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2016届高考数学复习 第七章 第三节 简单的线性规划 理(全国通用)


第三节

简单的线性规划

考点一 简单的线性规划问题 4x+5y≥8, ? ? 1. (2015·广东, 6)若变量 x, y 满足约束条件?1≤x≤3, 则 z=3x+2y 的最小值为( ? ?0≤y≤2, A. 31 5 B.6 C. 23 5 D.4

)

解析 不等式组所表示的可行域如图所示, 3 z 3 由 z=3x+2y 得 y=- x+ ,依题当目标函数直线 l:y=- x 2 2 2

z 4 23 ? 4? + 经过 A?1, ?时,z 取得最小值即 zmin=3×1+2× = ,故 2 5 5 ? 5?
选 C. 答案 C

x-y≤0, ? ? 2.(2015·北京,2)若 x,y 满足?x+y≤1,则 z=x+2y 的最大值为( ? ?x≥0,
A.0 B.1 C. 3 2 D.2

)

1 1 解析 可行域如图所示.目标函数化为 y=- x+ z,当直线 y= 2 2 1 1 - x+ z,过点 A(0,1)时,z 取得最大值 2. 2 2 答案 D

x+2y≥0, ? ? 3.(2015·福卷,5)若变量 x,y 满足约束条件?x-y≤0, 则 z=2x-y 的最小值等于 ? ?x-2y+2≥0,
( ) B.-2 3 C.- 2 D.2

5 A.- 2

解析 如图,可行域为阴影部分,线性目标函数 z=2x-y 可化为

y=2x-z,由图形可知当 y=2x-z 过点?-1, ?时 z 最小,zmin=
1 5 2×(-1)- =- ,故选 A. 2 2

? ?

1? 2?

1

答案 A

x-y≥0, ? ? 4.(2015·山东,6)已知 x,y 满足约束条件?x+y≤2,若 z=ax+y 的最大值为 4,则 a= ? ?y≥0,
( A.3 ) B.2 C.-2 D.-3

解析 不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示. 易知 A(2,0),由?
? ?x-y=0,

?x+y=2, ?



B(1,1).
由 z=ax+y,得 y=-ax+z. ∴当 a=-2 或 a=-3 时,z=ax+y 在 O(0,0)处取得最大值,最大值为 zmax=0,不满足 题意,排除 C,D 选项;当 a=2 或 3 时,z=ax+y 在 A(2,0)处取得最大值, ∴2a=4,∴a=2,排除 A,故选 B. 答案 B 5.(2015·陕西,10)某企业生产甲、乙两种产品均需用 A,B 两种原料,已知生产 1 吨每种 产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示, 如果生产 1 吨甲、 乙产品可获利润分别为 3 万元、4 万元,则该企业每天可获得最大利润为( 甲 乙 2 2 ) 原料限额 12 8

A(吨) B(吨)
A.12 万元 C.17 万元

3 1

B.16 万元 D.18 万元

解析 设甲、乙的产量分别为 x 吨,y 吨,由已知可得 3x+2y≤12, ? ?x+2y≤8, ?x≥0, ? ?y≥0, 目标函数 z=3x+4y,线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所示: 可得目标函数在点 A 处取到最大值.
?x+2y=8, ? 由? 得 A(2,3). ?3x+2y=12, ?

则 zmax=3×2+4×3=18(万元). 答案 D

2

y≤x, ? ? 6.(2014·广东,3)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤1,且 z=2x+y 的最大值和最小值 ? ?y≥-1,
分别为 m 和 n,则 m-n=( A.5 B.6 ) C.7 D.8

解析 作出可行域(如图中阴影部分所示)后,结合目标函数可知,当直线 y=-2x+z 经 过点 A 时,z 的值最大,由?
? ?y=-1 ? ?x=2 ?? ,则 m=zmax=2×2-1=3.当直线 y=-2x ?x+y=1 ? ?y=-1 ? ?y=-1 ? ? ?y=x

+z 经过点 B 时,z 的值最小,由?

??

?x=-1 ? ? ?y=-1

,则 n=zmin=2×(-1)-1=-3,故

m-n=6.

