义域 值域 R ? 4ac ? b 2 ? , ?? ? ? ? 4a ? b ? ? ? ??, ? ? 2a ? ? R ? 4ac ? b 2 ? ? ??, ? 4a ? ? ? b ? 在x∈______时单调递 减 单调性 ? b ? ? , ?? ? ? 在x∈______ ? 2a ? 时单调递 增 ? ? , ?? ? 时单 在x∈______ ? 2a ? 调递减 b ? ? ??, ? ? ? 在x∈______ 2a ? 时单 ? 调递增 奇偶性 顶点 ______ ______ 时为非奇非偶 b=0 时为偶函数,b≠ 0 函数 ? b 4ac ? b 2 ? ?? , ? 4a ? ? 2a 对称性 b x ? ? 图象关于直线________ 2a 成轴对称图形 3. 二次函数、一元二次方程、一元二次不等式 三者之间的关系如下表所示: ?=b2-4ac y=ax2+bx+c 的图象(a>0) ? >0 ? =0 ? <0 x1 = ? b ? ? 方程 2a ax2+bx+c=0的 , ?b ? ? x2=______ 解 2a ax2+bx+c>0的 {x|x<x 或x>x } ________ 1 2 解集 ax2+bx+c<0的 {x|x <x<x } ________ 1 2 解集 b x0 ? ? 2a 无解 {________ x|x≠x0} ? ________ R ________ ? ________ 基础达标 1.(必修1P25练习7改编)函数f(x)=(x-1)2-1,x∈[0,2]的 值域为________ [-1,0] . 2. (必修1P44习题9改编)f(x)=x2+(m+2)x+1是偶函数, 则m=________. -2 1. 解析:0≤x≤2时,f(x)max=f(0)=f(2)=0,f(x)min=-1, 故值域为[-1,0]. 2.解析:由f(-x)=f(x),得m+2=0,则m=-2. 4 3. f(x)=x2-2ax+3的增区间为[4,+∞),则a=________. 4. 二次函数f(x)的图象的顶点为(2,4)且过点(3,0),则 -4x2+16x-12 f(x)=________________. 3.解析:由题意知增区间为[a,+∞),∴a=4. 4.解析:设f(x)=a(x-2)2+4过(3,0),故0=a(3-2)2+4, ∴a=-4.∴f(x)=-4(x-2)2+4=-4x2+16x-12. 5. (2011扬州中学期中考试)若不等式x2+bx+c<0的解集 -3 是(-1,2),则b+c=________. 解析:由已知条件得 解得 ???1? ? 2 ? ?b ? ???1?? 2 ? c ?b ? ?1 ? ,∴b+c=-3. ?c ? ?2 经典例题 题型一 求二次函数解析式 【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1, 且f(x)的最大值是8,试求此二次函数的解析式. 分析: 由题目条件知二次函数过(2,-1),(-1,-1)两点, 且知其最大值,所以可应用一般式、顶点式或两根式 解题. 解:方法一:利用二次函数一般式. 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得 ? ?4a ? 2b ? c ? ?1 ? ? a ? b ? c ? ?1 ? 4ac ? b 2 ? ?8 ? 4a ? a ? ?4 解得 ?b ? 4 ? ?c ? 7. ? ∴所求二次函数的解析式为y=-4x2+4x+7 方法二:利用二次函数顶点式. 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), 1 ∴抛物线对称轴为 x = , 2 1 ∴m= . 2 又根据题意函数有最大值f(x)max=8, 1? ∴ f ( x) ? a ? . ? x ? ? ?8 2? ? 1? ? a ? x ? ? ? 8 ? ?1 ∵f(2)=-1,即 , 2? 1 ? ? ? x ? ? ? 8=-4x +4x+7. 解得a=-4. f ( x) ? ?4 ? 2? ? 2 2 2 2 方法三:利用两根式. 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1, 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a? 0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值f(x)max=8, 即 4a??2a ? 1? ? a 2 4a =8, 解得a=-4,或a=0(舍去). ∴所求函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 变式1-1 如图是一个二次函数y=f(x)的图象. (1)写出这个二次函数的零点; (2)求这个二次函数的解析式; (3)当实数k在何范围内变化时,g(x)=f(x)-kx 在区间[-2,2]上是单调函数. 解析:(1)由图可知二次函数的零点为-3,1. (2)设二次函数为y=a(x+3)(x-1),由点(-1,4)在 函数图象上,得a=-1,则y=-(x+3)(x-1)=-x2-2x+3. (3)g(x)=-x2-2x+3-kx=-x2-(k+2)x+3,开口向下, 对称轴为x=k?2 2 . 当当- k?2 2 k?2 2 ≤-2,即k≥2时,g(x)在[-2,2]上单调递减; ≥2,即k≤-6时,g(x)在[-2,2]上单调递增. 综上所述,当k≤-6或k≥2时,g(x)在区间[-2,2] 上是单调函数.

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