答案 B

x+y-2≤0, ? ? 7.(2014·安徽,5)x,y 满足约束条件?x-2y-2≤0,若 z=y-ax 取得最大值的最优解不 ? ?2x-y+2≥0.
唯一,则实数 a 的值为( 1 A. 或-1 2 1 B.2 或 2 ) C.2 或 1 D.2 或-1

解析 法一 由题中条件画出可行域,可知 A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则 zA=2,

zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要 zA=zB>zC 或 zA= zC>zB 或 zB=zC>zA,解得 a=-1 或 a=2.
法二 目标函数 z=y-ax 可化为 y=ax+z,令 l0:y=ax,平移 l0,则当 l0∥AB 或 l0∥

AC 时符合题意,故 a=-1 或 a=2.

答案 D
3

x≥1, ? ? 8.(2013·新课标全国Ⅱ,9)已知 a>0,x,y 满足约束条件?x+y≤3, 若 z=2x+y ? ?y≥a(x-3),
的最小值为 1,则 a 等于( A. 1 4 B. 1 2 ) C.1 D. 2

解析 作出约束条件表示的可行域如图所示, 是△ABC 的内部及边 界. 由目标函数,得 y=-2x+z, 当直线 l:y=-2x+z 过点 B(1,-2a)时,目标函数 z=2x+y 的最小值为 1. 1 ∴ 2-2a=1,则 a= . 2 答案 B

x-1≥0, ? ? y 9. (2015·新课标全国Ⅰ, 15)若 x, y 满足约束条件?x-y≤0, 则 的最大值为________. x ? ?x+y-4≤0,
解析 约束条件的可行域如下图,由 =

y y-0 ,则最大值为 3. x x-0

答案 3

x-y≥0, ? ? 10 .(2014·大纲全国, 14) 设 x 、y 满足约束条件?x+2y≤3,则 z= x+ 4y 的最大值为 ? ?x-2y≤1,
________. 解析 作出约束条件下的平面区域, 如图所示. 由图可知当目 标函数 z=x+4y 经过点 B(1, 1)时取得最大值, 且最大值为 1 +4×1=5. 答案 5

y≤x, ? ? 11.(2014·湖南,14)若变量 x,y 满足约束条件?x+y≤4,且 z=2x+y 的最小值为-6, ? ?y≥k,
则 k=________.
4

解析

画出可行域(图略),由题意可知不等式组表示的区域为一三角形,平移参照直线

2x+y=0,可知在点(k,k)处 z=2x+y 取得最小值,故 zmin=2k+k=-6.解得 k=-2. 答案 -2 12.(2013·江苏,9)抛物线 y=x 在 x=1 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 D(包含三 角形内部和边界). 若点 P(x, y)是区域 D 内的任意一点, 则 x+2y 的取值范围是________. 解析 由题意可知抛物线 y=x 在 x=1 处的切线方程为 y=2x-1.该 切线与两坐标轴围成的区域如图中阴影部分所示: 当直线 x+2y=0 平移到过点
2 2

? ? A? ,0?时,x+2y 取得最大值 .
1 ?2

?

1 2

当直线 x+2y=0 平移到过点 B(0,-1)时,x+2y 取得最小值-2.因此所求的 x+2y 的 1? ? 取值范围为?-2, ?. 2 ? ? 1? ? 答案 ?-2, ? 2

?

?

13.(2013·陕西,13)若点(x,y)位于曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域,则 2x-y 的最小值为________. 解析 如图,曲线 y=|x-1|与 y=2 所围成的封闭区域如图中阴影 部分,令 z=2x-y,则 y=2x-z,作直线 y=2x,在封闭区域内平 行移动直线 y=2x,当经过点(-1,2)时,z 取得最小值,此时 z= 2×(-1)-2=-4. 答案 -4 考点二 与线性规划有关的综合性问题
? ?x-y-1≤0, 1.(2014·山东,9)已知 x,y 满足约束条件? 当目标函数 z=ax+by(a>0, ?2x-y-3≥0, ?

b>0)在该约束条件下取到最小值 2 5时,a2+b2 的最小值为(
A.5 B.4 C. 5

) D.2

解析 法一 不等式组表示的平面区域如图所示, 根据目标函 数的几何意义可知,目标函数在点 A(2,1)处取得最小值,故 2a + b = 2 5 , 两 端 平 方 得 4a + b + 4ab = 20 , 又 4ab = 2×a×2b≤a +4b ,所以 20≤4a +b +a +4b =5(a +b ), 所以 a +b ≥4,即 a +b 的最小值为 4,当且仅当 a=2b,即
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

b=

2 5

,a=

4 5

时等号成立.
2 2

法二 把 2a+b=2 5看作平面直角坐标系 aOb 中的直线,则 a +b 的几何意义是直线上
5

的点与坐标原点距离的平方,显然 a +b 的最小值是坐标原点到直线 2a+b=2 5距离的 平方,即? 答案 B 2x-y-2≥0, ? ? 2.(2013·山东,6)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0,所表示的区域 ? ?3x+y-8≤0 上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为( A.2 解析 B.1 ) 1 C.- 3 1 D.- 2

2

2

?|-2 5|?2 ? =4. 5 ? ?

已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当

点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小,由直线方程 x+2y-1=0 1 和 3x+y-8=0,解得 A(3,-1),故 OM 斜率的最小值为- . 3 答案 C 2x-y+1>0, ? ? 3.(2013·北京,8)设关于 x,y 的不等式组?x+m<0, 表示的平面区域内存在点 P(x0, ? ?y-m>0

y0),满足 x0-2y0=2,求得 m 的取值范围是(
4? ? A.?-∞, ? 3? ? 2? ? C.?-∞,- ? 3? ?

)

1? ? B.?-∞, ? 3? ? 5? ? D.?-∞,- ? 3? ?

6

1 解析 图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含 y= x-1 上 2 1 的点,只需要可行域的边界点(-m,m)在 y= x-1 下方,也就是 2

m<- m-1,即 m<- .故选 C.
答案 C

1 2

2 3

x+y-3≤0, ? ? 4.(2012·福建,9)若函数 y=2 图象上存在点(x,y)满足约束条件?x-2y-3≤0,则实数 ? ?x≥m,
x

m 的最大值为(
A. 1 2

) B.1 C. 3 2 D.2

解析 由约束条件作出其可行域,如图阴影部分所示. 由图可知当直线 x=m 经过函数 y=2 的图象与直线 x+y-3=0 的交点 P 时取得最大值,即得 2 =3-x,即 x=1=m. 答案 B 5.(2014·新课标全国Ⅰ,9)不等式组?
?x+y≥1, ? ?x-2y≤4 ?
x x

的解集记为 D.有下面四个命题:

p1:? (x,y)∈D,x+2y≥-2, p2:? (x,y)∈D,x+2y≥2, p3:? (x,y)∈D,x+2y≤3, p4:? (x,y)∈D,x+2y≤-1.
其中的真命题是( A.p2,p3 ) B.p1,p4 C.p1,p2 D.p1,p3

解析 画出可行域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数 z =x+2y 经过可行域内的点 A(2,-1)时,取得最小值 0,故 x+ 2y≥0,因此 p1,p2 是真命题,选 C. 答案 C

x+y-2≥0, ? ? 6. (2013·浙江, 13)设 z=kx+y, 其中实数 x, y 满足?x-2y+4≥0, ? ?2x-y-4≤0.
若 z 的最大值为 12,则实数 k=________. 解析 约束条件所表示的可行域为如图所示的△ABC,

7

其中点 A(4,4),B(0,2),C(2,0).目标函数 z=kx+y,化为 y=-kx+z. 1 1 当-k≤ 即 k≥- 时, 2 2 目标函数 z=kx+y,在点 A(4,4)取得最大值 12,故 4k+4=12,k=2,满足题意; 1 1 当-k> 即 k<- 时,目标函数 z=kx+y 在点 B(0,2)取得最大值 12,故 k·0+2=12, 2 2 无解,综上可知,k=2. 答案 2
? ?ln x,x>0, 7.(2012·陕西,14)设函数 f(x)=? D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线 ?-2x-1,x≤0, ?

在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y 在 D 上的最大值为________. 1 解析 由题知在点(1,0)处的切线的斜率 k=f′(1)= =1,则切线方程为 y=x-1.区 1 1 z 域 D 为如图阴影部分所示.则 z 的最大值即为直线 y= x- 在 y 轴上的最小截距,此时, 2 2 (0,-1)为最优解,所以 z=0-2×(-1)=2.

答案 2

8


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